解析分类汇编系列一：北京2013高三期末理数：7立体几何

【解析分类汇编系列一：北京 2013 高三期末】：7 立体几何一、选择题1 （北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的 正视图 侧视图俯视图正视图 侧视图俯视图正视图 侧视图俯视图正视图 侧视图俯视图Z （ ）A B C D【答案】 C由题意可知当四棱锥的直观图为 ，它的三视图是，选 C.2 （北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为 1，等腰三角形的腰长为 5，则该几何体的体积是 （ ）A 43B 2C 83D 103【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体上部分是一个圆锥，下部分是个半球，球半径为 1，圆锥的高为 2(5)14h，所以圆锥的体积为 123，半球的体积为 23，所以几何体的总体积为 3，选 A.3 （北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是 （ ）A 25B 26C 27D 42【答案】C 【解析】由三视图可知该四面体为 VA,其中 EB, 3A,VC,AEBVE.所以六条棱中，最大的为 或者 .222(3)16,所以 222160CV，此时05。 2(3)48AB,所以 875AB，所以棱长最大的为 27，选 C. 4 （北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 ）一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是（ ）222正（主）视图 侧（左）视图俯视图A 1642B 142C 842D 42【答案】B【 解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为 2，所以该几何体的底面积为 ，侧面积为124，所以表面积为 ，选 B.()8428125 （北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，某三棱锥的三视图都是直角边为 的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（ ）A 3B 23C1 D2【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以四个面中面积最大的为 BCD，且 是边长为为 2 的正三角形，所以 132BCDS，选 A.6 （北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（ ）A 10432B 10342C D【答案】B【解析】根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中 ABCD 是直角梯形，ABAD， AB=AD=2，BC=4 ，即 PA平面ABCD，PA=2。且 2CD,， 2P, 2B, 6PC,底面梯形的面积为 (24)6，1PAS, 12ADS,14PBCS,侧面三角形 D中的高 2()(O，所以 1263PDCS，所以该几何体的总面积为634042，选 B.7 （北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知三棱锥的底面是边长为 1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A 34B 32C 34 D 1 【答案】C 【解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为 ，侧视图的高为 32，高为 ，所以侧视图的面积为 1324。选 C.8 （北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）在棱长为 1 的正方体1ABCD中，点 1P， 2分别是线段 AB， 1D（不包括端点）上的动点，且线段 2P平行于平面 AD，则四面体 12P的体积的最大值是 （ ）A 4B 12C 6D 2【答案】A【解析】过 2P做 O底面于 O,连结 1P, 则 1OAB，即 1P为三棱锥 21AB的高，设 10Ax， ，则由题意知 /D,所以有 ，即 Ox。三角形12PBS，所以 四面体 12AB的体积为1 211()()()3364A xOx，当且仅当 1x，即x时，取等号，所以四面体 12P的体积的最大值为 ，选 A. 9 （北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）设 ,mn是不同的直线， ,是不同的平面，下列命题中正确的是 （ ）A若 /,mn，则 B若 ，则 / C若 /,/，则 D若 mn，则 /【答案】C【解析】C 中，当 /,/，所以， /,n或 ,当 n，所以 ，所以正确。10 （北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 （ ）A 38B4C 2D 34【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为 2，底面三角形的高为 3，底面边长为 3，所以底面积为 14362，所以该几何体的体积为 1643，选 B.11 （北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是 （ ）A B 3932C D66【答案】D正（主）视图 侧（左）视图俯视图2 2 323 1由三视图可知，三棱柱的高为 1，底面正三角形的高为 ，所以正三角形的边3长为 2，所以三棱柱的侧面积为 ，两底面积为 ，所以表面积236122为 ，选 D.63二、填空题12.（北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 【答案】 75410【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为 4，底面梯形的上底为 4，下底为 5，腰 2310CD,所以梯形的面积为 (45)327S，梯形的周长为 30，所以四个侧面积为 (102108，所以该几何体的表面积为 7485412。13.（北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）三棱锥 DABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱 BD的长为_.【答案】 42【解析】取 AC 的中点，连结 BE,DE 由主视图可知 ,BEACDE. ABC且4,23,2DCBEAC.所以 22(3)164BEC，即224342BDC。14 （北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知正方体 1ABCD的棱长为 1，动点 P在正方体 1ABCD表面上运动，且 Pr（ 03） ，记点的轨迹的长度为 ()fr，则 ()2f_;关于 的方程 ()fk的解的个数可以为_.（填上所有可能的值）.【答案】3; 0,24【解析】由定义可知当 1PA，点 P 的轨迹是半径为 12的 4圆周长，此时点 P 分别在三个侧面上运动，所以 3()3(2)4f。由正方体可知，当 01r，点 在三个面上运动，此时 ()fr递增，当 51r时， ()fr递减，当 52时， ()f递增，当23时， ()f递减，如草图，所以方程 ()fk的解的个数可能为 0,2,3,4 个。三、解答题15 （北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分 13 分 ) 在四棱锥 ABCDP中，底面 AB为矩形，ABCDP、， 1， 2BC， 3PD， FG、分别为 CDAP、的中点（1 ）求证： P；（2 ）求证： /FG平面 ；（3 ）线段 上是否存在一点 R，使得平面 R平面 B，若存在，求出 R的长；若不存在，请说明理由FGPD CBA（1 ）证明： 底面 为矩形 CDABCP、 ,DP、ABP、 4 分（2 ）证明：取 H、，连接 CG, 、DPF,G/AB21, C/HF、是平行四边形，/C， BCP、， BCPFG、G/、 8 分(3) ADP，以 为坐标原点，以 DA,所在的直线分别为 x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，假设在线段 上存在一点 R，使得平面 BPR平面 C，HFGPD CBAzyxFGPD CBA设 ),(0mR， )3,0(),12,(PBC2B),1(),(mR设平面 CP的法向量为 11zyxn01nB， 03211 ， 令 3y ),(设平面 PR的法向量为 ),22zyxn02nB03)(2m令 1 ),(322mn1)(，解得 3m线段 AD上存在点 R，且当 21A时，使得平面 BPR平面 C. 13分16 （北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学（理）试题 ）已知几何体 ABCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（）求此几何体的体积 V 的大小 ;（）求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值；（）试探究在棱 DE 上是否存在点 Q，使得AQBQ，若存在，求出 DQ 的长，不存在说明理由. 侧视图俯视图正视图144 4解：（1）由该几何体的三视图知 AC面 BED,且 EC=BC=AC=4 ，BD=1， 1(4)102BCEDS梯 形 433V梯 形 即该几何体的体积 V 为1103BCEDA梯 形 -4 分（2 ）以 C 为原点，以 CA，CB，CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系则 A（4，0 ，0） ，B（0，4 ，0） ，D （0，4，1 ） ，E（0，0，4） (,3)(,)E， 2cos,5AB异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为 25-4 分（3 ） 点 Q 在棱 DE 上，存在 )10(使得 DEQ)13,40(,(, DEBB同理 )13,4,(AQ0B,即 0)13()4()( 2 51，满足题设的点 Q 存在，DQ 的长为 1 -14 分zyxABCDE17.（北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，在菱形 ABCD中，60DAB， E是 AB的中点， MA平面 ，且在矩形 NM中，2， 37M（）求证： C N；（）求证： / 平面 ；（）求二面角 ED的大小.A BCDENM解：（）连结 ，则 A.由已知 DN平面 C，因为 B，所以 平面 .2 分又因为 平面 ，所以 A.4 分（） CM与 N交于 F，连结 E.由已知可得四边形 B是平行四边形，所以 F是 的中点.因为 E是 的中点，所以 /A.7 分又 平面 C，N平面 M，所以 /平面 . 9 分（）由于四边形 BD是菱形， E是 AB的中点，可得 DEAB.如图建立空间直角坐标系 xyz，则 (0,)， (3,0), (2,0)C，37(,1).(,2.0)CE， 37(,1)EM.10 分FA BCDENMyxz设平面 MEC的法向量为 (,)xyzn.则 0,.n所以32,70.xyz令 .所以 21(,3)n.12 分又平面 ADE的法向量 (0,)m，所以 1cos,2n.所以二面角 MC的大小是 60. 14 分18.（北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学）如图所示，正方形 DA1与矩形 ABD所在平面互相垂直， 2ADB,点 E 为 B的中点。（）求证： E11/平 面 () 求证： （）在线段 AB 上是否存在点 M，使二面角 C1的大小为 6？若存在，求出 AM的长；若不存在，请说明理由。D1E BDCAA1（） 的 中 点是为 正 方 形 ，四 边 形 11ADOD , 点 E 为 AB的中点,连接 OE。AO为的中位线 / 2 分又 EB111,平 面平 面 DEAB11/平 面 4 分（II） 正方形 中, 11AD 由已知可得： 平 面 ， 1A平 面 .6 分DAB1, 1 .7 分EADE,1平 面平 面1.8 分（）由题意可得： ABC平 面1,以点 D 为原点，DA,DC,DD 1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 )1,0(),(),02(),(1CD，9 分 设 )(,100yM)1,2(,2,1CDC10 分设平面 1的法向量为 zyxn则 01n得 2)(zyx 11 分取 )2,1(,10yn则 是平面 MCD1的一个法向量，而平面 MCD的一个法向量为)0(212 分要使二面角 CD1的大小为 6 而 231)2(|,cos|6 20122 ynn zyxD1E Bo DCAA1yzOEP CBADx解得： )20(320yy当 AM= 时，二面角 DMC1的大小为 6 13 分19.（北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，四棱锥 ABCDP中，底面 BCD为正方形， PA， 平面 P，E为棱 P的中点（）求证： / 平面 EC；（）求证：平面 平面 BD； （）求二面角 A的余弦值（）证明：连接 BD与 AC相交于点 O，连结 因为四边形 为正方形，所以 为 B中点因为 E为棱 P中点 所以 O/ 3 分因为 B平面 AC， E平面 C， 所以直线 /平面 4 分 （）证明：因为 P平面 D，所以 P 5 分因为四边形 为正方形，所以 ， 所以 CD平面 A 7 分 所以平面 平面 BC 8 分 （）解法一：在平面 P内过 D作直线 zA因为平面 平面 ，所以 平面 BC由 ,DzA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzD 9 分yzNMOEP CBADx设 4AB，则 (0,)(4,0)(,)(0,4)(2,)(1,0)DABCPE 所以 13E， C 设平面 的法向量为 =()x,yzn，则有 ,0.EAn所以 、04,3yxz 取 1，得 (,3) 11 分 易知平面 ABCD的法向量为 ,0v 12 分 所以 |31|cos,|、nv 13 分由图可知二面角 E的平面角是钝角， 所以二面角 BAC的余弦值为 13 14 分解法二：取 D中点 M， 中点 N，连结 ， N因为 为正方形，所以 D/由（）可得 N平面 PA因为 PA，所以 由 ,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzM 9 分设 4AB，则 (2,0)(,4)(2,0)(,)(0,2)(1,)BCPE 所以 13E， A 设平面 C的法向量为 =()x,yzn，则有 ,0.EAn所以 、04,3yxz 取 1，得 )3,( 11 分 易知平面 ABCD的法向量为 v,0 12 分 所以 |31|cos,|、nv 13 分由图可知二面角 BACE的平面角是钝角， 所以二面角 的余弦值为 13 14 分20.（北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 ）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1底面 ABC，AC= BC=2， 2AB，CC 1=4，M 是棱 CC1 上一点（）求证：BCAM；（）若 N 是 AB 上一点，且 1NC，求证：CN /平面 AB1M；（）若 52C，求二面角 A-MB1-C 的大小 ABCA1B1C1MN证明：（）因为 三棱柱 ABC-A1B1C1 中 CC1平面 ABC，所以 CC1BC 1 分因为 AC=BC=2， 2， 所以 由勾股定理的逆定理知 BCAC 2 分又因为 ACCC 1=C，所以 BC平面 ACC1A1 3 分因为 AM 平面 ACC1A1，所以 BCAM 4 分（）过 N 作 NPBB 1 交 AB1 于 P，连结 MP ，则NP CC1，且 P B 5 分于是有 1AB 由已知 1NCM，有 1PBCM PC1 B1A1NC BAz yxNMC1 B1A1CBA因为 BB 1=CC1所以 NP=CM 所以 四边形 MCNP 是平行四边形 6 分所以 CN/MP 7 分因为 CN 平面 AB1M，MP 平面 AB1M， 8 分所以 CN /平面 AB1 M 9 分（）因为 BCAC ，且 CC1平面 ABC，所以 以 C 为原点，CA，CB，CC 1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz10 分因为 52，所以 C(0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，(0,)M， (,0)A， 13(0,2)M 11 分设平面 1B的法向量 (,)xyzn，则 An， 10BM即5(2,0)(,=03,).xzy，令 5x，则 ,4z，即 (5,34)n 12 分又平面 MB1C 的一个法向量是 =20A， 所以 cos,|n 13 分由图可知二面角 A-MB1-C 为锐角，所以 二面角 A-MB1-C 的大小为 4 14 分21.（北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=AB=2， 3B， 90,平面 PAB平面 ABC，D 、 E 分别为 AB、 AC 中点.（）求证：DE平面 PBC;（）求证：AB PE；（）求二面角 A-PB-E 的大小. EDAB CP解：（） D、 E 分别为 AB、 AC 中点，DE/BC DE 平面 PBC，BC 平面 PBC，DE/平面 PBC 4 分（）连结 PD，PA=PB，PD AB .5 分/DEBC， BC AB，DE AB .6 分又 P ，AB平面 PDE.8 分PE 平面 PDE，AB PE 9 分（） 平面 PAB 平面 ABC， 平面 PAB平面 ABC=AB， PD AB，PD 平面 ABC 10 分如图, 以 D 为原点建立空间直角坐标系B(1,0,0)，P(0,0, 3)，E(0, 2,0) ,=(1,0, )， E=(0, , ） 设平面 PBE 的法向量 1()nxyz，30,2xzy令 3_E_D_B _C_A_Pzyx_E_D_B _C_A_PGABCDEFO得 1(3,2)n 11 分DE平面 PAB，平面 PAB 的法向量为 2(0,1)n .12 分设二面角的 APBE大小为 ，由图知， 1212|cos,，所以 60,即二面角的 大小为 60 14 分22.（北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分 14 分）在四棱锥EABCD-中，底面 AB是正方形， ,ACBDO与 交 于 点 ECABDF底 面 ，为的中点. （）求证： E平面 F；（）求证： ；（）若 2,=在线段 O上是否存在点 G，使 平 面？若存在，求出 EGO的值，若不存在，请说明理由OFEDC BA解：（I）连接 F. 由 ABC是正方形可知,点 为 BD中点.又 为 E的中点，所以 O D.2 分又 ,FACF平 面 平 面所以 平面 .4 分(II) 证明：由 EBDB底 面 ， 底 面 ，所以 ,C由 ABD是正方形可知, ,ACzyxOFEDC BAG又 =,ACEACE平 面 ，所以 BD平 面8 分 又 平 面 ，所以 9 分(III)解法一：在线段 EO上存在点 G，使 CBDE平 面. 理由如下：如图，取 中点 ，连接 .在四棱锥 ABD-中， 22,OAC=，所以 CE.11 分由（II）可知， ,CE平 面 而 ,BDE平 面所以， O平 面 平 面 且 平 面 平 面 ， =因为 ,GOA平 面 ，所以 CBD平 面 . 13 分故在线段 E上存在点 ，使 CGBDE平 面.由 为 中点，得 1.2O= 14 分 解法二：由 ECABD底 面 ，且底面 C是正方形，如 图，建立空间直角坐标系 ,E-由已知 2,=设 (0)a=，则 (0,)(,0)(,2),(,)CDBEa2 2,0,2,)(,).OaaBaEaururur=-=-=-设 G为线段E上一点，且 (1)G，则 ,G2(,(),Caaurr=+-12 分由题意，若线段 EO上存在点 G，使 CBDE平 面，则 CBur， GEru.所以， 221(1)0,0,2a解 得 ， （ ）-+-=，故在线段 EO上存在点 G，使 CBDE平 面，且 1.2GO= 14 分23.（北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）在长方体 1ABCD-中，12A=D，点 在棱 上，且 13A1 B1ECBD1C1AD（）求证： 平面 AD；（）在棱 1上是否存在点 P，使 平面 1BAE？ 若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由； （）若二面角 1A-BE的余弦值为 306，求棱 的长证明：（）在长方体 1CD中，因为 1AB面 1D， 所以 2 分在矩形 1中，因为 12A=，所以 A 所以 1AD面 1B 4 分（）如图，在长方体 1ACD- 中，以 1D为原点建立空间直角坐标系1xyz依题意可知， 11(0,)(2,0)(,2)， (2,)A，设 B的长为 x，则 11(,)(,)CBx，(0,)(,23CE假设在棱 1A上存在点 P，使得 D平面 1B设点 P(2,0)y，则 (2,0-)y，-A易知 1(,),(-,)33BE=xAEx设平面 的一个法向量为 abcn，则 10AE=n，即1-203+x=ab7 分令 3b得， ,2xc，所以 3(,)2xn因为 DP平面 1B，等价于 0DP且 平面 1BAE得 2+(-)0xyx，所以 3y所以 4,3A， A，所以 的长为 439 分（）因为 CD 1B，且点 ECD，所以平面 1、平面 与面 1是同一个平面由（）可知， 1A面 ，A1B1CBD1 C1ADxyEz所以 1(2,0)DA是平面 1ABE的一个法向量 11 分由（）可知，平面 的一个法向量为 3(,)2xn因为二面角 1-的余弦值为 306，所以 122+30cos639()xDAn，解得 32x故 AB的长为 2 14 分24.（北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，在直三棱柱 1ABC中，90C， 12,ABE是 BC中点.（I）求证： /平面 1A；（II）若棱 1上存在一点 M，满足 1CE，求 AM的长；（）求平面 EC与平面 1B所成锐二面角的余弦值 .E1B1A1 CBA【答案】(I) 连接 1交 1于点 O，连接 E因为 AC为正方形，所以 为 AC1中点，又 E为 B中点，所以 为 B的中位线，所以 1/O 2 分又 E平面 1AC， B平面 1AEC所以 1/AB平面 1EC 4 分（）以 为原点， AB为 x轴， 为 y轴， 1A为 z轴建立空间直角坐标系所以 11(0,)(,2)(,0)(2,)(0,)(,2)(1,0)ACE设 ,Mm，所以 1,Mm，因为 1BCE，所以 10BE，解得 ，所以 AM 8分（）因为 1(,0)(,2)A，设平面 1E的法向量为 ,nxyz，则有 10nAC，得0z，令 ,y则 ,x，所以可以取 (1,)n， 10 分因为 平面 1B,取平面 AB的法向量为 (0,2)AC11 分所以3cos,|CnA平面 1E与平面 1B所成锐二