高中数学论文：高中数学“懂而不会”现象的理解和破解

1高中数学“懂而不会”现象的理解和破解摘要：作为一线数学老师，每次考完 试， 总能出现这样的情景 .学生：这个题目老师上课类似的讲过，但我又不会了，其次，老师：这个题目上课明明讲过的，但学生还是不能得分.这些对话反应出当前我们高中数学存在的教和学之间的不协调，所 谓教是为了“不教”，不是为了“再教”，更不是为了“ 教了又教”.关键词：懂而不会 教与学 理解和破解在数学学习过程中,高中学生常常走入这样一个怪现象中：老师上课讲的我们都能听懂,可课后作业总是做起来很吃力,错误百出，甚至没有一点思路.有时就算考试考到课堂一模一样的例题，我们还是会失分.这种怪现象困扰了我们很大一部分同学,为此,我们做了关于于数学学习“听懂却不会做题”的调查:选项 比例听课很 认真，只是思维被动，处于接受状态 30%对 老师 的依赖性太 强，疑难问题只等老师分析，自己不主动问 60%听课时注意不集中，没有主动思考 10%听课和做题是高中生学习数学的主要手段,有些学生觉得听懂了,但当教师讲完课,布置习题让学生自己做时,在实际解题过程中,由于学生自身的因素和题目故意设置的干扰因素等多种因素的共同作用,往往会使学生在解题的某个环节停滞不前.我们把这种各门课程教学中普遍存在的现象称之为“懂而不会”.即在新知识学习时学生课上能听懂教师讲的内容,课下却不会灵活运用.1. 高中数学“懂而不会”的几种现象从学生学习过程的角度对“懂而不会”现象进行了分析，认为学生学习程序性知识具有不同的境界,“懂”是学生学习的一个基本境界,而“会”是一个更高的境界. 1.1 现象一：“似懂非懂，知其形，不知其意”学生能“听得懂课，不会解题”的原因，是对“懂”的理解有误.有的学生懂，只是懂得了解题每一步，是在老师讲解下的懂。自己想不到的地方，因为老师讲课时有提示，有诱导，能想起来.同样的问题，没有老师提示就想不起来，说明“懂”非真“懂”.教学片段1： ,52)2(;,41)( 12 aaaannn 中 ，等 差 数 列求中 ，等 差 数 列笔者所在的班级测试结果显示：第一题正确率有 92%，而第.,12nna求二道题正确率只有 62%,第三题正确率只有 36%,为了了解学生情况，我和学生进行了谈话 .师：等差数列通项公式是什么？生众： .)(1d师：知道什么是等差数列？生众：知道， （学生把等差数列定义复述了一遍).师：能用自己的话把它表达出来吗？生曱：茫然.生乙： .11ndan生丙：在数列中，任何间隔相同的的两项的差是一样的,就是等差数列.分析：在这个案例里，学生对等差数列这一定义的“懂”有不同层次：像学生甲这类的，只高中数学教学论文2是记住了它的定义；像学生乙这类的，虽然有理解，但只是浮于表面.只有向学生丙这类，才是对这一定义有深入的理解，真正的懂了.懂的层次不同，学生会的题目就必然有所差别，出现上面的结果也就不足为奇了.1.2 现象二：“不懂装懂，仿其形，不知创造”“懂而不会”现象的差异性,表现在不同老师对同一内容的教学，学生所产生“懂”和“会”的效果不同；还表现在不同学生对同一老师的讲授，所出现的“懂而不会”现象的层次不同.所以说“懂而不会”现象具有差异性的特征. 教学片段 2：在 100 件产品中，有 98件合格品，2 件次品,从这 100 件产品中任意抽出 3 件，（1） 共有多少种不同的抽法？（2） 抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法是多少种？（3） 抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？第（3）问竟然有 80%的同学选择 .这样的题目让学生既懂又会是要点功夫的。具体29C破解方法，在下面教学案例中呈现.1.3 现象三：“懵懵懂懂，会表象，不知本质”作业缺认真。没有认识到作业是巩固知识的重要手段，在做作业解题时，往往只满足于问题的答案，对于审题、推理、计算的严密性、解法的简捷性和合理性不够重视，把作业当成负担，除作业质量差外，错失了培养各种良好习惯的机会.2. 高中数学“懂而不会”现象的破解从教学论看,在教学过程中,既要发挥教师的主导作用，又要发挥学生的主体作用，通过主导作用发挥主体作用。主导作用的核心是启发诱导,主体作用的核心是独立思考。目前教学的弊端之一是: 教师讲的太多,抑制了学生思考的积极性.一堂课往往是教师一讲到底,很少有学生计论，思考，发问的时间。有时教师滔滔不绝地讲,学生却无动于衷，究其原因，教师没有能提出学生迫切需要解决的问题,不能激发学习兴趣,得不到学生的积极响彻应，教师讲授的内容不能转化为学生的知识技能,教学要求也就没有落到实处.2.1 转变观念，明确主体，破解“懂而不会”新课程标准中强调“学生是数学学习的主人”,要“以学生为主体”.教师应该建立民主平等的师生关系,树立为学生服务的理念。在数学课堂教学中，师生要平等交流，把教师“教”的过程变成学生“学”的过程，应该更多的思考如何激发学生的好奇心和探究欲望，培养学生主体参与的能力.教师应该不断学习和反思,努力“从独奏者的角色过度到伴奏者的角色” ，切实体现学生在数学课堂教学中的主体地位.我一直以为“至少、至多”这类排列、组合问题较简单,然而实际教学中却大出我的意料,完全不是那么一回事.教学片段 3:在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件，（4） 共有多少种不同的抽法？（5） 抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法是多少种？（6） 抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？在一个班级我就直接分析如何处理这个问题，对于（3）题完成之后我总结到：以后碰到至少至多问题，可以分类解决或间接的考虑，自认为分析的很透彻，学生都能接受，但让学生做相同题型练习时，很多学生都做错了，分析后学生又懂了，可是他们还是不明白自己错在哪里？由于时间关系，我也没有倾听学生的解法，也就没再讲下去了。课后，我仔细思考觉得应该听听学生的想法，让他们来说说，才能知道他们在什么地方存在着思维障碍.于是，决定第二节课时，让学生先说.第二个班（1） （2）两题，学生能准确地回答，到了第 3 题，我提问了 4-5 个学生，有以下两种结果： ， ，而且对 呼声很高，都认同是正确答案。等着我给出正确答9C91912C3案，对于出现 这个结果在我意料之外，我就请学生说说他们的想法.29C生甲：至少有 1 件是次品，次品必然要选了，所以只要在剩下的 99 件中再选两件，得 29C生乙：显然次品有两个，选 a 与选 b 的抽法是不同的，所以 错了。应该是29C12大家都赞同乙的观点。既然这样，我想还是听听学生的解释.师： 具体表示什么？291生丙：我先从 2 件次品中选出 1 件，然后在余下的 99 件中选 2 件，因为这 99 件中还有 1 件次品，所以从中选出 2 件，要么都是正品，要么有一件是次品，这样就能满足至少有 1 件次品的要求，根据分步计数原理就能得到 .29C学生鼓掌赞成，显然大家都很赞同他的解释，进一步认定了 是正确的，目前从学生291C中找到正确的解法是不可能了，我想还是先引导学生得出正确结论再说，但对于 这个结291论我没有否认.师: “至少 1 件”的含义是什么?生丙：就是不少于 1 件，具体的说就是 1 件次品，或者 2 件次品.师:抽出 3 件次品中至少有一件次品的最后结果有几种?生丁：一件次品，两件正品，或两件次品，一件正品，没有其他可能了.生戊：那么一件次品，两件正品有 ，两件次品，一件正品有 ，由分类记数原理2981C1982C得总共有 + .动作快的学生计算出 + 与 的结果不同，学生心2981C198 2981198理矛盾了，究竟哪个正确呢？认为两个都有说服力， + 肯定对了，但 和它2291结果不一样，好象错了，可是错在哪呢？学生又一次陷入了困境.如果我就说 错了，学2生肯定不信服，做习题时还会犯同样的错误，既然有冲突了，就把辩别的机会还给学生吧，让他们在自主探究中找到答案.师:我们分析一下， 究竟表示什么意思？ 学生思考了几分钟后.291C生戊：老师，我们学过组合数的性质 ，说明 可以分成两类去取，一类11mnmnCmn1含 共 ，一类不含 共 ，所以 可写成 ，那么 表示不含次1a1mn1a299829298C品的即再从 98 件正品中任取 2 件， 表示含一件次品的，即从 98 件正品中选 1 件，所以由8式子 ， 就是说选出的 3 件中有一件次品， 不就表示选9829812929 982出的 3 件中有两件是次品，可是到这里学生解释不下去了.生乙:我来说，设有次品 a，b， 第一步先从两个次品中选一个若选 a，第二步 表示12C1从余下的 99 件产品中含次品 b 的的选法，即从余下的 98 个中选 1 个正品设为 c，这样选出的3 个是 a，b，c，若第一步选出的是 b，第二步含次品 a 也从余下的 98 个中选出了正品 c，这样选出的 3 个也是 a，b，c，那么这两种选法实质是一样的，所以用 计算就重复计数了，1982C重复了 98 种选法.“噢，原来如此啊！”其他学生发出感叹.生丁：老师，我可以这样解决，从 100 件中抽出 3 件共有 种，按有无次品分可以分成3100，1，2 件次品，而无次品的抽法有 ，所以至少有一件次品为 .398C31098师:非常好，正面考虑比较困难时，可以从反面间接的考虑，这种方法就是间接法.接下来，我顺理成章的对此类问题解题方法进行归纳，然后再通过习题训练巩固.4教学片段 3 的分析与反思：这节课虽然过去了，但心里还是堵得慌， “为什么学生会这么想？”我怎么就没考虑到，当时备课时怎么就不能站在学生的角度考虑问题呢？要站在学生的角度考虑，首先就要知道学生的想法。由于缺乏教学经验，这在课前是很难预料的，即使想到了，是避开呢还是拿出来让同学们一起思考探索呢？ 显然后者更好，但这需要教师应变能力强，经验丰富，能够把握大局，作为新教师很难突破“就备课而上课，就上课而备课”的尴尬局面。应该如何教学呢？教学的目标是什么？不断问着自己，有心放手让学生去探究，又惟恐这样做了，讲的题目少了，训练时间少了，学生做题的能力可能就弱了。后来，在新课标中找到了答案：“学生的学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。 ”2.2 体验生成，感悟过程，破解“懂而不会”数学教育应向被教育者提供参与社会生产与建设必要的数学基础知识和基本技能 3从数学的发展历程看，数学基础知识和基本技能应包括问题是怎样产生的、概念是如何形成的、结论是怎样探索和猜测的，以及证明的思路和计算的方法是怎样找到的，而且在有了结论后，还应理解结论的作用和意义概念的形成，应使学生亲身感受到其思维的活动过程教师要想方设法让学生自己去发现并揭示概念的本质属性，使学生觉得学数学原来就是发现规律和方法.教学片段 4：4 本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（1） 一堆 1 本，一堆 3 本（2） 平均分成两堆（3） 分成 3 堆（4） 分给两人，一人 1 本，一人 3 本（5） 平均分给甲、乙两人（6） 分给三人，一人 1 本，一人 1 本，一人 2 本用多媒体给出前三题，很快学生有了答案分别为： ， ， ，对于这个14C22134C结果已在我意料之中了，有了新课标指导，我决定放手让学生通过“动手实践、自主探索、合作交流”等方式来学习，于是就请了三位同学到黑板上分别列出所有的分法其它同学在草稿本上列出.设有 4 本不同的书设为 a，b，c，d，不一会儿，同学们都写好了，这个时候，有的同学已经发现（2） （3）题中分堆过程中有重复现象，可是究竟重复了多少个，这之间有什么规律吗？生甲:（1）分成两堆，一堆一本，那么在 4 本中任意取一本，余下的就是另一堆的，所以就可以了，而（2）每一堆都两本，在 4 本中任意取两本，余下的就是另一堆了，用4C计算应该没错 .生乙：我补充一下（2）题每一堆都是两本，在 4 本中任意取 2 本，比如选了 ab，余下的 cd为另一堆，与选了 cd，余下的 ab 为另一堆，是同一种分法，所以应该是 ， （3）应该是24Ca bcdb acdc abdd abcac bdad bcbc adbd accd aba c bda d bcb a cdb c adb d acc b adc d abd a bcd b acd c ab（2） （3）ab cd a b cd c a bd（1）5，所以平均分堆最后结果再除以 2 2134C学生有的点头赞成，有的继续低头演算，有的等着我给出正确答案，我想学生的研究虽然有点眉目，却陷入了一定的僵局，思路需要拓宽。于是，我临时又给出：分成 4 堆，有几种分法？“小有成果”的学生乙脱口而出： .生丙马上反驳：总共就分成2134Ca，b，c，d 四堆这一种结果，而 =12 显然不对 .1234学生乙不好意思的挠挠头，可是还不甘心，喃喃自语：应该有规律的，究竟是什么呢？师:再想想，问题出在哪？暂时想不出的，可以再举几个例子研究研究，比如 6 本平均分成2 堆，3 堆， 学生开始两个一群，三个一堆的开始研究了，十分钟后，还是学生乙第一个发现了，这回谨慎多了，先请我看看结果是否正确，我正看着时，其他学生也一个个发现了什么了。我就停下来，听听学生发现什么了，生丁:（2）题列出来的实际上就是分给 2 个人的所有分法 ，分给人是有顺序的，而分24C堆是没有顺序的，所以分堆应该 ，平均分成 4 堆就 ，一般的规律就是在平均！4C！13分人的基础上分成 n 堆，就再除以 n！.到这里，学生们通过自己的努力得出了一般解题的规律，欣喜若狂，兴头很高，我就接着给出后三题，通过刚才的研究，学生心里已经很清楚了，分堆和分人是不同的，分堆无序分人有序。 （4）在分堆的基础上在分给人，所以共有 ， （5）同样可以在分堆的基础上！214分给人，共有 （6） 。接下来我就让学生来总结分人与分堆问题的一般解！2！2134题规律.生乙: 不管分堆还是分人都先考虑分堆再考虑分人，平均分 n 堆，除以 n！分给 n 个人，就乘 n！.教学片段 4 反思与收获:经过这节课，我又懂得了，数学课堂教学过程中，学生创造性的“火花”会时常出现。作为教师应及时捕捉学生的这些“火花” ，哪怕不成熟，不全面，甚至还带有一些“错误”的思考，给学