高中数学论文：圆锥曲线有效教学的实践

高中数学论文圆锥曲线有效教学的实践摘要 针对学生解答圆锥曲线综合题的现状，通过圆锥曲线教学中的几个具体案例，进行有效教学的实践。关键词 教学案例；有效教学圆锥曲线将几何和代数进行了完美结合，借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系。圆锥曲线的题目解题思路清晰，解题方法和规律性比较强，但运算过程往往比较复杂，对学生运算能力、恒等变形能力、数形结合能力及综合运用各种数学手段和方法的能力要求很高，因此，在很大程度上成为学生能力和心理上一道难以逾越的障碍。在平时的综合练习中，对于圆锥曲线的综合题，学生往往只能完成第（1）小题，对第（2） （3）小题有的怕烦而懒得下手，有的则怕难而没有信心动笔，如何改变这种现状是摆在我们数学老师面前的严峻问题。本文通过圆锥曲线教学中的几个具体案例，就如何进行有效地课堂教学谈谈自己的拙见，以期抛砖引玉。1 利用问题系列 点拨知识联系圆锥曲线是重要的二次曲线，透彻的理解其定义，掌握定义所反映的曲线的本质，常使问题化繁为简，化难为易。因此圆锥曲线定义的教学尤为重要。案例 1 在双曲线概念的教学中，对于定义“平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线” ，若直接重述几遍，学生理解肤浅，在处理具体2F问题时，就可能思路受阻，漏洞百出。为强化对概念的理解，设计了如下的问题系列：（1）将“小于 ”换成“等于 ”，其余条件不变，点的轨迹是什么？2121F（2）将“小于 ”换成“大于 ”，其余条件不变，点的轨迹是什么？（3）将“绝对值”去掉，其余条件不变，点的轨迹是什么？（4）若“常数”等于零，其余条件不变，点的轨迹是什么？通过以上问题的讨论和探究，学生对双曲线定义中“绝对值” “常数” “小于 ”等有21F了深刻的理解，从而培养了思维的深刻性。2 找准典型母题 衍生有效子题圆锥曲线的题型相对比较集中，如圆锥曲线的弦长、标准方程的求法，圆锥曲线有关性质问题、最值问题，角的问题以及圆锥曲线的综合应用问题等，备课时应特别重视每一类题型中的“母题” ，它的典型性和代表性是通过改变条件或结论衍生出各种各样的子题。找准合适的母题，即抓住了重点，又节省了时间，同时可以将不同的方法和技巧得到渗透，起到事半功倍的作用。案例 2 【母题】已知 P 是椭圆 上任一点， 为椭圆的两焦点，若142yx21,F为直角，求点 P 的坐标。21PF分析 设点 P 的坐标，利用数量积为零是向量垂直的充要条件，求得点 P 的坐标。【子题 1】已知 P 是椭圆 上任一点， 为椭圆的两焦点，若 为锐142yx21,F21PF角，求点 P 横坐标的取值范围。分析 将 看作是两向量 的夹角，由 为锐角得 从而21F21,PF21P,021可求得点 P 横坐标的取值范围。【子题 2】 (2010 浙江卷) 已知 m1，直线2:0mlxy，椭圆2:xCy，1,2F分别为椭圆 C的左、右焦点. （1）当直线 l过右焦点 2F时，求直线 l的方程；（2）设直线 与椭圆 交于 ,AB两点， ， 的重21F21B心分别为 ,GH.若原点 O在以线段 GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.分析 原点 在以线段 为直径的圆内 为钝角O0OHG【子题 3】 已知 P 是椭圆 上任一点， 为椭圆的两焦点，若 为142yx21,F21PF直角三角形，这样点 P 有_个。分析 “ 为直角三角形”并不等同于“ 为直角” ，设置此陷阱的目的是培21F21P养学生解题的严谨性。3 注重形异质同 培养思维能力案例 3 已知椭圆 C 经过点 ,两个焦点为 。)231(A)0,(1)求椭圆 C 的方程；(2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF的斜率为定值。分析 直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数 0AFEk类题 1 抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 , ， 均x )21(P)1yx),(2yB在抛物线上。（1）写出该抛物线的方程；（2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求直线 AB 的斜率。分析 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 直线 PA 的斜率与 PB 的斜率互为相反数 0PBAk类题 2 已知抛物线 C 的方程为 ，直线 与抛物线 C 相交于 M,N 两点，点 A,Byx422在抛物线 C 上。若 ,求证：直线 AB 的斜率为定值。AMNB分析 MA 与 MB 的斜率存在且倾斜角互补 直线 MA 的斜率与 MB 的N斜率互为相反数 0k类题 3 已知抛物线 上横坐标 为 的点 到焦点 的距离为 2:()ypx3MF4（1）求抛物线的方程；（2）若斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点，且点 在直线 的右上方，lC,ABl求证： 的内心在直线 上。MAB3x分析 的内心在直线 上 的角平分线为 MA 与 MB 的倾斜角3x互补 直线 MA 的斜率与 MB 的斜率互为相反数0MBAk点评 对于类题（1）中的“倾斜角互补”和类题（2）中的“ ”，学生不AN难得出相应的两条直线的斜率互为相反数。学生之所以对类题（3）望而却步，主要原因是学生不会将待解决的问题“ 的内心在直线 上” ，通过转化归结为一个已为人AB3x们所熟知的问题，即“直线 MA 的斜率与 MB 的斜率互为相反数” 。因此在教学中，我们应帮助学生认识问题的本质，真正达到由表及里、举一反三、触类旁通的目的，切实培养思维的广阔性。4 适时优化运算 问题轻松获解“设而不求”是解决圆锥曲线问题的常用方法，此法不但可简化解题过程，还可优化解题思路。但有时由于所设的未知数较多，反显得多余而低效，适当减少未知数是十分必要的。如在处理直线与抛物线的位置关系问题时通常利用抛物线方程或直线方程代换一部分未知数，有利于简化运算环节，使问题轻松获解。案例 4 已知 ， 是抛物线 ( 为正常数)上的两个动点，设1(,)Axy),(2yB2:Cxpy直线 AB 与 x 轴交于点 P，与 y 轴交于点 Q，且 124(1)求证：直线 AB 过抛物线 C 的焦点；(2)是否存在直线 AB，使得 若存在，求出直线 AB 的方程；若不存在，13?ABP请说明理由。解 （1）略；（2）假设存在满足条件直线 AB，并设其方程为 ，则得 ，2pkxy)2,0(,(pQkP211)(ykpxPA121)(pkx21y1y同理 ，PB21ykPQ21pk由 + = 得 = 即 （ ）A312621216)(yy联立 消去 得 ，22pkxy 04)(222pkpy代入（ ）得,2121446)(22pk解得 ，k存在满足条件的直线 AB，且它的方程为 21pxy点评 处理本题的关键是将 整体代换成 ，再根据条件求出 的值，运算过程显得kpx21kk简捷明了。5 采用逐句翻译 实现程序解答平面解析几何是用代数的方法研究平面几何问题，其基本思路是：建立坐标系，将问题中的几何关系翻译成代数式，然后经过代数或几何运算得到相关结论。因此在解圆锥曲线综合题时，应养成逐句翻译的习惯，即“读题一句，思考一句；结合目标，翻译一句” 。要尽可能地将题设中的条件全部融入图形中去，切实做到文字语言、符号语言、图形语言的相互转化。案例 5 已知抛物线 D的顶点是椭圆 1342yx的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合 .(1)求抛物线 的方程 ;(2)已知动直线 l过点 0,P,交抛物线 于 A、 B两点.是否存在垂直于 x轴的直线 m被以 A为直径的圆 M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出 m的方程；如果不存在，说明理由.分析 （2）设出直线 的方程及点 A,B 的坐标，将条件“已知动直线 l过点 P（4,0）,交抛l物线 D于 、 B两点”翻译成联立抛物线方程和直线方程消去 得到一个关于 一元二次xy方程，再利用韦达定理写出两根之和、两根之积。条件“是否存在垂直于 轴的直线 被以 AP为直径的圆 所截得的弦长恒为定值？”中涉及到直线被圆截得的弦长问题，因此需设出直线 的方程，写出圆 M 的圆心和半径，再利用圆的弦长公式，化简后即得结果。m解 （1）易得抛物线 的方程为 ；xy42（2）设直线 的方程为 ，lnx由 消去 ，整理得 ，,4nyx 01642y设 ，则 ，),(),(21yxBA16,4221yn设直线 的方程为 ，圆 M 的圆心为 半径 ，mt),(xr2)4(11yxAP圆心 M 到直线 的距离 ，24211txtxd，2dr11 )()4(ty化简得 ，23txt要使弦长恒为定值，即 为定值，只须 ，2dr3t此时 3，因此弦长为定值 。2dr点评 此题属于直线与圆锥曲线位置关系的问题，常常采用以下程序化步骤：先联立直线与圆锥曲线