高中数学案例：算法中“直到型”循环结构的探究式教学

算法中“直到型”循环结构的探究式教学探究式教学是高中课堂活动的重要教学方式之一，它是以探究为基本特征的教学活动形式，数学的探究活动包含生生之间和师生之间的互动和交流，有助于调动学生的学习主动性、学习的积极性和参与意识，有助于培养学生发现问题，提出问题，解决问题的能力。算法是高中数学的新增内容，循环结构是算法结构中的一个难点及重点。面对复杂的流程图，学生的分析会出现混乱，学生能根据流程图“执行”循环结构，但不能设计循环结构和用一个恰当的判断条件终止循环。在学习过程中仅有 11%地学生能够添加正确的条件来判断循环的起始，仅有 2%的学生能够完成自然语言描述的循环结构的算法中的两个流程图。在教学中，我试图通过错例分析引导学生对解题活动给予回顾、反思、评价，促进学生的元认识水平的发展和提高。我作了如下安排1 背景资料问题：设计一个算法求 1+ 的和31412这是一节习题课，主要目的是巩固循环结构的程序框图的设计，及在设计循环结构时要注意三要素：计数变量，循环体，控制条件。课前我已把这道题目当成作业叫同学们做好，这样的目的也为了让学生们有更多的思考空间。通过作业，我把学生的多种解答和类型作了详细的统计，并将不同的几种典型的错误解法及和我预想会出错的流程图印发给每位学生，为引文方便现摘录如下：图 1 图 2 图 3输出 si=1S=0i=i+1s=s+ii31结束YN开 始 开 始i=1S=1i=i+1s=s+ i1i31结束i=1S=1i=1/(i+1)s=s+ii1/31结束开 始输出 s 输出 sY YN N图 4 图 5 图 6输出 si=i+1s=s+ i1I 31i=1S=1结束YNi=i+1s=s+ i1YNi=1S=1i31输出 s结束N2 研究和探索课上要求每一位同学认真阅读印发的讲义并结合自己原来的想法或解答，思考以下问题我的设计是不是最好的？最直观？（因为算法设计的思路决定框图设计的繁简）我的设计合不合题目的要求，程序能不能执行下去，不能执行下去的原因在哪里？（明确上课听课的目标）上述的设计能解决问题吗？是当型还是直到型循环结构吗？若不合要求你能作一下修改让它成为满足题意，成为可执行的程序框图？（方法的掌握比解一两道题目更重要）你认为设计循环结构的程序框图时，注意点是什么？（总结反思才有提高） 。8 分钟后生 1：材料中 1、2、3 是直到型的，4、5、6 是当型的。直到是先执行后判断，直到满足条件循环停止，而当型是先判断后执行，当条件满足时进行循环。对本题来说，两种设计方案都可以。师：那么材料中设计的流程图的可行性怎么样呢？生 2：我的设计是图 2，开始不是很确定，一看其他情况，我知道我的设计是对的。师：哦，你是用什么方法检验的呢？生 2：我把自己想成是计算机，依照计算机的处理过程沿流程线逐步执行指令，根据指令记下循环运行的过程和变量值特别是前几次和最后几次，发现图 1 的运算结果求 23431 的和，不是题目的要求师（微笑）：方法很好，咱们的人脑确实比电脑好用，灵活机动。 （学生笑）那么你能不能把图 2 的检验过程跟同学们叙述一遍？生 2（响亮的回答）：ok，由 ii 1，得 i2。由 s=s+1/i，得 s=1+ ,因为 i30 才对。你看，当 i30 的时候不满足 i31 要继续执行循环，这时 i=32 那么设计出来的程序就变成加到 了。3开 始i=1S=0结束输出 si 31i=1/i+1s=s+i开 始 开 始Y师：不错，这个程序确实要把判断条件改一下才能变成可执行的方案，生 2 同学把咱们设计流程图的注意点都点出来了，感谢他。 （要促进学生的自我反省，引 发 必要“冲突”可借助适当的追问，展示学生的思维，从而在展示过程中发现问题）（生 2 信心十足的坐下）师：还有没有有没有其他的判断条件？生 2：嗯还可以用 i31师：根据生 2 的思路，谁能在图 1 的设计上作一下修改让他变成可以操作的流程图呢？生 3：简单。把图 1 的条件全换成图 2 的就可以了。师：对的，这是可以的，那么有没有其他的修改方法呢？生 4：把 s=s+i 这个要改成 s=s+1/i 然后把它跟 i=i+1 的顺序调一下，你看行不行？师：同学们，你能根据生 2 的方法检验行不行呢？（同学积极验证）：可以的生 5：那判断条件呢，我有些不太肯定。生 3：我来解决好了。当 i=31,s=s+1/i,即 1 ，i=i+1 即 i=32,3231 满足条件退出循环。3142所以输出的 s1 3412师：很好。咱们在控制循环的判断条件上处理得蛮仔细的。那么图 3 呢？这个设计可不可以呢？（陷入沉思）师：咱们可以用同样的方法检验。生 6：我的设计是 5 的情形，我是这么想的，加数是分式，特点是分母都增加了 1，我把加数当成计数变量，所以我设计 i1/（i1） 。在设计时没有验算，只是凭上课听了的例子做的。现在验算一下好像不能操作。生 7：是不能执行的。当 i=1 时,满足题意。执行到 i= ，进入循环后就不行了 i=1/( +1) ,把加数当2123成计数变量行不通，只能够把加数的分母当计数变量。生 8：这个判断条件也不行，加数是越来越小，i1/31,马上就退出来了师：问题的结症找出来了，修改也就容易了。（引导学生对各种设计方法的思维过程进行再认识并在分析比较中提炼出更好更简更典型的设计方法，从而改进和优化已有的的思维过程， 检查自己的得失，促 进思 维能力和水平的提高，加深对算法的理解和循环结构设计的通法认识，在这样 的认识和体验过程中，使学生能与他们已有的的认知结构中的相关，并由他们本身感悟出带有普遍性的规律，建立自己的知 识体系。 ）师：直到型可以与当型互换，那么当型的结构你能按刚才的分析方法判断图 5，6，7 的正误吗？全体答：可以师：哪位同学来回答 4 的思考题？学生：循环结构的设计要找好 3 个部分：变量的初始值，循环体和判断条件。一般累加初始值记为s0，在初始状态和终止状态的处理及循环条件的设计上，可模仿计算机的处理过程沿流程线逐步执行指令，根据指令记下循环运行的过程和变量值特别是前几次和最后几次师（赞许的目光，微笑）：总结的很好，本题是循环结构的典型例子。设计时要知道这个结构是当型还是直到型，每一步都要知道自己为什么这么设计，问问自己能不能执行？控制条件是不是把所有的情况都包括了 ？那么对于循环结构相信大家是有能力掌握的。 （学生只有参与教学实践，参与 问题的探究,才能建立起自己的认知结构，才能灵活地运用所学知 识解决问题 ，也才能有所 发展，有所创新）3 收获与反思这节习题课因为学生做过了，老师批阅了，知道学生的正确与错误的情况，因此，一般的处理方式是教师分析，学生听的注入式教学。本节课在培养学生主动探究，调动学生学习兴趣方面作了一点探索：一方面教师营造较为宽松的氛围，使学生敢说、愿说、想说。有错的同学敢于曝露自己的错误，弱点，有不同见解的同学敢于发表自己的意见，使每位同学都积极地构建自己的知识。教师在讲课前要做好充分的准备，批改每道题的错误原因，发现有代表性错误的加以统计，收纳不同的错误原因。特别是追查每道错题的错误根源。发现错误并且发现错误的根源是教师作为学习的促进者的工作。通过引导，学生发现并剖析自己的错误根源通过自身的情感体验，逐步坚定学好数学的决心。另一方面，循环结构是算法中的重点内容，是考试中的必考内容之一，思维能力要求很高，对于学生的不同设计方案，不管正确还是错误都要给予鼓励，特别是错误的不但要帮助他们找到错误的结症在哪里，还要鼓励他们继续探索，树立信心。波利亚说：“教学生解题是意志教育。当学生求解那些对他们来之不易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进步，学会了等待主要念头出现后全力以赴。没有尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育再最重要得地方失败了。 ”正是在这种不断的探索过程中学生主动探究的精神得到了很好的发展。第三，现行的班级授课中如何让不同层次的学生都有最大的收获，本节课能满足学生的需要，宽松的课堂氛围学生的思路才能更加宽阔，而且在这种愉快的气氛中学生漫漫体会到成功的喜悦，也使学生不满足一时的成功总是在寻求最佳、最简、最好的方法过程中向自己的能力挑战。布鲁纳认为，与其让学生把同学之间的竞争作为主要动机，还不如让学生向自己的能力挑战。这样使学生有一种求的才能的内驱力，更好的调动学生的学习兴趣。第四，建构主义认为：学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是依据其已有的知识和经验所作的主动建构。而这种主动建构必需对问题有深入的认识，在课堂教学中能反映学生认识水平必然有一个在同学之间、师生之间互相进行表达、交流、比较、批评、反思的过程。总之，教学过程是师生共同建构学习主体的过程，是学生通过创造性地解决问题，获得知识和发展能力的过程，这就需要我们在平时在教学过程中结合教学目的和任务及学生实际情况和可接受水平，创设