高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案 (2)

第 1 页 共 7 页a a a课题：2.3.1 直线与平面垂直的判定（第一课时）教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学（A 版） 必修 2一、教学目标1、知识与技能：通过直观感知、操作确认，理解直线与平面垂直的定义，归纳直线与平面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。2、过程与方法：通过直线与平面垂直的定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。3、情态与价值：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。通过小组合作方式操作活动，培养学生的协作精神和实践意识。二、教学重点与难点（1）教学重点：直线与平面垂直的定义及其判定定理。（2）教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解。三、教学方法与教学手段 （1）教学方法：探究式教学法。（2）教学手段：多媒体课件以及实物（三角板、三角形纸片）等辅助教学。四、教学过程1、复习提问导入课题问题思考：直线与平面有什么样的位置关系？今天我们就来学习直线与平面相交的最特殊的一种情形直线与平面垂直。2、直线与平面垂直定义的建构 （1）走进生活感知概念（多媒体展示生活中线面垂直的实例图片）提出思考：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？答案：1.直线在平面内有无数个公共点；2.直线与平面相交有且只有一个公共点；3.直线与平面平行没有公共点。第 2 页 共 7 页l（引导学生观察图片，寻找出其中 线面垂直的位置关系。 （旗杆与地面、桥墩与地面）引导学生举出身边更多类似的例子。如教室内直立的 墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等。 ）问题思考：如何定义一条直线与一个平面垂直?(2）观察归纳形成概念思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。观察演示并思考：如图，在阳光下观察直立于地面旗杆 AB 及它在地面的影子 BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？旗杆 AB 与地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 g 的位置关系又是什么？ （师生活动：在多媒体演示时，先展示 动画 1 使学生感受到旗杆 AB 所在直线与过点 B的直线都垂直。再展示动画 2 引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆 AB 所在直线与地面内任意一条不过点 B 的直 线 B1C1 也垂直。 ）（引导学生归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并引导学生用符号语言表示。）直线与平面垂直的画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。（老师在黑板上画出图像，让同学 们体会其过程。 ）（3）辨析讨论深化概念判断正误：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。若 a,b ，则 ab。直线与平面垂直的定义 ll 如 果 直 线 与 平 面 内 的 任 意 一 条 直 线 都 垂 直 ，我 们 说 直 线 与 平 面 垂 直 ， 记 作 。第 3 页 共 7 页答案：错误正确。（师生活动：命题（1）判断中引导学生利用手中的笔和三角板，笔表示直 线，三角板两直角边表示两垂直直线，桌面表平面，将三角板的一条直角边 AC 放在桌面上，这时另一条直角边 BC 就和桌面内的一条直线（即三角板与桌面的交线 AC）垂直，在此基 础上在桌面内放一只和 AC 平行的笔 EF 并平行移 动，那么 BC 始终和 EF 垂直，但 BC 不一定和桌面垂直，最后教师给出反例的直观图 1。）由（2）给出下列常用命题：这样子，通过第二个结论，我们可以知道：通过“线面垂直”我们可以来证明“线线垂直” ，它是判断直线与直线垂直的常用方法，它将直线与直线垂直的问题转化为判定一条直线垂直于另一条直线所在的平面。这是空间几何中一种非常重要的方法。但是，如何来证明“线面垂直”呢?也就是怎么才能够证明一条直线是垂直于一个平面的呢？通过定义？可以，但不方便；有没有其他的方法？下面请大家观察图像并进行大胆的猜想。3.直线与平面垂直的判定定理的探究（1）分析实例猜想定理请同学们观察多媒体中跨栏、简易木架等实物，你认为其竖杆能竖直立于地面的原因是什么?由此你能得出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？（师生活动：引导学生观察思考， 师生共同分析跨栏、 简易木架的 竖杆能竖直立于地面的原因：竖杆固定在两相交直线上且与两直线垂直。 ）学生提出猜想:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。学生提出猜想:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（2）动手实验确认定理折纸实验：（课本探究活动内容）过ABC 的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 AD，将翻折图 1第 4 页 共 7 页后的纸片竖起放置在桌面上， （BD、DC 与桌面接触） 。问题：（1）折痕 AD 与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直？（引导学生观察, 多媒体演示翻折过程。 ）（2）由折痕 ADBC，翻折之后垂直关系，即 ADCD，ADBD 发生变化吗？由此你能得到什么结论？（师生活动：学生折纸可能会出现“垂直”与“ 不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定 义分析“ 不垂直”的原因，从而发现垂直的条件折痕 AD是 BC 边上的高， 进而引导学生 观察动态演示模拟试验，根据实验中的感知进行合情推理，归纳出线面垂直的判定定理，并要求学生画图，用符号 语言表示。 ）（3）分析定理深化认识直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 分析：提示学生思考一下，写出这个定理的符号语言。要证明一条直线与一个平面垂直实际上是什么呢？就是找出两条相交直线与已知直线相垂直。定理里面关键地方就是“两条相交直线” ，所谓“线不在多，相交则灵” 。线线垂直 线面垂直4、线面垂直判定定理的初步应用思考题:同学们，如果我们要在水平地面上竖起一根旗杆，该用什么方法来检验它是否与地面垂直呢？方法 1 借鉴（学生能够想到更好，由他 们来演示）：同学们，不知道你们有没有注意到老师平时三角板只带一把，而今天却带来了两把，那么今天这两把三角板是否有更加特殊的用途呢？那就是利用它们来检验旗杆跟地面的垂直性，下面我就来演示给大家看看。问题 1：如果没有三角板，只有皮尺和绳子，能不能检验呢？定理中蕴含着一个重要的数学转化思想：abAll第 5 页 共 7 页ABCDC1B1A1D1 ABCDC1B1AD1EFABCDC1B1AD1 abnm方法 2 借鉴：（尽量引导学生得出）有同学提出如下方案：在旗杆上距离旗杆脚 4m 的 A点处挂两条长 5m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C 、D 。如果这两点都和旗杆脚 B 的距离是 3m，那么旗杆就和地面垂直，对吗？为什么？问题 2：在旗杆的不远处有一根电线杆，如果我们已经确认电线杆与垂直于地面的旗杆平行，能否断定该电线杆也垂直于地面呢？（由此实际问题抽象得出例 1。）例 1、如图，已知 a b， ，求证： b。分析:由判定定理，要想证明一条直线与一个平面垂直，只需在平面内找到两条相交直线与已知直线相垂直即可。那么去哪里找这两条相交直线呢？ 提问：能否利用定义证明？(师生活动：此题是课本中的例 1，有一定难度，教师引导学生分析思路，可用判定定理 证，也可利用定义证，提示辅助线 的添法，学生 练习本上完成，对照课本例 1,完善自己的解题步骤， 让学生用文字语言叙述：如果两条平行直 线中的一条直 线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。指出：命 题体现了平行关系与垂直关系的 联系，其 结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定方法。)练习：在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 AA1、CC 1的中点，判断下列结论是否正确： AC面 CDD1C1 AC面 BDD1B1 EF面 BDD1B1 ACBD 15、归纳小结，理清知识体系1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述。（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？（师生活动：学生发言，互相补 充，教 师点评完善，以知识结构图归纳出判断直线与平面垂直的方法（如图）即可用定义，判定定理或例 3 的结论， 说明本 课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“ 平面化”是解决立体几何问题的一般思路。 ）直线与平面垂直的判定定义法间接法直接法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。此直线垂直于这个平面第 6 页 共 7 页线面垂直线线垂直 线线垂直CAB DOP相互转化的数学思想：线线垂直 线面垂直 线线垂直6、布置作业巩固提高作业：如图，点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，且 PA =PC,PB =PD .求证：PO平面 ABCD五、板书设计：2.3.1 直线与平面垂直的判定一、直线与平面垂直的定义二、直线与平面垂直判定定理：数学思想：举例练习：多媒体演示：教案说明在这次新课程数学教学内容中，立体几何不论从教材编排还是教学要求上都发生了很大变化，因而，我在本节课的处理上也作了相应调整，借助多媒体辅助教学，采用“引导探究式”教学方法，引导学生重视知识生成过程，构建自己的知识结构。整个教学过程abAll第 7 页 共 7 页遵循“直观感知操作确认归纳总结”的认知规律，注重发展学生的合情推理能力，降低几何证明的难度，同时，加强空间观念的培养，注重知识产生的过程性，具体体现在以下几个方面：1.线面垂直的定义没有直接给出，而是让学生在对图形、实例的观察感知基础上，借助动画演示帮助学生概括得出，并通过辨析问题深化对定义的理解。这样就避免了学生死记硬背概念，有利于理解数学概念的本质。2.线面垂直的判定定理不易发现，在教学中，通过创设问题情境引起学生思考，先让学生观察日常生活中线面垂直的具体例子：跨栏、简易木架等实物，让学生感知竖杆能竖直立于地面的原因，然后安排折纸试验，讨论交流，给学生充分活动的时间与空间，帮助学生从自己的实践中获取知识。教师尽量少讲，学生能做的事就让他们自己去做，使学生更好的参与教学活动，展开思维，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。3.为更好地巩固判定定理，设置了一道思考题和一道例题，其中思考题是判定定理在日常生活中运用的例子，是一道开放性题目，有助于培养学生的发散思维。例 1 是判定定