高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案

1课题：直线与平面垂直的判定教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修21.教学目标根据本节地位和作用的重要性，结合高一年级学生的认知规律，我制定了以下的教学目标：知 识 目 标 :1.正确理解直线与平面垂直的定义。2. 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理。技能目 标 ：1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，2.运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“转化”这一数学思想。情感 态 度和价 值观 目 标 ：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。2.教学重点、难点教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。教学难点：概括直线与平面垂直的定义和判定定理时如何将直线和平面的垂直转化为直线与直线的垂直。3.教学方法与手段本节课采用“ 引导探究式 ”教学方法,教学过程中突出 “问”、 “动”两方面。“问”精心设计了一些问题，让学生在问题的带动下，概括出直线与平面垂直的定义，将“与平面内所有直线垂直” 逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用。 “动”我设计了以学生活动为主体，培养学生能力为中心的探究活动。首先课前安排学生收集有关“ 直线与平面垂直 ”的例子，其次在课堂上让 学生操作折纸实验，让其在动的过程中对直观感知概念本质，并操作确认了判定定理。课前准备：要求学生收集”直线和平面垂直” 的例子及准备一块三角形纸片。24.教学过程：教学环节教师活动 学生活动 设计意图一、直线与平面垂直定义的建构（1）创设情境感知概念展示图片：请同学们观察图片，说出高楼的侧棱与地面，旗杆与地面的位置有什么关系？请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？请同学们举一些直线和平面垂直的例子。这些都给我们以直线与平面垂直的形象，那么如何定义直线和平面垂直呢？（2）观察归纳形成概念思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义。线面垂直的定义: 如果一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直，记作：l.直线 l叫做平面的垂线，平面叫学生课前收集例子，通过观察，思考和回答学生观察思考，交流讨论初步给出线面垂直的定义线面垂直定义比较抽象，若直接给出，学生只能死记硬背，因此，在教学中，先安排学生课前收集大量图片进行感知，然后再通过多媒体课件演示，设计这样的问题情景贴近学生生活，使得学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识，为归纳出直线与平面垂直的概念作准备。学生在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义并让学生体会到线面垂直的本质是直线与平面内任意一条直线垂直。3D CBA二直线与平面垂直的判定定理的探究做直线 l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。用符号语言表示为： lml内 任 一 直 线是 平 面(3）剖析概念深化理解辨析：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（1）分析实例猜想定理观察在正方体ABCD 1DCBA中直线与平面位置关系回答以下问题图中有哪些线面垂直关系？你是如何判断的？如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直,此直线是否和平面垂直？和一个平面内的两条直线垂直呢？和一个平面内的无数条直线垂直呢？你认为保证直线与底面垂直的条件是什么？（2）动手实验确认定理如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上， （BD、DC与桌面接触）.观察并思考： 折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂学生通过对两个问题的辨析讨论，体会“ 无数”和“任何”的不同，感受“ 线线垂直”和“线面垂直”间的转化。学生指出正方体中的互相垂直的直线和平面，但无法找到说明他们垂直的依据。类比“线面平行 ”的判定，想到能否利用“线线垂直”得到“线面垂直”学生动手实验学生会出现“ 垂直”与“不垂直”两种情况，引导两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原通过两个问题的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念。掌握线面垂直的一个性质。通过这组问题想让学生认识到判断直线与平面的垂直用定义很难做到所以我们有必要寻找更为简便可行的方法来判断直线与平面的垂直，于是就想到要减少直线的条数从而引出直线与平面的垂直判定定理的探索。课程标准中只要求对线面垂直的判定定理进行直观感知、操作确认，注重合情推理。因而在探究直线与平面垂直判定定理过程中，安排学生4三直线与平面垂直判定定理及应用直？ 由折痕 BCAD，翻折后垂直关系，即 ,发生变化了吗？多媒体演示翻折过程得到结论:直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。用符号语言表示为： lnlmP,（3）反思，深化定理老师强调使用“ 直线与平面垂直判定定理”时要注意 “两条”、 “相交”。“线不在多，相交则灵”阅读课本例1 如 图 ， 已 知 ， 求 证 ： ab,/b例 .如 图 ， 已 知 ， 求 证 ： 例 mna教师略作讲评后指出这个结论也是判定线面垂直的依据。因。学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高，即ADBC，翻折后折痕AD就与桌面垂直学生叙述结论，并尝试用图形语言和符号语言进行叙述让学生阅读课本例1，理解线面垂直判定定理的应用。请学生完成并板演动手实验，讨论交流、对实验现象进行观察和分析，自己发现结论。通过问题让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力。培养学生的归纳能力和表述能力5CABDOP四总结反思提高认识五布置作业自主BC DAFE PC于过 E作PB于 ,再 过 A作 E面 ABD,过 A作已 知 矩 形 CD:例 2的 直 线 有 _(1)与 面 垂 直 的 直 线 有2与 面 C垂 直 的 直 线 有3与 面 PAD垂 直 的 直 线 有 _(4)与 直 线 垂 直提出问题：（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？（3）本节课你还有哪些问题？教师点评，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示），同时，说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路，并鼓励学生反思，大胆质疑，教师作好记录，以便查缺补漏。布置作业:（1）如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO平面ABCD学生发言，互相补充师生共同评析，帮助学生明确运用定理时的具体步骤，；同时，展示了线面垂直的枢纽作用，进一步提高转化和综合运用知识能力。以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。（1）题是基础题，（2）题是开放性题目，这样，有助于培养学生的发散思维，使学生在不同的几何体中体会线面垂直关系。6CO BAP探究（2）探究：如图，PA圆 O 所在平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？使学生及时巩固知识和检验教学效果。教案说明这是一节数学教学的探讨课，教师对合理使用教材、改进教法、改变数学教学模式，促进学科素质教育做了一点尝试。教师在本节课的处理上借助多媒体辅助教学，采用“引导探究式”教学方法。在整个教学过程中，遵循“直观感知操作确认归纳总结”的认知规律。对于线面垂直的定义没有直接给出，而是让学生在对图形、实例的观察感知基础上，借助动画演示帮助学生概括得出。而对于线面垂直判定定理更是通过创设问题情境引起学生思考，安排折纸试验，讨论交流。这里教师创建了一种以学生为中心，使学生自主学习的环境。在课堂教学中设置开放的教学环境，会让师生处于平等的地位。这样的课堂，学生参与积极性高，不同层面的学生会有不同的收获。教师主要在两方面做出努力：一方面通过问题创设情境，为学生的自主探索提供了平台；另一方面调节课堂气氛，7