高考数学《平面向量、复数》理科形成性测试卷

高考数学平面向量、复数 （理科）形成性测试卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)（1）已知平面向量 a(x,1)， b(x，x 2)，则向量 ab ( )A平行于 x 轴 B平行于第一、三象限的角平分线C平行于 y 轴 D平行于第二、四象限的角平分线（2）设 ，则“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）R1ixA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件（3）设向量 a(3， )，b 为单位向量，且 ab，则 b( )3A( ， )或( ， ) B( ， )32 12 32 12 32 12C( ， ) D( ， )或( ， )32 12 32 12 32 12（4）若 O 为三角形 ABC 所在平面内一点，且满足 ,则有（ ）0OCAA. B. C. D. DAODA3D（5）已知 A、B 是以原点 O 为圆心的单位圆上两点，且| |1，则 等于( )AB AB OA A. B C. D12 12 32 32（6）若 a(x,1)，b(2,3x )，则 的取值范围为( )ab|a|2 |b|2A(，2 ) B0， C ， D 2 ，)224 24 24 2（7）在复平面内，复数 65i ，23i 对应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( )A48i B8 2i C24i D4i（8）已知向量 a(2cos，2sin)，b(3cos，3sin )，a 与 b 的夹角为 60，则直线xcosysin 0 与圆( xcos )2(ysin )2 的位置关系是( )12 12A相离 B相切 C相交 D随 ， 的值而定（9）已知向量 满足 ，且对一切实数 x， 恒成立，则ba,bba的夹角的大小为( )ba,A B C D 633265（10）已知三点 A(2,3)，B(1，1) ，C (6，k)，其中 k 为常数若 | | |，则 与AB AC AB 的夹角的余弦值为( )AC A B0 或 C. D0 或2425 2425 2425 2425（11）若 O 为平面内任一点且 ( 2 )( )0，则ABC 是( )OB OC OA AB AC A直角三角形或等腰三角形B等腰直角三角形C等腰三角形但不一定是直角三角形D直角三角形但不一定是等腰三角形（12）平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到 n(n3) 维向量，n 维向量可用(x 1，x 2，x 3，x 4，x n)表示设 a(a 1，a 2，a 3，a 4，a n)，b(b 1，b 2，b 3，b 4，b n)，规定向量 a 与 b 夹角 的余弦为 cos .已 n i 1aibi n i 1a2i n i 1b2i知 n 维向量 a，b，当 a(1,1,1,1 ，1) ，b(1，1,1,1,1，1)时，cos 等于( )A. B. C. D.n 1n n 3n n 2n n 4n二、填空题(本大题共 4 小题 ，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)（13）若复数 z1ai，z 2 1i (i 为虚数单位) ，且 z1z2 为纯虚数，则实数 a 的值为_（14）若平面向量 a，b 满足|ab| 1，ab 平行于 x 轴，b(2 ，1)，则 a_.（15）已知坐标平面内两点 M（-3 ，0） ，N （3，0）和一动点 P，满足，则 的最小值为 NPM（16）已知点 A（1，-1） ，B（3，0） ，C（2，-1） ；若平面区域 D 由所有满足的点 P 组成，则 D 的面积为 )1,(CP三、解答题(本大题共 6 个小题，共计 70 分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)（17）(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)（I）求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；（II）设实数 t 满足( t ) 0，求 t 的值AB OC OC （18）(本小题满分 12 分) 已知 ， 3,4ba61)2()(ba（I）求 ； |ab（II）求向量 在向量 方向上的投影（19）(本小题满分 12 分) 已知向量 ),1(),2(kACkAB（I）若 为直角三角形 ,求 值；ABC（II）若 为等腰直角三角形,求 值（20）(本小题满分 12 分)已知向量 a( ， )，b(2，cos2x)1sinx 1sinx（I）若 x(0 ， ，试判断 a 与 b 能否平行？2（II）若 x(0， ，求函数 f(x)ab 的最小值3（21）(本小题满分 12 分)若 a，b 是两个不共线的非零向量， tR .（I）若 a，b 起点相同，t 为何值时， a，t b， (ab) 三向量的终点在一直线上？13（II）若|a| |b|且 a 与 b 夹角为 60，t 为何值时，|at b|的值最小？（22）(本小题满分 12 分)在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且满足(2 ac)cosBbcos C.（I）求 B 的大小（II）设 m(sinA，cos2A )，n(4 k,1)(k1)，且 mn 的最大值是 5，求 k 的值平面向量、复数 （理科）形成性测试卷参考答案厦门海沧实验中学数学组一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)（1）答案 C解析 ab(x x, 1x 2)(0,1x 2)，易知 ab 平行于 y 轴（2）答案 A解析 为纯虚数， 且 ，解之得 ，2ii012x1x故选 A（3）答案 D解析 设 b(x ，y)，由 ab 可得 3y x0，又 x2y 21，得 b( ， )或332 12b( ， )，故选 D.32 12（4）答案 A解析 如右图 AODOPCBOA2故选 A（5）答案 B解析 11cos120 .AB OA 12（6）答案 C解析 由已知： ，ab|a|2 |b|2 5x10x2 5 x2x2 1 12x 1x|2x |2x| 2 ， 1x 1|x| 2 24 12x 1x 24（7）答案 C解析 由题意知 A(6,5)，B(2,3)，AB 中点 C(x，y)，则 x 2，y 4，6 22 5 32点 C 对应的复数为 24i，故选 C.（8）答案 ADO BC PA解析 60，cos60 cos( )，12 ab|a|b| 6coscos sinsin23cos() 12圆心(cos ，sin)到直线 xcosysin 0 的距离为：12d cos()|coscos sinsin 12|cos2 sin2 121 ，直 线与圆相离22（9）答案 C解析 由题意得： bax2222bax 021baxba 0)1(4) 0)1(2，即 a 与 b 的夹角为 .2|,cosba23（10）答案 D解析 由| | |解得 k0 或 6，当 k0 时， 与 的夹角为 ，其余弦AB AC AB AC 2值为 0；当 k 6 时， 与 的夹角余弦值为AB AC 2425（11）答案 C解析 由( 2 )( )0 得( )( )0，OB OC OA AB AC AB AC AB AC 0，即| | |，AB2 AC2 AB AC ABAC.（12）答案 D解析 ibi(n2) 2n4.ni 1an， n. cos .ni 1a2ini 1b2i n 4nn n 4n二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)（13）答案 ： 1解析 因为 z1z2(ai)(1 i)a1(a1)i 为纯虚数，所以 a1.（14）答案 ：(1,1) 或(3,1)解析 设 a(x ，y)，b(2，1)， 则 ab( x2，y 1)，ab 平行于 x 轴，y1 0，y1，故 ab (x2,0)，又|ab|1，|x2|1，x1 或 x3， a(1,1)或 a(3,1)（15）答案 3解析 设 P（x，y），则 ，由已),3),),06yxMPyNPM 知可得 ，化简得 ，()(6212所以 ，0其 中(312xM则当 x=0 时， 3min（16）答案 3解析 设 P（x，y），则 ，)2,1)1,(y所以 解得2132yx所以 ，即130yx3206在平面直角坐标系中作出区域 D，可求得面积为 3.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答 应写出文字 说明、 证明过程或演算步骤)（17）解析 （I）由题设知 (3,5) ， (1,1)，则 (2,6)，AB AC AB AC (4,4)-2 分AB AC 所以| |2 ，| |4 .-4 分AB AC 10 AB AC 2（II）故所求的两条对角线长分别为 4 ，2 .2 10由题设知 (2，1)， t (3 2t,5t)-6 分OC AB OC 由( t ) 0，得(32t,5t)( 2， 1)0 ，-8 分AB OC OC 从而 5t11，所以 t .-10 分115（18）解析 （I）由 ，得 ，6)()3(ba613422ba ，得 3,4ba6a| （II） 10)(2b向量 在向量 方向上的投影为 ab130|)(ba（19）解析 （I）(1)由已知得 ),(kABC若 ,则 ， ,;09AAB0),1,2(k若 ,则 ， 得,(无解;32k若 ,则 ，09CC0),1(,(kk 012k .1综上所述,当 时,ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形;当 时, k 是以 C 为直角顶点的直角三角形.AB（II）当 时, , ；1(1)B(,)CB2AC当 时, , ，2k2,)得 , , ；484A当 时, , ,1(1)(2)得 , , ;2AC2BCB综上所述,当 时,ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形.k（20）解析 （I）若 a 与 b 平行，则有 cos2x 2，因为 x(0， ，1sinx 1sinx 2sinx0，所以得 cos2x2，这与|cos2 x|1 相矛盾，故 a 与 b 不能平行-6 分（II）由于 f(x)ab 2sinx ，-8 分2sinx cos2xsinx 2 cos2xsinx 1 2sin2xsinx 1sinx又因为 x(0， ，所以 sinx(0， ，于是 2sinx 2 2 ，3 32 1sinx 2sinx 1sinx 2当 2sinx ，即 sinx 时取等号-11 分1sinx 22故函数 f(x)的最小值等于 2 .-12 分2（21）解析（I）设 atbma (ab) ，mR，-2 分13化简得( m1) a( t)b， -3 分23 m3a 与 b 不共线，Error! Error!-5 分t 时 ，a，tb， (ab)的终点在一直线上-6 分12 13（II）|