高考数学矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法【更多资料关注微博@高中学习资料库 】

更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk最高考系列 高考总复习2014 届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修 42 矩阵与变换第 1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法考情分析 考点新知掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换进行解题.1. (选修 42P34习题第 1题改编)求点 A(2，0)在矩阵 对应的变换作用下得到的1 00 2点的坐标解：矩阵 表示横坐标保持不变，纵坐标沿 y轴负方向拉伸为原来的 2倍的伸压1 00 2变换，故点 A(2，0)变为点 A(2，0)2. 点(1，k)在伸压变换矩阵 之下的对应点的坐标为(2，4)，求 m、k 的m001值解： ， m001 1k 2 4 m 2，k 4. )解得 m 2，k 4.)3. 已知变换 T是将平面内图形投影到直线 y2x 上的变换，求它所对应的矩阵解：将平面内图形投影到直线 y2x 上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵 M作用变换为(x，2x)，则有 ，解得a0b0xy x2x a 1，b 2， ) T .10204. 求曲线 y 在矩阵 作用下变换所得的图形对应的曲线方程x 0110解：设点(x，y)是曲线 y 上任意一点，在矩阵 的作用下点变换成(x，y)，x 0110则 0110xy更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk ，所以 .因为点 (x，y)在曲线 y 上，所以 x ，即 x .xy x yy x) x y y5. 求直线 xy5 在矩阵 对应的变换作用下得到的图形0011解：设点(x，y)是直线 xy5 上任意一点，在矩阵 的作用下点变换成0011(x，y)，则 0011xy ，所以 .因为点 (x，y)在直线 xy5 上，所以 yxy5，故xy x 0y x y)得到的图形是点(0，5)1. 变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则 T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x，y)，则称 T为一个变换，简记为 T：(x，y)(x，y)或T： .xy xy 一般地，对于平面向量的变换 T，如果变换规则为 T： ，那么根据xy xy ax bycx dy二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为 (a、b、c、dR)的矩阵形xy xy abcdxy式，反之亦然2. 几种常见的平面变换(1) 当 M 时，则对应的变换是恒等变换1001(2) 由矩阵 M 或 M (k0)确定的变换 TM称为(垂直)伸压变换k001 100k(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称(4) 当 M 时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针cos sinsin cos 旋转 角度(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换(6) 由矩阵 M 或 确定的变换称为切变变换1k01 10k13. 变换的复合与矩阵的乘法(1) 一般情况下， AB BA，即矩阵的乘法不满足交换律(2) 矩阵的乘法满足结合律，即( AB)C A(BC)(3) 矩阵的乘法不满足消去律备课札记更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk题型 1 求变换前后的曲线方程例 1 设椭圆 F： 1 在(x，y)(x，y)(x2y，y)对应的变换下变换成x22 y24另一个图形 F，试求 F的解析式解：变换矩阵为 ，任取椭圆上一点(x 0，y 0)，1201则 ，令1201x0y0 x0 2y0y0 x x0 2y0，y y0， )则 x0 x 2y ，y0 y . )又点(x 0，y 0)在椭圆 F上，故 1，（ x 2y ） 22 y 24所以 2x 28xy9y 240，即 F的解析式为 2x28xy9y 240.变 式 训 练设 M ， N ，试求曲线 ysinx 在矩阵 MN变换下的曲线方程1002 12001解： MN ，100212001 12002设(x，y)是曲线 ysinx 上的任意一点，在矩阵 MN变换下对应的点为(x，y)则 ，12002xy xy 所以 即x 12x，y 2y， ) x 2x ，y 12y ， )代入 ysinx 得 ysin2x，即 y2sin2x.12即曲线 ysinx 在矩阵 MN变换下的曲线方程为 y2sin2x.备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）已知矩阵 M ， N ，矩阵 MN对应的变换把曲线 y sin x变为曲线 C，1 00 2 12 00 1 12 12求曲线 C的方程更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk解： MN ， 1 00 212001 12002设 P(x，y)是所求曲线 C上的任意一点，它是曲线 ysinx 上点 P0(x0，y 0)在矩阵 MN变换下的对应点，则有 ，即 所以xy 12002x0y0 x 12x0，y 2y0， ) x0 2x，y0 12y.)又点 P(x0，y 0)在曲线 y sin x上，故 y0 sin x0，从而 y sinx.12 12 12 12 12 12所求曲线 C的方程为 ysinx. 题型 2 根据变换前后的曲线方程求矩阵例 2 二阶矩阵 M对应变换将(1，1)与(2，1)分别变换成(5，7)与(3，6)(1) 求矩阵 M；(2) 若直线 l在此变换下所变换成的直线的解析式 l：11x3y680，求直线 l的方程解：(1) 不妨设 M ，则由题意得 ， ，abcd abcd1 1 57 abcd 21 36所以 故 M .a 2，b 7，c 13，d 20， ) 2 7 13 20(2) 取直线 l上的任一点(x，y)，其在 M作用下变换成对应点(x，y)，则 ， 2 7 13 20xy 2x 7y 13x 20y xy 即 代入 11x3y680，得 xy40，即 l的方程为x 2x 7y，y 13x 20y， )xy40.变 式 训 练在平面直角坐标系 xOy中，直线 l：xy20 在矩阵 M 对应的变换作用下得1ab4到直线 m：xy40，求实数 a、b 的值解：(解法 1)在直线 l：xy20 上取两点 A(2，0)，B(0，2)，A、B 在矩阵 M对应的变换作用下分别对应于点 A、B，因为 1ab4 20 ，所以 A的坐标为(2，2b)； 2 2b ，所以 B 的坐标为(2a，8)由题意 A、B在直线1ab40 2 2a 8m：xy40 上，所以 解得 a2，b3.（ 2） （ 2b） 4 0，（ 2a） （ 8） 4 0， )(解法 2)设直线 l：xy20 上任意一点(x，y)在矩阵 M对应的变换作用下对应于点(x，y)因为 ，所以 xxay， ybx4y.因为(x，y)在1ab4xy xy 更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk直线 m上，所以(xay)(bx4y)40，即(1b)x(a4)y40.又点(x，y)在直线 xy20 上，所以 ，解得 a2，b3.1 b1 a 41 42题型 3 平面变换的综合应用例 3 已知 M ， N ，向量 .1101 10012 34(1) 验证：( MN) M(N )；(2) 验证这两个矩阵不满足 MN NM.解：(1) 因为 MN ，所以( MN) .110110012 112012 11201234 52因为 N ，所以 M(N ) ，所以 (MN) M(N )1001234 32 110132 52(2) 因为 MN ， NM ，112012 11012所以这两个矩阵不满足 MN NM.备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）在直角坐标系中，已知ABC 的顶点坐标为 A ，B ，C .求ABC 在(0， 0) ( 1， 2) (0， 3)矩阵 作用下变换所得到的图形的面积0 11 0解：因为 ， ， ，0 11 000 00 0 11 0 12 2 1 0 11 003 30所以 A ，B ，C 在矩阵 作用下变换所得到的三个顶点坐标分(0， 0) ( 1， 2) (0， 3) 0 11 0别为 A ，B ，C .(0， 0) ( 2， 1) ( 3， 0)故 SABC AC|y B | .12 321. 在直角坐标系中，OAB 的顶点坐标 O(0，0)、A(2，0)，B(1， )，求OAB 在矩2阵 MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵 M ， N .1 00 1 1 220 22更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk解：由题设得 MN ，1 220 22 ，1 220 22 00 00 ，1 220 22 20 20 .1 220 22 12 2 1可知 O、A、B 三点在矩阵 MN作用下变换所得的点分别为 O(0，0)、A(2，0)、B(2，1)可得OAB的面积为 1.2. 已知矩阵 M ， N ，在平面直角坐标系中，设直线 2xy10 在矩0110 0 11 0阵 MN对应的变换作用下得到的曲线 F，求曲线 F的方程解：由题设得 MN .设(x，y)是直线 2xy10 上任意一点，01100 11 0 1 00 1点(x，y)在矩阵 MN对应的变换作用下变为(x，y)，则有 Error!Error!，即 Error!Error!，1 00 1所以 x x ，y y .)因为点(x，y)在直线 2xy10 上，从而 2x(y)10，即2xy10.所以曲线 F的方程为 2xy10.3. (2013福建)已知直线 l：axy1 在矩阵 A 对应的变换作用下变为直线1201l：xby1.(1) 求实数 a、b 的值；(2) 若点 P(x0，y 0)在直线 l上，且 A ，求点 P的坐标x0y0 x0y0解：(1) 设直线 l：axy1 上任意一点 M(x，y)在矩阵 A对应的变换作用下的象是M(x，y)，由 ，xy 1201xy x 2yy 得 又点 M(x，y)在 l上，x x 2y，y y. )更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk所以 xby1，即 x(b2)y1.依题意 解得a 1.b 2 1， ) a 1，b 1.)(2) 由 A ，得 解得 y00.x0y0 x0y0 x0 x0 2y0，y0 y0， )又点 P(x0，y 0)在直线 l上，所以 x01，故点 P的坐标为(1，0)4. 在线性变换 下，直线 xyk(k 为常数)上的所有点都变为一个点，xy 1122xy求此点坐标解：由 ，得 而 xyk，所以 (k为常数)，xy 1122xy x x y，y 2x 2y， ) x k，y 2k)所以直线 xyk(k 为常数)上的所有点都变为一个点(k，2k)1. 如图所示，四边形 ABCD和四边形 ABCD 分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为 A(1，2)、B(3，2)、C(3，2)、D(1，2)、B(3，7)、C(3，3)求将四边形 ABCD变成四边形 ABCD 的变换矩阵 M.解：该变换为切变变换设矩阵 M ，由图知，C C，则 .10k1 M 10k13 2 33所以 3k23，解得 k .所以， M .53 105312. 已知矩阵 M ，向量 ， . 1 2 3 4 57 68(1) 求向量 3 在 TM作用下的象；12(2) 求向量 4M 5 M .解：(1) 因为 3 3 ，所以 M 12 57 1268 1521 34 1825 (3 12 ) 1 2 3 4 .(2) 4M 5 M M(4 5 ) .1825 6846 1 2 3 4 10 12 34 183. 二阶矩阵 M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)设直线 l在变换 M作用下得到了直线 m：2xy4，求 l的方程解：设 M ，则有 ， ， ，abcd abcd1 1 1 1 abcd 21 0 2 a b 1c d 1)更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk且 ，解得 和 ， M ， 2a b 0 2c d 2) a 1b 2) c 3d 4) 1234 ，且 m：2xy4，xy 1234xy x 2y3x 4y 2(x2y)(3x4y)4，即 x4 0， 直线 l的方程为 x4 0.4. 二阶矩阵 M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1) 求矩阵 M；(2) 设直线 l在变换 M作用下得到了直线 m：xy4，求 l的方程解：(1) 设 M ，则有 ， ，所以abcd abcd1 1 1 1 abcd 21 0 2 a b 1，c d 1， )且 解得 所以 M . 2a b 0， 2c d 2， ) a 1，b 2，c 3，d 4， ) 1234(2) 因为 且 m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，xy 1234xy x 2y3x 4y即 xy20，即直线 l的方程为 xy20.几种特殊的变换：反射变换： M ：点的变换为(x，y)(x，y)，变换前后关于 x轴对称；1 00 1M ：点的变换为(x，y)(x，y)，变换前后关于 y轴对称； 100 1M ：点的变换为(x，y)(x，y)，变换前后关于原点对称； 1 00 1M ：点的变换为(x，y)(y，x)，变换前后关于直线 yx 对称0110投影变换：M ：将坐标平面