高考数学第二章函数与导数第13课时函数模型及其应用更多资料关注微博高中学习资料库

更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk第二章函数与导数第 13 课时 函数模型及其应用第三章 (对应学生用书(文)、(理)3336 页)考情分析 考点新知函数模型应用问题的考查是江苏高考比较固定的考查题型，要非常重视，复习时应在准确把握各种函数的特征基础上，根据具体实际问题的情境，建立相关函数模型，利用函数知识分析解决问题 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 了解函数模型(如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用., 1. (必修 1P110练习 1)某地高山上温度从山脚起每升高 100 m 降低 0.6 .已知山顶的温度是 14.6 ，山脚的温度是 26 ，则此山的高为_m.答案：1 900解析：(2614.6)0.61001 900.2. (必修 1P71习题 10 改编)已知某种产品今年产量为 1 000 件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长 10%，则 3 年后的产量为_件答案：1 331解析：1 000(110%) 31 331.3. (必修 1P35练习 3 改编)已知等腰三角形的周长为 20，底边长 y 是关于腰长 x 的函数，则该函数的定义域为_答案：(5，10)4. (必修 1P110复习 10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v(单位：m/s)和燃料的质量 M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量 m(单位：kg)的函数关系式为 v2 000ln .当燃料质量是火箭质量的_倍时，火箭的最大速度可以达到 12 km/s.(1Mm)答案：e 61解析：由 2 000ln 12 000，得 1 e 6，所以 e 61.(1Mm) Mm Mm5. (必修 1P100练习 3 改编)某商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系为 P 且该商品的日销售量 Q 与时间 t(天)的t 20， 01)，ylog ax(a1)和 yx n(n0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次上” 随着 x 的增大，ya x(a1)的增长速度越快，会越过并远远大于 yx n(n0)的增长速度；而 ylog ax(a1)的增长速度会越慢因此，总会存在一个x0，当 xx0时，有 ax0x logax0(比较 ax0，x ，log ax0的大小)n0 n03. 函数模型的应用实例的基本题型 (1) 给定函数模型解决实际问题(2) 建立合适的函数模型解决问题(3) 建立拟合函数模型解决实际问题4. 函数建模的基本程序题型 1 一次、二次函数模型例 1 市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨 x%(x0)，销售数量就减少 kx%(其中 k 为正常数)目前该商品定价为每个 a 元，统计其销售数量为 b 个(1) 当 k 时，该商品的价格上涨多少，才能使销售的总金额达到最大？12(2) 在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时 k 的取值范围. 解：由题意，价格上涨 x%以后，销售总金额为 ya(1x%)b(1kx%) kx 2100(1k)x10 000ab10 000(1) 当 k 时，y ( x250x10 000) 22 500(x50) 2，12 ab10 000 12 ab20 000因此当 x50，即价格上涨 50%时，y 取最大值 ab.98更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk(2) y kx 2100(1k)x10 000，此二次函数的图象开口向下，对称轴ab10 000为 x .50（ 1 k）k在适当涨价的过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量 x 在x|x0的一个子集内增大时，y 也增大，因此 0，解得 00)表示的曲120线上，其中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 km，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解：(1) 令 y0，得 kx (1k 2)x20，由实际意义和题设条件知 x0，k0，故120x 10.当且仅当 k1 时取等号所以炮的最大射程为 10 km.20k1 k2 20k 1k 202(2) 因为 a0，所以炮弹可击中目标 存在 k0，使 3.2ka (1k 2)a2成立 关120于 k 的方程 a2k220aka 2640 有正根 判别式 (20a) 24a 2(a264)0a6. 所以当 a 不超过 6(km)时，可击中目标题型 2 指数、对数函数模型例 2 设在海拔 xm 处的大气压强是 yPa，y 与 x 之间的函数关系为 yce kx，其中c、k 为常量已知某天的海平面的大气压为 1.01105 Pa，1000m 高空的大气压为0.90105Pa，求 600m 高空的大气压强(保留 3 位有效数字)解：将 x0 时，y1.0110 5Pa 和 x1000 时，y0.9010 5 Pa 分别代入函数式yce kx，得 1.01105 ce0，0.90105 ce1 000k， ) c1.0110 5， e 1 000k ，0.901051.01105 0.901.01 k ln ，用计算器算得 k1.15410 4 ，11000 0.901.01 y1.0110 5e1.15410 4 x，将 x600 代入上述函数式，得y9.4210 4Pa，即在 600m 高空的大气压强约为 9.42104 Pa.备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法在动植物的体内更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk都含有微量的放射性 14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢， 14C 不再产生，且原有的 14C 会自动衰变，经过 5570 年(叫做 14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若 14C 的原始含量为 a，则经过 t 年后的残余量 a(与 a 之间满足aae kt )现测得出土的古莲子中 14C 残余量占原量的 87.9%，试推算古莲子的生活年代解：因 aae kt ，即 e kt .aa两边取对数，得 lg ktlge.aa又知 14C 的半衰期是 5570 年，即 t5570 时， .aa 12故 lg 5570klge，即 klge .12 lg25570代入式，并整理，得 t .5570lgaalg2这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式现测得古莲子的 是 0.879，代入公aa式，得 t 1 036.即古莲子约是 1 036 年前的遗物5570lg0.879lg2题型 3 分段函数模型例 3 已知美国苹果公司生产某款 iPhone 手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1万只还需另投入 16 万美元设苹果公司一年内共生产该款 iPhone 手机 x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为 R(x)万美元，且 R(x) 400 6x， 040.)(1) 写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款 iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润解：(1) 当 040，WxR(x)(16x40) 16x7 360.40 000x所以，W 6x2 384x 40， 040.)(2) 当 040 时，W 16x7 360，40 000x由于 16x2 1 600，40 000x 40 000x 16x当且仅当 16x，即 x50(40，)时，W 取最大值为 5 760.40 000x综合知，当 x32 时，W 取最大值为 6 104.更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）经市场调查，某种商品在过去 50 天的销量和价格均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)2t200(1t50，tN)，前 30 天价格为 g(t) t30(1t30，tN)，后 20 天价格为 g(t)45(31t50，tN)12(1) 写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系式；(2) 求日销售额 S 的最大值解：(1)根据题意得S （ 2t 200） (12t 30)， 1 t 30， t N，45（ 2t 200） ， 31 t 50， t N， )即 S t2 40t 6000， 1 t 30， t N， 90t 9000， 31 t 50， t N. )(2)当 1t30，tN 时，S(t20) 26400，当 t20 时，S 的最大值为 6400；当 31t50，tN 时，S90t9000 为减函数，当 t31 时，S 的最大值是 6210， 62100，S 关于 x 为增函数 当 x93 时，S 取得最小值33 33故当 AN 长为 93 m 时，液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小33备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）如图，两个工厂 A、B 相距 2km，点 O 为 AB 的中点，要在以 O 为圆心，2km 为半径的圆弧 MN 上的某一点 P 处建一幢办公楼，其中 MAAB，NBAB.据测算此办公楼受工厂 A 的“噪音影响度”与距离 AP 的平方成反比，比例系数为 1；办公楼受工厂 B 的“噪音影响度”与距离 BP 的平方也成反比，比例系数为 4，办公楼与 A、B 两厂的“总噪音影响度”y 是A、B 两厂“噪音影响度”的和，设 AP 为 xkm.(1) 求“总噪音影响度”y 关于 x 的函数关系式，并求出该函数的定义域；(2) 当 AP 为多少时， “总噪音影响度”最小？解：(1) (解法 1)如图，连结 OP，设AOP，则 . 3 23在AOP 中，由余弦定理得x21 22 2212cos54cos，在BOP 中，由余弦定理得BP21 22 2212cos()54cos， BP 210x 2， y .1AP2 4BP2 1x2 410 x2 ， x ， 3 23 3 7 y ( x )1x2 410 x2 3 7(解法 2)建立如图所示的直角坐标系，则 A(1，0)，B(1，0)，设 P(m，n)，则PA2(m1) 2n 2，PB 2(m1) 2n 2. m 2n 24，PAx， PB 210x 2(后面解法过程同解法 1)更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk(2) (解法 1)y ( )x2(10x 2) 1x2 410 x2 1101x2 410 x2 (5 ) (52 ) ，当且仅当 110 10 x2x2 4x210 x2 110 10 x2x2 4x210 x2 910 10 x2x2，即 x ， 时取等号4x210 x2 303 3 7故当 AP km 时， “总噪音影响度”最小303(解法 2)由 y ，得 y 1x2 410 x2 2x3 8x（ 10 x2） 2 6x4 40x2 200x3（ 10 x2） 2.2（ x2 10） （ 3x2 10）x3（ 10 x2） 2 x ， 令 y 0，得 x ，且当 x 时，y0. x 时，y 取极小值，也即最小值故当 AP 303 7 303 1x2 410 x2 303km 时， “总噪音影响度”最小【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分 14 分)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在 2 万元至10 万元(包括 2 万元和 10 万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件： 报销的医疗费用 y(万元)随医疗总费用 x(万元)增加而增加； 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的 50%； 报销的医疗费用不得超过 8 万元(1) 请你分析该单位能否采用函数模型 y0.05(x 24x8)作为报销方案；(2) 若该单位决定采用函数模型 yx2lnxa(a 为常数)作为报销方案，请你确定整数 a 的值(参考数据：ln20.69，ln102.3)审题引导： 正确理解三个条件： 要求模型函数在2，10上是增函数； 要满足y 恒成立； 要满足 y 的最大值小于 8.x2规范解答： 解：(1) 函数 y0.05(x 24x8)在2，10上是增函数，满足条件，(2 分)当 x10 时，y 有最大值 7.4 万元，小于 8 万元，满足条件.(4 分)但当 x3 时，y 0 得 0x0；13a当 3at210，即 0t 时，S(t)0.13a 当 t 时，S(t)有最小值13a已知在 t 处，S(t)取得最小值，故有 ，12 13a 12 a .43故当 a ，t 时，S(t) minS .43 12 (12)(1 4314)2 44312 231. 与函数有关的应用型问题，函数模型可以是已知条件中给出其表达式，也可以是由已知条件建立函数模型，显然后者难度较大，在解题过程中不要忘记考虑函数的定义域2. 解应用问题，首先，应通过审题，分析原