高中数学必修1《函数的单调性》教案

课 题：函数的单调性教材：人教 A 版必修（1）【教学目标】（1）知识与技能： 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法（2）过程与方法： 通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力 （3）情感态度价值观： 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程【教学重点】 函数单调性定义的构建、判断及证明【教学难点】 单调性定义构建中从自然语言到符号语言的过渡【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习【教学过程】一、创设情境，引入课题（播放中央电视台天气预报的音乐）假设下图为揭阳市今天晚上到明天 24 小时内的气温变化图，观察这张气温变化图，请一位同学上讲台来为我们在座的各位观众播报一下明天的天气情况。意图：这一环节让学生通过身边熟悉的情景去感受数学就在大家身边，数学知识的起源和发展是自然的，问题虽然开放，但因切合学生的实际，不同程度的学生都能说一说，讲一讲，学生参与学习的热情和兴趣必然得到不同程度的激发。22yxoyxoyxo-22yxo课堂预设：学生应该能说到一天中什么时候气温最高，什么时候气温最低，一天的温差是多少，能说到从凌晨 0 点到 4 点气温越来越低，从 4 点到下午 2点，气温越来越高，等等。学生发言后，为了突出单调性的主题，教师强调从0 点到 4 点图象整体程下降的趋势，即气温随时间的增大而减少，从 4 点到下午 2 点图象整体程上升的趋势，即气温随时间的增大而增大在现实生活中，关注函数图象的这种变化趋势大到决策和投资，小到生活起居都有很大的帮助（引入函数单调性概念，板书） 。二、归纳探索，形成概念1借助图象，直观感知问题 1.观察函数 的图象，四个函数图xx1,2,2像从左往右各有什么变化趋势？你能用自变量 x 和函数值 y 描述这种趋势么？（1） （2） （3） （4）课堂预设（1）图象整体上升，即在 上 随 x 的增大而增大；(,)y（2）图象整体下降，即在 上 随 x 的增大而减小；（3）在 y 轴左侧，图象整体下降，即在 上 y 随 x 的增大而减小；在(,0)y 轴右侧，图象整体上升，即在 上 y 随 x 的增大而增大；(0,)（4）在 y 轴左侧，图象整体下降，即在 上 y 随 x 的增大而减小；在(,)y 轴右侧，图象整体下降，即在 上 y 随 x 的增大而减小。(,)问题 2.能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗?课堂预设：如果函数 在某个区间上随自变量 x 的增大，y 也越来越大，()fx我们说函数 在该区间上为增函数；如果函数 在某个区间上随自变量 x()fx ()f的增大，y 越来越小，我们说函数 在该区间上为减函数()f意图：这一步环节还是感性认识的阶段，相当于用自然语言对增（减）函数进行定义，从问题情境到学生熟悉的函数，意在通过进一步的感知突出从图象语言向自然语言的过度，为最后实现从自然语言向符号语言的过度搭桥、修路）2跨越感性，形成定义刚刚我们对什么是增函数，什么是减函数结合图象已给出定性的描述，但我们知道，数学是讲逻辑（注重推理） ，即使一个函数已给出图象，我们要判断它在给定区间的增减性也不能仅靠图象，因为图象替代不了推理论证，更何况还有很多的函数假如不借助工具是很难画出它的图象的，这就要求我们对函数的增减性要作出更严格的定义。 （是否可以将自然语言的描述称为定性描述、符号语言的描述称为定量描述？）问题 1.如何从解析式的角度描述 在区间 上随着 的增大，2)(xf0,)（x相应的函数值 而增大？()fx问题： (1) 在给定区间内取两个数，例如 1 和 2，因为 1222，所以在 上为增函？2)(xf,0(2)因为 1222324252，所以 在 为增函数？2)(xf0,)（(3)在区间 任取两个 ，得到, ,当,)（12x21(fx时，有 。这时，我们就说 在区间 上为增函1212(fx2f )数 对于学生错误的回答，引导学生分别图形语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 21,x问题 2.你能仿照这种描述说明一般的函数 在定义域内某个确定的区()fx间 D 上面为增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义， (1)函数单调性定义: 学生类比得出减函数的定义，给出单调区间概念。(2)巩固概念：图像语言，自然语言第 1 题，是对任意性的强调，第 2 题对区间的强调，第 3 题对单调性的形式化定义和图像之间的密切联系的强调。三新知应用，形成技能1.阅读例题 1 对照增（减）函数的定义，仔细观察课前的气温变化图，说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数。2.阅读例题 2 完成下列实际问题：在一杯水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜你能运用所学过的数学知识来解释一下这一现象吗？ 3归纳解题步骤2 1212 12 1212()(1),(,)0()( (,) ().fxfxxfxf f1.若 函 数 满 足 在 区 间 一 定 是 增 函 数 么 ？在 图 像 上 任 意 取 两 个 值 ， ， 当 时 ， 对 应 的 函 数 值 ，有 什 么 大 小 关 系 ？ 你 能 证 明 么 ？ 若 把 条 件 改 成 当 时 结 论 还 成 立 了 么 ？3.请 举 一 个 具 体 函 数 的 例 子 在 对 任 意 的 ， 都 有引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、结论四、归纳小结，提高认识1小结(1) 概念探究过程：图像语言自然语言符号语言(2) 证明方法和步骤：取值、作差、变形、定号、结论(3) 数学思想方法：数形结合，归纳类比，抽象概括2作业书面作业：作业 1.证明：（1）函数 在 上是减函数；2()1fx(,0)（2）函数 在 是增函数；作业 2.探究一次函数 的单调性()()fmbR课后探究：1. 要证明函数 在区间 上是增函数，除了用定义来证，如果x,a可以证明对任意的 ，且 有 可以12,12x12()0fx吗?2.研究函数 的单调性)0(xy意图：第一题为后面的导数做铺垫，使学时的知识体系更加具连贯和系统性。第二题是双钩函数，为均值不等式做准备。同时探究课题的提出，增加的课堂的发散性，培养学生独立解决问题的能力。1)(xf教学设计说明 本节课是一节概念课函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范 的书面表达围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以 下几个问题：1、重视学生的亲身体验具体体现在两个方面：将新知识与学生的已有知识建立了联系如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y 随 x 的增大而增大”的理解；结合实际情况运用新知识尝试解决新问题如：函数 单调性的讨论()1xf2、重视学生发现的过程如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程3、重视学生的动手实践过程通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义4、重视课堂问题的设计通过对问题的设计，引导学生解决问题教学设计说明本节课是一节概念课函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验具体体现在两个方面：将新知识与学生的已有知识建立了联系如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y 随 x 的增大而增大”的理