高中数学选修1-1《椭圆及其标准方程》教案

- 1 -课题：椭圆及其标准方程（第一课时）教材：人教版普通高中课程标准试验教科书数学（选修 1-1）第二章第一节1、教学目标知识目标理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；会根据条件写出椭圆的标准方程；通过对椭圆标准方程的探求，再次熟悉求曲线方程的一般方法能力目标提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力，体会数形结合的基本思想。情感目标在形成知识、提高能力的过程中，让学生体验数学发现和创造是历程，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。2、教学重点与难点教学重点椭圆的定义及其标准方程教学难点椭圆标准方程的推导3、教法与学法教学方法探究式教学教学手段使用多媒体辅助教学与自制教具相结合学习方法动手实践、自主探索与合作交流教具准备 圆形白纸、硬纸板、图钉、细绳（10cm）4、教学过程教学过程思路：具体 一般 一般抽象 折纸游戏 椭圆定义 标准方程 知识应用环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图情境引入阶段10分钟情境引入：生活中充满美，各种各样不同的形状将生活变得多姿多彩。 （图片展示）有些形状我们很容易就能画出来，而有些则不然。同学们能只用尺子画出椭圆吗？今天我教大家用纸折出一个椭圆来。折纸游戏：（5 分钟）几何画板展示：将圆周上的点增多，让学生进一步确认。请学生将圆形纸片拿出来，并按如下步骤进行操作：1将圆心记作点 1F，然后在圆内任取一定点 2，如图2在圆周上任取 10 个点记作 12310N、 、 3折叠圆形纸片，使点与点 F重合，将折痕画出来；依此类推，直至点 10与点 2重合。 4观察折痕围成的形状，你有何发现？问题：这个椭圆实际上是由折痕上的点围成，这些点又是怎么形成的呢？请大家将圆周上的点与圆心连接，看看。跟着老师完成折纸，并观察所得图形，得到：围成的形状近似一个椭圆。根据教师提示进行连线，并发现围成椭圆的点是折痕与相应圆半径的交点。1、通过图片，吸引学生的注意力，提高参与程度，将美学引入课堂，并引出实践探究活动。2、通过折纸游戏，学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，为学生提供动手实践、合作交流的机会。激发学生探究热情。3、由具体实例出发，逐层探究，培养学生独立思考、积极探索的良好习惯，让学生体验“再创造”过程。归纳总结- 2 -环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图几何画板同步展示：显示其中一例，以供学生探究。得到猜想：平面上到两定点距离之和为定长的点的轨迹是椭圆。引导：围成椭圆的点是到圆心和到 F2 距离之和等于半径的点。其中圆心、点F2 是确定的点，半径为定长。请学生类比圆的概念，概括椭圆的形成条件。分组讨论得到：点 1M为 1FN中垂线上的点，故有|M 1F1|+|M1F2|=|M 1F1|+|M1N1|=|F1 N1|=半径4、让学生经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括的过程，提高其数学思维能力。探究新知阶段20分钟1、椭圆定义（10 分钟）学生操作（3 分钟）几何画板展示：得到：椭圆，如图2、|F 1F2|=|M F1|+|M F2|F1 F2M得到：线段 F1 F23、|F 1F2|M F1|+|M F2|：F1 F2得到：M 点不存在椭圆定义：在平面内，到两定点 F1，F 2 的距离之和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距,记|F 1F2|=2c.注意：（1）2a|F 1F2|，轨迹是椭圆；（2）2a=|F 1F2|，轨迹是线段；验证猜想：利用自制工具，图钉为定点、细绳为定长，引导学生绘出动点轨迹。问题 1：观察几何画板演示，哪些量是变的哪些是不变的？问题 2：从上面的研究中能证明我们的猜想吗？问题 3：如果将图钉间的距离扩大到与绳子一样长，或比绳子长，还能得到椭圆吗？动手试试。问题 4：若设|F 1F2|=2c ，|M F1|+|M F2|=2a，能否概括出椭圆的定义？取出准备好的图钉和细绳，同桌合作画轨迹可能回答：猜想得到验证。在教师引导下动手操作，并思考思考，小组讨论回答问题1、学生的动手实践、观察、分析、探究能力得到培养，学生对椭圆的定义也有了一种更清晰的感性认识；2、深化学生探究活动，体会探究乐趣，让学生深刻地理解椭圆定义中含有的内在条件，突破了重点。3、让学生了解归纳概念的严密性，从形象到抽象，特殊到具体，提高归纳概括能力。加强化了学生对椭圆定义中“焦距小于两距离之和”这一要点的理解。F1 F2MO x- 3 -（3）2a2c)解：以 F1，F 2为 x 轴，以其中点为原点容易得到：F1（-c,0）,F 2（ c,0）|M F1|+|M F2|=2a设 M（x，y）可得 aycc2)()(2化简得到： 122cayx类比圆与直线方程： 22ryx和 bx令 cab则方程变为： )0(12yx该方程为焦点在 x轴上椭圆的标准方程，其关于坐标原点对称。引导：椭圆定义我们进一步认识了椭圆，曲线与方程是分不开的，那么椭圆方程是什么样子的呢？问题：从前面学过的知识，我们如何求动点的轨迹方程？引导学生回顾建、设、限、代、化的过程，建立适当坐标系，求轨迹方程。对于学生各种想法给予鼓励。问题：对于代根式的方程 如何化简？鼓励学生尝试各种方法，进行自主探究。引导：既然 2ca是一个正数，我们如何能令方程更加具有对称、简约美？问题 3：我们解答引例的时候有些同学将定点 F1，F 2设在 y轴上，联想一下如果将椭圆的两个焦点放在轴上，并且关于原点对思考回答问题小组讨论：如何建立适当坐标系。提出不同的建系方式。选取自己的方法化简方程，并进行讨论。得到：先移项，在两边平法。不难想到： 12bxay1、温故探新，训练学生运算求解、数据处理的能力。2、感受数学的简洁美、对称美，呼应本课注意：将美学引入数学课堂；3、让学生体会合情推理，领会化归思想。- 4 -)0(12baxy为焦点在 轴上椭圆的标准方程称，其方程的形式怎样呢？问题 4：如何区分两道椭圆的标准方程？应用阶段12分钟应用 1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0） ， （2，0 ） ，并且经过点 ),(35，求出它的标准方程。应用 2：写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 52,10cba引导：，我们已经知道该轨迹方程的形式，只要确定哪些参数就可以了？引导：这道题除了用定义来解答，还有没有其他解法？（待定系数法） 思考，解答 1、鼓励学生使用定义法和待定系数两种方法解答，及时对解题方法和规律进行概括，发展学生的思维能力和问题解决能力。2、应用 2 加深学生对椭圆标准方程的掌握，检验其思维的严密性。环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图小结1、知识小结：定义椭圆图形焦点坐标标准方程参数关系1、思想方法小结：（1）从特殊到一般的探究方法。（2）两类方法（定义法与待定系数法） ；根据本节课所学关于椭圆的知识，完成知识表格。肯定学生表现，方法引导，启发完成表格，巩固新知1、建构知识系统，掌握本节课内容；2、深化课堂，体现“授之以渔”的教学理念。作业布置1、必做题：课本 36 页第2、3、4 题2、探究：（1）你能否按照焦点在 y 轴上的方案进行建系、设点，并得到椭圆的标准方程？（2）能否在椭圆的图中找出表示 cba,的线段？做好记录针对不同层次学生，巩固知识，拓宽思维，为下节课椭圆几何性质的学习做好铺垫。5、板书设计课 题1、椭圆的定义2、椭圆的标准方程简图 简图焦点在 x轴 焦点在 y轴椭圆标准方程分析、化简应用 1：应用 2：- 5 -6、教学评价：按照前苏联心理学家的“最近发展区”理论，椭圆的知识正是在学生的“最近发展区”内，而本人本节课的设计也是在这一理论的指导下，循序渐进地引导学生完成“旧知识新发现新探究新知识”的过程。相信学生在自主、开放的课堂中能掌握本节课知识，同时获得数学的情感体验，享受到成功的乐趣。椭圆及其标准方程（第一课时） 教案说明设计理念：让学生在自主探究活动中，经历从具体到抽象的知识产生过程，体会解析几何的精髓。遵循这一设计理念从教材分析；目标分析；教法学法；教学过程；板书设计；教学评价六个方面整体设计课堂。1、教材分析 椭圆及其标准方程是继学习圆以后，运用 “曲线和方程”理论解决具体二次曲线的又一实例，是本章的一节入门课，具有承前启后的重要作用。体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。2、教学目标分析根据新课标和新大纲要求确立了知识目标、能力目标、情感目标三层目标。3、教法学法主要采用探究式教学方法。同时，在教学过程中同步使用多媒体辅助教学与自制教具相结合的设计方案。动手实践、自主探索与合作交流是本节课中学生学习新知识的主要方法。4、教学过程落实“倡导积极主动、勇于探索的学习方式,力求通过各种不同形式的自主学习和探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程”这一高中