非线性规划例题1

11、用梯度法（最速下降法）求下述函数的极小点： 2221 )1()()( xxXf解：取初始点 。TX)0,)0( 124210)( 2140),(2),4()()()(20)( )2,4()(,1(),()(0(0)0()1( 0(20( )()(020(21XfXfff XXXf XfxxfT T，故 为极小点。其极小值TXf)0,()(1()1(X。2、用梯度法（最速下降法）求函数2的极小点，取允许误差2215)(xXf。7.0解：取初始点 。TX)1,2()0(1240.51042.012124.00)1,4(14),(02)( )10,4(,)1,()()1(02)0(2XXf Xfxf TT 。 其 海 赛 矩 阵 1526.)(,240.183)(21(1( Xff3 685.0)(,759.034)( 79.123419.0852321.01.270 3.0.40)49.,854.( 319.852)31.0,2.0( 846.0)(,49.85)( 319.2775.2101.027.01 14.0.22)5.,.( 75.10)7.,10.( 815.)(,5.2)( 27.0240.132.014.05 32.0.1080)2.,8.3( 24.3)4.1,0.(2(4()4(3 23(3()3(2 2(2()2(1XfXf XfXfXfXf故以 为近似极小点，此时的Tf )075.,12.()(4(函数值 。该问题的精确解是9(X4。0)(,)0,(* XfXT例 9 用牛顿法求例 8 的极小点。解 任取初始点 。算出02,1X。在本例中，04,10fX， 201A1/201/A00*1 400/1XAfX，可知 确实是极小*0,fX*X值点。1、试用共轭梯度法求下述二次函数的极小点： 1212213)( xxxxXf 解：将 化成标准式得)(f513A现从 开始，由于TX)4,2()0( Txxf )(),23()( 121 故 175621801213)6,12( 612),12()( )6,12()()6,12()( )0(0( )0()0(0 0()0(0( APPXfXfPXf T TT于是6 TTTTPXfPXfXff PX 28910,90612289176)(289116,127162,76)()(172,6)( 1738,61542)0(1()( 0(0( )1()(01( )0()0()1( 7107210960)(17,92, 2107106 28910,913289,9 280,9172,6)()1(1)()(1 T TTTAPXf故 12891091073826)1()1()2( PX例 10 用 DFP 法求下述函数的极小值点：解 为了和例 8 及例 9 进行比较，仍取初始点 。此外，如通常所作的那样，取02,1X8初始尺度矩阵 。_01H012, 4,10fXxfX _000140010PHf10024211XP 2 212450f 令 01|dfX得 0290.12458100 41.5040.1202XP 13.108,1.243f 010.50.4961240112XX90103.10840.89221143GfXfX _1.496.90.,.240.892,.00120143961892.8,.3.82,.1. .4301H .5.004753963.9.47_111.091.0473.1083HfX 2110.5043.179524XP令 12|0dfX得10.48762.53.17950.0.40224X10，可知 为极小值点。20,fX2X其函数值为 。2f例 11 用库恩塔克条件解非线性规划2max416fx解 先将其变为问题（11.60）的形式212min4106fxxgxx设 K-T 点为 ，各函数的梯度为*_ 1224,1, 1fxxgxgx对第一个和第二个约束条件分别引入广义拉格朗日乘子 ， ，则得该问题的 K-T 条件如*1u*2下：112*12*1*2*122401060,0xuuxuu为解该方程组，需考虑以下几种情况：（1） ：无解。*120,u（2） ： 。*12,0u*1,9xfx（3） ： 。*120,u*4,0f（4） ：*12,0u*6,4xfx对应与上述（2） 、 （3）和（4）三种情形，我们得到了三个 K-T 点，其中 和*1x为极大值点，而 为最大值点，最*6x*x大值 ； 为可行域的内点，它不*9fx*4x是该问题的极大值点，而是极小点。例 13 用可行方案法解12221121 12min4840fXxxg解 取初始可行点 ，0,X。08fX，124xf04fX由于 ，故它不是 的起作用约0140gX0束。取搜索方向 ，从004,PfX而1004XP1148412g 令 ，解得 。110gX_13122 26161838fX13由 11|2320dfX得 。故取 。1203， 。14,3X189fX， ，14,3f110g 11 ,2gX构成线性规划问题 121212min43, 1ppp为便于用单纯形法求解，令， ，11yp221yp3y从而得143123123123min4483,2,0yyyyy引入松弛变量 和人工变量 ，4567,yy 8y得如下线性规划问题：3812381235627min443 30,1,2,8jyMyy yyyyyj 用单纯形法求解，可得最优解如下： 12345671, 0,1010 0yyyyy。15还原到原来的问题，得， 搜索方3410y向 111221.07pyP2114/30.XP现先进行一维搜索，再检查所得的点是否为可行点。 221.490.4.89fX由，得20dfX10.3424/3.41.6707.3239X因为 ，说明 是可行点。21.5gX继续做下去，可得该问题（为凸规划）的最优解，*1.6,2X*0.8fX16例 14 用罚函数法求解 21min0fxx解 构造罚函数2 22, min0, 1/min0,PxMfxgxxMx对于固定的 M，令,21/2min0,0dxxMx对于不满足约束条件的点 ，有1220xMx从而求得其最小值点 如下：xM12xM当 时， ；当 时，012xM1；当 时， ；当14xM12x17时， ，说明原约束问题M0xM的极小点是 。*0例 15 用罚函数法求解：1312132213142min 00fXxgXxxgx解 构造罚函数231211,PxMxxugX 232121324MxxugXugXM3221111,6PXMxxugX2MxxxugXMxugX3 32112122,PXxugxugx24MX现考虑第一象限中的点，可令，121ugXug3 40u为求极值点，令 ，得到2,PXMx*2x再令 ，并代入上述结果，得1,0PXMx512令 ，得 。即该问题的最