2017年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1在复平面内，两共轭复数所对应的点（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于原点对称 D关于直线 y=x 对称 2已知集合 M= 1， 0， 1， N=x|x=a， b M，且 a b，则集合 M 与集合 N 的关系是（ ） A M=N B M N=N C M N=N D M N= 3已知两个单位向量 的夹角为 45，且满足 （ ），则实数的值为（ ） A 1 B C D 2 4直线 x+2y 5+ =0 被圆 x2+2x 4y=0 截得的弦长为（ ） A 1 B 2 C 4 D 4 5将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A 12 种 B 10 种 C 9 种 D 8 种 6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则正视图中的 x 的值是（ ） A 2 B C D 3 7函数 y=2x+）的图象沿 x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能的值为（ ） A B C 0 D 8公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3， 14，这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的 n 值为（ ） 参考数据： ， A 12 B 24 C 48 D 96 9已知 ，则 ） A B C D 10甲、乙两人约定晚 6 点到晚 7 点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若乙早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A B C D 11 别是双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，过点 直线 l 与双曲线的左右两支分别交于 A、 B 两点，若 等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） =x+1） 区间（ 0， 1）内任取两 个实数 p， q，且p q，不等式 1 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A 15， + ） B（ ， 15 C（ 12， 30 D（ 12， 15 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13已知直线 a、 b 和平面 、 ，下列命题中假命题的是 （只填序号） 若 a b，则 a 平行于经过 b 的任何平面； 若 a ， b ，则 a b； 若 a ， b ，且 ，则 a b； 若 =a，且 b ，则 b a 14有一个游戏，将标有数字 1、 2、 3、 4 的四张卡片分别随机发给甲、乙 、丙、丁 4 个人，每人一张，并请这 4 人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有 3 的卡片；乙说：甲或丙拿到标有 2 的卡片；丙说：标有 1 的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有 3 的卡片结果显示：这 4 人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为 、 、 、 15已知 顶点 A（ 3， 0）和顶点 B（ 3， 0），顶点 C 在椭圆 + =1上，则 = 16定义 1：若函数 f（ x）在区间 D 上可导，即 f（ x）存在，且导函数 f（ x）在区间 D 上也可导，则称函数 f（ x）在区间 D 上的存在 二阶导数，记作 f（ x）=f（ x） 定义 2：若函数 f（ x）在区间 D 上的二阶导数恒为正，即 f（ x） 0 恒成立，则称函数 f（ x）在区间 D 上为凹函数已知函数 f（ x） = 在区间 D 上为凹函数，则 x 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17（ 12 分）已知数列 ， ， a5+0，且 2 ， 2 ， 2 成等比数列，数列 足 bn= 1） （ ）求数列 通项公式； （ ）设 数列 n 项和，求 18（ 12 分）某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用 A、 B、 C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 模拟实验总次数 A 甲 4 次 6 次 2 次 12 次 B 乙 3 次 6 次 3 次 12 次 C 丙 2 次 2 次 8 次 12 次 假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据 （ I）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率； （ ）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙 地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记 “甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数 ”为随机变量 ，求随机变量 的分布列和数学期望 19（ 12 分）如图 1 ：在直角梯形 ， 0， C=2， E 点，把 到 D位置，使 DA=2 ，如图 2 ：若 G， H 分别为 DB， D （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求平面 D 20（ 12 分）如图，已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T：（ x+2） 2+y2=r 0），设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）求 的最小值； （ 3）设点 P 是椭圆 C 上异于 M， N 的任意一点，且直线 别与 x 轴交于点 R， S， O 为坐标原点，求证： |定值 21（ 12 分）设函数 f（ x） =a 0）， g（ x） = 2F（ x） =g（ x） f（ x） （ 1）试讨论 F（ x）的单调性； （ 2）当 a 0 时， F（ x） 1 e 在 x 1， e恒成立，求实数 a 的取值 选修 4标系与参数方程选讲 22（ 10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 在点处的切线为直线 l （ 1）求直线 l 的直角坐标方程； （ 2）已知点 P 为椭圆 =1 上一点，求点 P 到直线 l 的距离的取值范围 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|2x 1|， x R， （ 1）解不等式 f（ x） x+1； （ 2）若对于 x， y R，有 |x y 1| ， |2y+1| ，求证： f（ x） 1 2017 年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1在复平面内，两共轭复数所对应的点（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于原点对称 D关于直线 y=x 对称 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 直接利用两共轭复数的实部和虚部的关系得答案 【解答】 解：设 z=a= ， 两共轭复数的实部相等，虚部互为相反数， 则在 复平面内，两共轭复数所对应的点关于 x 轴对称 故选： A 【点评】 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了共轭复数的概念，是基础题 2已知集合 M= 1， 0， 1， N=x|x=a， b M，且 a b，则集合 M 与集合 N 的关系是（ ） A M=N B M N=N C M N=N D M N= 【考点】 交集及其运算 【分析】 用列举法写出集合 N，再判断集合 M 与集合 N 的关系 【解答】 解：集合 M= 1， 0， 1， N=x|x=a， b M，且 a b= 1， 0， 集合 M N=N 故选： B 【点评】 本题考查了集合的运算与应用问题，是基础题目 3已知两个单位向量 的夹角为 45，且满足 （ ），则实数的值为（ ） A 1 B C D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 运用向量的数量积的定义，可得两个单位向量 的数量积，再由向量垂直的条件：数量积为 0，计算即可得到所求值 【解答】 解：由单位向量 的夹角为 45， 则 =1 1 ， 由 （ ）， 可得， （ ） =0， 即 =0， 则 1=0， 解得 = 故选 B 【点评】 本题考查平面向量的数量积的坐标定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题 4直线 x+2y 5+ =0 被圆 x2+2x 4y=0 截得的弦长为（ ） A 1 B 2 C 4 D 4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求 【解答】 解：由 x2+2x 4y=0，得（ x 1） 2+（ y 2） 2=5， 所以圆的圆心坐标是 C（ 1， 2），半径 r= 圆心 C 到直线 x+2y 5+ =0 的距离为 d= 所以直线直线 x+2y 5+ =0 被圆 x2+ 2x 4y=0 截得的 弦长为 故选 C 【点评】 本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题 5将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A 12 种 B 10 种 C 9 种 D 8 种 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合 的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果 【解答】 解：第一步，为甲地选一名老师，有 =2 种选法； 第二步，为甲地选两个学生，有 =6 种选法； 第三步，为乙地选 1 名教师和 2 名学生，有 1 种选法 故不同的安排方案共有 2 6 1=12 种 故选 A 【点评】 本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题 6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则正视图中的 x 的值是（ ） A 2 B C D 3 【考点】 由三视图求面积、 体积 【分析】 由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为 1、 2、 2 的直角梯形，一条长为 x 的侧棱垂直于底面据此可求出原几何体的体积 【解答】 解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为 1、 2、 2 的直角梯形，一条长为 x 的侧棱垂直于底面 则体积为 = ，解得 x= 故选： C 【点评】 本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键 7函数 y=2x+）的图象沿 x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能的值为（ ） A B C 0 D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换可得函数 y=2x+）的图象沿x 轴向左平移 个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案 【解答】 解：令 y=f（ x） =2x+）， 则 f（ x+ ） =（ x+ ） +=2x+ +）， f（ x+ ）为偶函数， +=， =， k Z， 当 k=0 时， = 故 的一个可能的值为 故选 B 【点评】 本题考查函 数 y=x+）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题 8公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3， 14，这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的 n 值为（ ） 参考数据： ， A 12 B 24 C 48 D 96 【考点】 程序框图 【分析】 列出循环过程中 S 与 n 的 数值，满足判断框的条件即可结束循环 【解答】 解：模拟执行程序，可得： n=6， S=3 ， 不满足条件 S n=12， S=6 3， 不满足条件 S n=24， S=12 12 满足条件 S 出循环，输出 n 的值为 24 故选： B 【点评】 本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题 9已知 ，则 ） A B C D 【考点】 二倍角的正切；同角三 角函数间的基本关系 【分析】 由题意结合 可解得 而可得 代入二倍角的正切公式可得答案 【解答】 解： ，又 ， 联立解得 ，或 故 = ，或 ， 代入可得 = = ， 或 = = 故选 C 【点评】 本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题 10甲、乙两人约定晚 6 点到晚 7 点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若乙早到则不需等 待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是 =（ x， y） |0 x 1， 0 y 1，写出满足条件的事件是 A=（ x， y） |0 x 1， 0 y 1， y x 或 y x，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果 【解答】 解：由题意知本题是一个几何概型，设甲到的时间为 x，乙到的时间为y， 则试验包含的所有事件是 =（ x， y） |0 x 1， 0 y 1， 事件对应的集合表示的面积是 s=1， 满足条件的事件是 A=（ x， y） |0 x 1， 0 y 1， y x 或 y x， 则 B（ 0， ）， D（ ， 1）， C（ 0， 1）， 则事件 A 对应的集合表示的面积是 1 + 1 1= ，根据几何概型概率公式得到 P= 所以甲、乙两人能见面的概率是 1 ； 故选 A 【点评】 本题主要考查几何概型的概率计算，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果 11 别是双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，过点 直线 l 与双曲线的左右两支分别交于 A、 B 两点，若 等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由双曲线的定义，可得 1A 1B=2a， a，a， c，再在 应用余弦定理得， a， c 的关系，由离心率公式，计算即可得到所求 【解答】 解：因为 等边三角形，不妨设 F2=m， A 为双曲线上一点， 1A 1B=2a， B 为双曲线 上一点，则 a， a， c， 由 0，则 20， 在 应用余弦定理得： 4622a4a 得 ，解得 e= 故选： D 【点评】 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题 12已知函数 f（ x） =x+1） 区间（ 0， 1）内任取两个实数 p， q，且p q，不等式 1 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A 15， + ） B（ ， 15 C（ 12， 30 D（ 12， 15 【考点】 函数单调性的判断与证明 【分析】 首先，由 的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（ 1， 2）内任意两点连线的斜率大于 1，从而得到 f（ x） = 1 在（ 1， 2）内恒成立分离参数后，转化成 a 2x+1 在（ 1， 2）内恒成立从而求解得到 a 的取值范围 【解答】 解： 的几何意义为： 表示点（ p+1， f（ p+1） 与点（ q+1， f（ q+1）连线的斜率， 实数 p， q 在区间（ 0， 1）内，故 p+1 和 q+1 在区间（ 1， 2）内 不等式 1 恒成立， 函数图象上在区间（ 1， 2）内任意两点连线的斜率大于 1， 故函数的导数大于 1 在（ 1， 2）内恒成立 由函数的定义域知， x 1， f（ x） = 1 在（ 1， 2）内恒成立 即 a 2x+1 在（ 1， 2）内恒成立 由于二次函数 y=2x+1 在 1， 2上是单调增函数， 故 x=2 时， y=2x+1 在 1， 2上取最大值为 15， a 15 a 15， + ） 故选 A 【点评】 本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13已知直线 a、 b 和平面 、 ，下列命题中假命题的是 （只填序号） 若 a b，则 a 平行于经过 b 的任何平面； 若 a ， b ，则 a b； 若 a ， b ，且 ，则 a b； 若 =a，且 b ，则 b a 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 对 4 个命题分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解： 若 a b， a， b 可以确定平面，则 a 平行于经过 b 的任何平面，不正确； 若 a ， b ，则 a b 或 a， b 相交、异面，不正确； 若 a ， b ，且 ，则 a、 b 关系不确定，不正确； 若 =a，且 b ，则 b 与 a 关系不确定，不正确 故答案为 【点评】 本题考查线面平行的判定与性质，考查平面与平面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 14有一个游戏，将标有数字 1、 2、 3、 4 的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人一张，并请这 4 人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有 3 的卡片；乙说：甲或丙拿到标有 2 的卡片；丙说：标有 1 的卡片在甲手中；丁 说：甲拿到标有 3 的卡片结果显示：这 4 人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为 4 、 2 、 1 、 3 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 根据预测都不正确，即可推出相对应的数字 【解答】 解：乙丙丁所说为假 甲拿 4，甲乙所说为假 丙拿 1，甲所说为假 乙拿 2； 故甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为 4， 2， 1， 3， 故答案为： 4， 2， 1， 3 【点评】 本题考查了合情推理的问题，关键是掌握命题的否定，属于基础题 15已知 顶点 A（ 3， 0）和顶点 B（ 3， 0），顶点 C 在椭圆 + =1上，则 = 3 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由题意可知：顶点 A， B 为椭圆的两个焦点，利用正弦定理及椭圆的定义，求得 a 和 b 的关系，即可求得 =3 【解答】 解：由椭圆 + =1，长轴长 2a=10，短轴长 2b=8，焦距 2c=6， 则顶点 A， B 为椭圆的两个焦点， 三角形 ， a=丨 ， b=丨 ， c=丨 =6， a+b=丨 +丨 =10， 由正弦定理可知 = = =2R， 则 ， ， ， = = =3， 故答案为： 3 【点评】 本题考查椭圆的定义及正弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题 16定义 1：若函数 f（ x）在区间 D 上可导，即 f（ x）存在，且导函数 f（ x）在区间 D 上也可导，则称函数 f（ x）在区间 D 上的存在二阶导数，记作 f（ x）=f（ x） 定义 2：若函数 f（ x）在区间 D 上的二阶导数恒为正，即 f（ x） 0 恒成立，则称函数 f（ x）在区间 D 上为凹函数已知函数 f（ x） = 在区间 D 上为凹函数，则 x 的取值范围是 （ ， + ） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析 】 根据凹函数的定义求出 f（ x）， f（ x），令 f（ x） 0，求出 x 的范围即可 【解答】 解： f（ x） =， f（ x） =33x， f（ x） =6x 3， 令 f（ x） 0，解得： x ， 故答案为：（ ， + ） 【点评】 本题考查了新定义问题，考查导数的应用，是一道基础题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17（ 12 分）（ 2017西安一模）已知数列 ， ， a5+0，且 2 ，2 ， 2 成等比数列，数列 足 bn= 1） （ ）求数列 通项公式； （ ）设 数列 n 项和，求 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ I）由 2 ， 2 ， 2 成等比数列，可得 =2 2 ，可得 2=an+利用等差数列的通项公式可得 而得出 （ 用 “错位相减法 ”、等差数列等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：（ I） 2 ， 2 ， 2 成等比数列， =2 2 ， 2=an+ 数列 等差数列，设公差为 d， ， a5+0， d=5， 2d=20， 解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n 1 bn= 1） 2n 1）（ 1） （ 数列 （ 1） 前 n 项和为 则 1+2 3+ +（ 1） 2+3+ +（ 1） n（ n 1） +（ 1） n+1n， 2 1+1 1+ +（ 1） n（ 1） n+1n= （ 1） n+1n， + =n 【点评】 本题考查了 “错位相减 法 ”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017西安一模）某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用 A、 B、 C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 模拟实验总次数 A 甲 4 次 6 次 2 次 12 次 B 乙 3 次 6 次 3 次 12 次 C 丙 2 次 2 次 8 次 12 次 假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据 （ I）求甲、乙 、丙三地都恰为中雨的概率； （ ）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记 “甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数 ”为随机变量 ，求随机变量 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由人工降雨模拟试验的统计数据，用 A， B， C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，求出大雨、中雨、小雨的概率分布表，由此利用相互独立事件概率 计算公式能求出甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率 （ ）设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为 ，p2=p（ = ， （ +P（ = ， 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ ）由人工降雨模拟试验的统计数据，用 A， B， C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨， 得到大雨、中雨、小雨的概率如下表： 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 A 甲 P（ = P（ = P（ = B 乙 P（ = P（ = P（ = C 丙 P（ = P（ = P（ = 记 “甲、乙、丙三地都恰为中雨 ”为事件 E， 则 P（ E） =P（ P（ P（ = = （ ）设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为 则 ， p2=p（ = ， （ +P（ = ， 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ =0） =（ 1 1 1 = = ， P（ =1） =1 1 +（ 1 1 +（ 1 1 + + = ， P（ =2） =1 +（ 1 1 + = ， P（ =3） = ， 随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 P = 【点评】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用 19（ 12 分）（ 2017西安一模）如图 1 ： 在直角梯形 ， 0， C=2， ， E 点，把 到 D DA=2 ，如图 2 ：若 G， H 分别为 DB， D （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求平面 D 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）证明 面 可得到 平面 （ 2）如图过点 D作直线 m 直线 m 就是面 D得 就是平面 D 【解答】 证明：（ 1） 在直角梯形 ， 0， C=2， E 点， 把 到 D DA=2 ， E=2， DE=6 2=4， D = ， ， 平面 面 因为 正方形， 面 G， H 分别为 DB， DE 的中点， 平面； （ 2）如图过点 D作直线 m 直线 m 就是面 D 面 DE，即 DE m， m， 面 ， DED 就是平面 D 在直角三角形 中， ， DE=4，可得， =30 平面 D00 【点评】 本题考查了空间线面垂直的判定，及定义法求二面角， 属于中档题 20（ 12 分）（ 2017西安一模）如图，已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T：（ x+2） 2+y2=r 0），设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）求 的最小值； （ 3）设点 P 是椭圆 C 上异于 M， N 的任意一点，且直线 别与 x 轴交于点 R， S， O 为坐标原点，求证： |定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意可知： T（ 2， 0）， a=2又 ， a2=b2+立解出即可 得出 （ 2）设 M（ N（ 把点 M 的坐标代入椭圆方程可得： =1 利用数量积运算性质可得： = ， 2 2，再利用二次函数的单调性即可得出 （ 3）设 P（ 直线 方程为： y （ x 令 y=0，可得 理可得： 用点 M， P 都在椭圆上，及其 |可证明 【解答】 （ 1）解：由题意可知： T（ 2， 0）， a=2又 ， a2=b2+ 联立解得 a=2， c= ， b=1 椭圆 C 的方程为 =1 （ 2） 解：设 M（ N（ 把点 M 的坐标代入椭圆方程可得： =1 = = = ， 2 2， 当且仅当 时， 取得最小值 （ 3）证明：设 P（ 直线 方程为： y （ x 令 y=0，可得 ， 同理可得： ， 点 M， P 都在椭圆上， =4 ， =4 ， ： |= =4 是定值 【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、数量积运算性质、直线方 程，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21（ 12 分）（ 2017西安一模）设函数 f（ x） =a 0）， g（ x） = 2（ x） =g（ x） f（ x） （ 1）试讨论 F（ x）的单调性； （ 2）当 a 0 时， F（ x） 1 e 在 x 1， e恒成立，求实数 a 的取值 【考点】 利用导数研究函数的单调性；定积分 【分析】 （ 1）求出 g（ x）的解析式，求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （ 2）求出函数的单调性，得到关于 a 的不等式组，解出即可 【解答】 解：（ 1）由题意得： g（ x） = 2 F（ x） =g（ x） f（ x） =x 0）， F（ x） =2x a= ， a 0 时， x （ 0， a）时， F（ x） 0， x （ a， + ）时， F（ x） 0， 函数 F（ x）在（ 0， a）递减，在区间（ a， + ）递增； a 0 时， x （ 0， ）时， F（ x） 0， x （ ， + ）时， F（