上海市金山中学2017_2018学年高二数学上学期期中习题

- 1 -金山中学 2017 学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（时间 120 分钟 满分 150 分）一、填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题，其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分，第 7 题至第 12 题每小题 5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分1已知函数 则 0,()1xf()fx2若以 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数 的取值范围为 34a a3若直线 过点 ,且与直线 垂直,则直线 的方程为_. l1A230xyl4已知圆的方程为 ，则经过点 的圆的切线方程为_ 42yx),1(5若不等式组 的解集中有且仅有有限个实数，则 的值为 106,a a6已知函数 ，则方程 的解 = _34log2fx14fx7已知直线 和 的夹角为 ，则 的值为 . 02y0ymxm8若实数 满足 则 的取值范围是_. ,x2,03,yz9在数列 中,已知 ，则过点 和点 的直线的倾斜角是na41n20174,Pa20183,Qa_. (用反三角函数表示结果)10设 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点，且12,F2367xyA， ，则 _1OBA2OCAFOBC11已知函数 是偶函数，则函数图像与 轴交点的纵坐baxbxf 42 y标- 2 -的最大值是_ _ 12定义变换 T 将平面内的点 变换到平面内的点 ,(0,)Pxy,Qxy若曲线 经变换 T 后得到曲线 ，曲线 经变换 T 后得到曲线 ，0:C1(0,)42xy1C12C，依次类推，曲线 经变换 T 后得到曲线 ，当 时，记曲线 与 轴正半 nn*Nn,xy轴的交点为 和 ,记 某同学研究后认为曲线 具有如下性质：,nAaBb,nDab对任意的 ，曲线 都关于原点对称；对任意的 ，曲线 恒过点 ；*NnC*n0,2对任意的 ，曲线 均在矩形 （含边界）的内部；记矩形 的nOABnOADB面积为 ，则 .其中所有正确结论的序号是 .nS1limn二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分13 是“方程 表示椭圆”的 （ 64k1422kyx） （A）充要条件 （B）充分不必要条件（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件14已知向量 ab满足 1， 2b， ,a的夹角为 120，则 2ab等于 （ ）（A）3 （B） 5 （C） 21 （D）515已知函数 )3(log)(2axxf在区间 上是增函数，则 的取值范围（ ),a）（A） （ 4, （B） （ , （C） （ 4, （D） 4,16如图，已知 ,圆心在 上、半径为 的圆 在21l1lmO时与 相切于点 ,圆 沿 以 的速度匀速向上移0t2lAOs/动,圆被直线 所截上方圆弧长记为 ,令 ,则 与时xxycoy间 ( ,单位: )的函数 的图像大致为( ) t1s)tf- 3 -11三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 6 分已知集合 ,3,(3)0xAyBxa（1）当 时，求 ；4a（2）若 ，求实数 的取值范围Ba18(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分已知向量 ， ，函数 ， 3,cos2xaxbsin,1baxf)(（1）求 的单调增区间；)(f- 4 -yxl60公公公公OBA（2）在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边， 为 外接圆的半径，ABCabcABCRABC且 ， ， ， ，求 、 的值3)(f1c243sinRab19 （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 8 分，第(2)小题满分 8 分.如图，已知直线 为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在 处发现了:30()lxycO北偏东 海面上 处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮 航行，以60A B便上海轮后逃窜。已知巡逻艇的航速是走私船航速的 2 倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜。（1）已知 海里，求走私船能被截获的点 的轨迹；6O,Px（2）若 与公海的最近距离 20 海里，要保证在领海内捕获走私船（即能截获走私船的区域与公海不相交） ，设 ,则 的最远距离是多少海里？2AtO- 5 -20(本题满分 16 分)第(1)小题 4 分，第(2)小题 6 分，第(3)小题 6 分.已知椭圆 C以原点为中心,其中一个焦点为 ,长轴长与焦距之比为 .012:1（1）求椭圆 的标准方程；（2）设点 P是椭圆 上的任意一点,过原点的直线 l与椭圆 C相交于 ,MN两点,若直线,MN的斜率都存在,并记为 PMk, N.试探究 PMNk的值是否与点 P及直线 l有关,并证明你的结论；（3）设椭圆 C与 y轴交于 ,DE两点,点 (0,)Qm在线段 DE上,点 在椭圆 上运动.若当点 P的坐标为 (0,2)时,取得最小值,求实数 的取值范围.21(本题满分 18 分)第(1)小题 4 分，第(2)小题 6 分，第(3)小题 8 分.- 6 -设 ，把三阶行列式 中第一行第二列元素的余子式记为 ，且关于Raxa120453 )(xf的不等式 的解集为 各项均为正数的数列 的前 项和为 ，点列x0)(xf ),(nanS在函数 的图像上,NnSafy（1）求函数 的解析式；)(fy（2）若 ，求 的值；02kbna21limnb（3）令 求数列 的前 2018 项中满足 的所有项数之和n2,c为 奇 数 ,为 偶 数 nc6mc- 7 -金山中学 2017 学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（时间 120 分钟 满分 150 分）一、填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题，其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分，第 7 题至第 12 题每小题 5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分1已知函数则 12若以 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数 的取值范围为 3若直线 过点 ,且与直线 垂直,则直线 的方程为_. 4已知圆的方程为 ，则经过点 的圆的切线方程为_5若不等式组 的解集中有且仅有有限个实数，则 的值为 20186已知函数 ，则方程 的解 = _ 17已知直线 和 的夹角为 ，则 的值为 . 或8若实数 满足 则 的取值范围是_. 9在数列 中,已知 ，则过点 和点 的直线的倾斜角是_. (用反三角函数表示结果) 10设 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点，且- 8 -， ，则 _ 611已知函数 是偶函数，则函数图像与 轴交点的纵坐标的最大值是_ _ 412定义变换 T 将平面内的点 变换到平面内的点 若曲线 经变换 T 后得到曲线 ，曲线 经变换 T 后得到曲线 ，依次类推，曲线 经变换 T 后得到曲线 ，当 时，记曲线 与 轴正半轴的交点为 和 ,记 某同学研究后认为曲线 具有如下性质：对任意的 ，曲线 都关于原点对称；对任意的 ，曲线 恒过点 ；对任意的 ，曲线 均在矩形 （含边界）的内部；记矩形 的面积为 ，则其中所有正确结论的序号是 . 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分13 是“方程 表示椭圆”的 （ C ） （A）充要条件 （B）充分不必要条件（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件14已知向量 满足 ， ， 的夹角为 120，则 等于 （ C ）（A）3 （B） （C） （D）515已知函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围（ C ）- 9 -（A） （ （B） （ （C） （ （D）16如图，已知 ,圆心在 上、半径为 的圆 在 时与 相切于点 ,圆 沿 以 的速度匀速向上移动,圆被直线 所截上方圆弧长记为 ,令 ,则 与时间 ( ,单位: )的函数 的图像大致为 ( B ) 三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 6 分已知集合 （1）当 时，求 ；（2）若 ，求实数 的取值范围解：（1） =（2）- 10 -18(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分已知向量 ， ，函数 ，（1）求 的单调增区间；（2）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边， 为 外接圆的半径，且 ， ， ， ，求 ， 的值解：（1）所以 的递增区间是 （2）由（1）得是三角形内角，即， 即：19 （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 8 分，第(2)小题满分 8 分.如图，已知直线 为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在 处发现了北偏东 海面上 处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮 航行，以便上海轮后逃窜。已知巡逻艇的航速是走私船航速的 2 倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜。（1）已知 海里，求走私船能被截获的点 的轨迹；（2）若 与公海的最近距离 20 海里，要保证在领海内捕获走私船（即能截获走私船的区域与公海不相交） ，设 ,则 的最远距离是多少海里？解：（1）点 则 ， 轨迹是以 为圆心、4 为半径的圆. （2）易得 ， 设截获地点为点 ， ，则 ，由- 11 -， 且此轨迹与直线 不相交， 则圆心 到直线 的距离 由 在直线 的同侧，故 ， 故圆心 到直线 的距离 ， 所以 . 20(本题满分 16 分)第(1)小题 4 分，第(2)小题 6 分，第(3)小题 6 分.已知椭圆 以原点为中心,其中一个焦点为 ,长轴长与焦距之比为 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）设点 是椭圆 上的任意一点,过原点的直线 与椭圆 相交于 两点,若直线 的斜率都存在,并记为 ,.试探究 的值是否与点 及直线 有关,并证明你的结论；（3）设椭圆 与 轴交于 两点,点 在线段 上,点 在椭圆 上运动.若当点 的坐标为 时, 取得最小值,求实数 的取值范围.解:(1) . (2)因为过原点的直线 与椭圆相交的两点 关于坐标原点对称,所以可设 . 因为 在椭圆上,所以有 , ， , -得 . 又 , 所以 , 故 的值与点 的位置无关,与直线 也无关. (3)由于 在椭圆 上运动,故 ,且 .因为 ,所以 . 由题意,点 的坐标为 时, 取得最小值,即当 时, 取得最小值,而 .故有 .解得 . 又椭圆 与 轴交于 两点的坐标为 、 ,而点 在线段 上,即 ,亦即 ,所以实数 的取值范围是 . 21(本题满分 18 分)第(1)小题 4 分，第(2)小题 6 分，第(3)小题