高中数学教学论文：谈数学活动中的类比与学生创新意识的培养

1证明或验证原型 模型可能的结果 结果观察比较类比联想谈数学活动中的类比与学生创新意识的培养 摘要：波利亚说：“类比是一个伟大的引路人。 ”数学中，通 过类比能够引导我们去发现问题，并 设法解决问题。在数学活动中的 类比，能 够激发学生创新兴趣，提高学生创新能力，训练创新思维，丰富创新体验，并达到培养学生 创新意识的目的。关键词：类比 创新意识 培养 在日常生活中，人们往往会根据两个对象之间的相似性，把信息从一个对象转移到另一个对象上，来认识和解决问题，这就是所谓类比。它既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法，其思维作用包含着整理性和探索性两个方面。 数学课程标准（实验） 指出：“让学生通过数学学习，不断经历直观感知，观察发现，归纳类比等思维过程，体验发现和创造历程，发展他们的创新意识。 ” 同时在教材选修 12 、 选修 22的推理与证明中，安排类比这一教学内容，并要求学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，能利用类比进行简单的推理，体会并认识在数学发现中的作用。实际上，类比以至于创新乃是数学研究的生命，一个问题经过变更形式，怎样根据原有结构相应列式；一种性质在一个范围内成立，在另一个更大的范围是否成立？都需要学习者研究推证，或者举反例否定。数学就是递次在原有知识体系中拓展延伸而丰富。当然，有时否定了一个前提后，可以创造一门崭新的体系，像从欧氏几何到罗巴切斯基再到黎曼几何，无一不是如此。因而数学活动中关注类比的应用是非常有必要的，它不仅有助于培养学生类比的思维习惯和方法，使他们获得数学发现的基本素质，而且，在学生大胆地类比，创造性的发现活动中，也使他们产生浓厚的数学学习兴趣，培养了创新意识。数学中的类比又是怎样的？其实类比的实质就是信息从模型向原型的转移，其步骤可由下列框图表示：任樟辉教授在数学思维论一书中把类比解析为：“类比是根据两个数学对象或两类事物一些属性相同或相似，从一个对象的已知属性出发去猜想另一个对象的也可能具有相同的或相似属性的一种思维方式.”故类比的方法是以两个对象之间的类似特征为基础的，关键是善于发现不同对象之间的“相似” 。下面谈谈自己在数学教学活动中运用类比，培养学生创新意识的粗浅体会。一、类比创设问题情景，激发学生创新兴趣G波利亚说：“类比是一个伟大的引路人。 ”在教学中利用类比的思想方法，进行问题的猜想，由数学的结论得出新的命题，再进行论证检验，从而发现新的数学结论，这过程就会激励学生大胆2地创造性类比发现，从而发现问题解决问题，使他们产生浓厚的兴趣。常用的数学类比有数式与图形的类比、平面与空间的类比、高维与低维的类比、有限与无限的类比等等。例如学习必修 4 平面向量之后学习选修 21 的空间向量时，让学生思考“向量只能是平面上的吗？” ， “平面向量的特殊化是什么？能推广出什么？”得出结论后，以“让我们大胆猜想！”开始，由学生类比平面向量的有关内容从文字表述直接推广到空间，得到空间向量的相关内容，并进行比较：平面向量 空间向量概念 平面上具有大小和方向的量 空间中具有大小和方向的量有关概念 模，零向量，单位向量，相反向量 模，零向量，单位向量，相反向量加法减法数乘运算三角形法则与平行四边形法则三角形法则ka， 为正数，零，负数三角形法则与平行四边形法则三角形法则ka， 为正数，零，负数运算律加法交换律 ba加法结合律 ()()cb数乘分配律 kk数乘结合律 ()ua加法交换律 ba加法结合律 ()()cb数乘分配律 kk数乘结合律 ()ua再运用“手中的笔”体验空间向量的概念和法则，让学生体会到“空间任意两个向量都能平移到同一平面内，故空间两个向量的运算就是平面内两个向量的运算”这一核心思想方法的本质来认识理解空间向量。这些结论如此的“似曾相识” ，经历了数学发现的学生，似乎打开了联想的窗口，发现数学似乎不是那么遥不可及。又如在“独立事件”的教学时，师生共同回顾互斥事件的概率加法公式 )()(BPAP，这时向学生提出，若将“ ”（加法）类比为“” （乘法） ，这个等式是否成立呢？要想使其成立，必须具备什么条件，激励学生运用类比的手法，大胆猜想。于是学生展开激烈的辨论，课堂气氛异常活跃，踊跃发言，经过不断的修改，最后得出：事件 A的是否发生对事件 发生的概率没有影响，反之亦然，事件 A与 B叫做相互独立事件，相互独立事件同时发生的概率等于每个事件的概率之积，然后再让学生阅读课本。这种民主地教学方式，不仅使学生品尝到类比成功的欢愉，而且也使其受到美的韵味薰陶，更重要是培养学生对美的鉴赏和探索精神，激发了学生的创新兴趣，增强学生的类比意识，使学生学会数学地思维。二、类比加深知识的理解，提高学生创新能力类比方法关键是善于发现不同对象之间的“相似” ，教学中要有意识对学生进行直觉思维能力的训练，着重训练学生的类比、归纳、猜想能力。3如为了让学生能掌握必修 4 中两角和的正切公式及变形式的应用时，可运用高一数学下册（原必修）的一组类比习题。1.利用和（差）角公式证明 340tan2t30tan2t .（第 40 页练习 4）2.已知 25BA，求证 )1)(BA.（第 40 页练习 4）讲解之后发现证明的关键在于运用和（差）角公式的变形公式： )tan)(tanttan.只要 为特殊值，就不难得到.于是在解决教材（原必修）第 42 页习题 4.6 中的15.已知 )(Z，求证 tanttantta.17.求证 )t()t()t()tn(ta)tan( xzyxzyx .学生就容易类比发现，只需令 Z和 ，运用此公式得到. 又如讲解习题：已知 mba,都是正数，并且 ba，求证 bam. 本题是一个很有用的分式放缩法模型，为了让学生对这个命题的条件和结论加深理解记忆，将其与生活和数学知识进行类比：1.（糖水不等式） b克糖水中有 a克糖（ b0） ，若再加入 克糖（ 0） ，糖水更甜了；2.（采光不等式）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了；3类比到函数 ()amfb（ ba0,） ，运用单调性和极限思想掌握结论；4. 类比到线段定比分点公式由 ,1，1amb，令 b0（题设），得点 (,0)amRb为线段 PQ的内分点，其中 (,0)aPb、 (,)Q，即1；5类比到斜率定义及公式，如右图，考察 (,)Aa、 (,)Bm，由 ab，4,abmR(0,)4xOA， 34xB，如图，总有 ABOk，即 amb.通过对于相互有联系的命题进行类比分析，可使学生的思维始终处于一种“追求从另一角度思考”的动的状态，通过这些解法的探讨，汇聚了大量信息，从而拓宽了思维的领域，有效地训练了学生思维的灵活性，提高学生的创新能力，更有利于对问题的更深层次的认识。三、类比强化数学思想和寻求解题方法，训练学生创新思维数学思想需要类比转化能力，通过对问题的条件分析，联系其解题思想方法的类比之处，类比到其他思想解决问题。如函数方程思想就是函数与方程之间类比解决问题的方法。笔者曾结合本班学生在数形结合思想的数式形的类比转化能力上比较薄弱，为了强化这一数学思想方法，在上椭圆这一节课时，安排了这样的一个练习，让学生分析化简过程中一些变形式（等价式与非等价式） ，探讨它们的几何属性，训练数形联想转化能力。如：1. 2222)()( cayxcxycx )(|21aMOF；2. 22)(ycxaccxcy2)(a（椭圆的第二定义） ；3. a)()( 22 )(，分子有理化得到cycxycx)()( 22（动点横坐标与两定点的距离差之比为一常数） ；4. 2aa（到两定点的斜率之积为一负数）.这样，通过类比认识到椭圆定义式之外一些的变形式几何属性。开拓了学生对椭圆定义认识的视野，也训练了数形的联想能力和学生的创新思维能力。解题活动中的种种念头的产生是依赖于解题者类比联想能力，以问题和条件，题型结构或题设结论为思维起点，应用类比的方法，分析其与已有的认知结构中具有的相似特征，然后猜想其解题方法和解题思维上的类似之处，从而解决问题。但在解题过程中要正确对待解题过程中失败的念头，从中查找原因，进行新的类比，使之接近正确的方向。如一道不等式的证明题：已知 1,122cbacb，求证： 13c.根据本题已知条件的特征分析，关键是如何求出 的范围，让学生运用类比去寻找解法。结果学生通过类比联想，找到了几种解法：先将式子转化为 221cba.51.联想到运用基本不等式 22ba；2.联想到 221cyx，运用线性规划知识，求得 c的范围；3.注意到 1,，联想到三角换元，令 osa，sin12b，由辅助角公式得到；4.由 cab2，构造以 b,为根的一元二次方程，问题转化为方程在 1,有根和分布等等。又如， “求证正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值”这一问题中运用类比得到了解题的方案：第一步 类比构造一个辅助平面几何问题“求证：正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值.”第二步 通过分割的方法，利用面积的关系解决平面几何问题.第三步 类比猜想，所给立体几何问题是否也可以通过分割的方法，利用体积的关系来证明？为此，G波利亚说：“类比是获得发现的伟大源泉。 ”不论在初等数学、高等数学中的发现，或者任何别的学科中的发现，恐怕都不能没有这些思考过程，特别是不能没有类比。四、类比运用于拓展命题，丰富学生创新体验类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理，它是某种类型的迁移性、相似性的推理方式。应用类比可以在两个不同的知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁，是信息转移的桥梁。如平面推广到空间的联想，通过辨析平面几何与立体几何知识的异同点,可把平几的有关规则和定理,证题方法适当的推广到立几中,搭建起二维空间到三维空间的桥梁。如：“三角形被平行于它一边的直线所截得的三角形与原三角形的面积的比等于它们的对应边的平方比。 ”类比到“棱锥被平行于它底面的平面所截得的小棱锥与原棱锥的体积的比等于它们的对应高(或对应侧棱)的立方比。 ”又如，把平面内直角三角形的边和角的有关公式进行类比推广，可以得到以下各定理：1. 长方体的对角线长的平方等于从它的一个端点出发的三条棱长的平方和.2. 三棱锥 BCDA的三个侧面 AB、 CD、 两两互相垂直，则SS2222（称为三维空间中的勾股定理，03 年高考题）.3. 长方体的对角线与它的一个端点出发的三条棱所成的角分别为 ,，则1coscos222.64. 长方体一条对角线与它相邻的三个面所成的角分别为 ,，则 2coscos22等.在解完题后,可以改变命题的条件和结论,从纵横两个方面加以引申、拓广,从而获得新的结论。通过命题的联想和推广,使学生不仅学会一道题的解法,而是一组题、一类题的解法，体验学生的研究数学的过程，培养他们的创造性能力和创新思维能力。如讲解（03 年上海市春季高考题，第 21 题）设 21,F分别为椭圆 :C12byax)0(ba的左、右两个焦点。 （第（I） ， （II）两小题略） （III）已知椭圆具有性质：若NM,是椭圆 C上关于原点对称的两个点，点 P是椭圆上任意一点，当直线 PM， N的斜率都存在，并记为 PNMK,，那么 PM与 NK之积是与点 位置无关的定值。试对双曲线12byax，写出具有类似特性的性质，并加以证明。通过分析得到类似的性质为：若 N,是双曲线： 12byax上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线 PM， 的斜率都存在，并记为 ,PMNK时，那么 PMK与NK之积是与点 P 位置无关的定值即 2ab.在分析完这道题后，让学生运用类比的方法，思考可以得到哪些解析几何的命题，你们能写出几个吗？结合已做过的练习，学生很快给出了如下几类问题：1.以圆锥曲线焦点的弦为直径的圆与相应准线位置关系（抛物线：相切；椭圆：相离；双曲线：相交） ；2. P是双曲线 12byax上任一点， 21,F是两个焦点，以 21,PF为直径的圆分别与 22yx外切和内切。类似地椭圆中也有有关结论：都是内切；3. AB是抛物线 )0(py的焦点弦， AB的垂直平分线交 AB于M，交 x轴于 N，则 :为定值（与 的位置无关） ，类似地在椭圆、双曲线中都有结论：ABF:为定值，4.圆的垂径定理得出圆心与弦的中点的斜率与弦的斜率之积为-1，类似地椭圆(双曲线)对称中心到弦的中点的斜率弦的斜率之积为 2ab( )等等。这样不仅激发了学生的欲望，而且提高