湖南省邵阳市2017届高三第二次联考数学（文）试题含答案

邵阳市第二次联考试题卷 数学（文科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . | ( 4 ) ( 1 ) 0 A x x x ，集合 | 2B x x ，则 () ） A ( 2, 1) B 2,4) C 2, 1) D 3( 1) 1iz i 的实部为（ ） A 0 B C 1 D 2 3. 假设有两个分类变量 X 和 Y 的 22 列联表为 : 1110 10a 230 30c 总计 60 40 100 对同一样本 ,以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为 ( ) A 45, 15 B 40, 20 C. 35, 25 D. 30, 30 4.“ 1m ”是“函数 ( ) 3 3 3在区 间 1, ) 无零点”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 5. 已知函数 ( ) c o s ( ) ( 0 )6f x x 的最小正周期为 ,则函数 () ( ) A可由函数 ( ) g x x 的图 象 向左平移3个单位而得 B可由函数 ( ) g x x 的图 象 向右平移3个单位而得 Y X C. 可由函数 ( ) g x x 的图 象 向左平移6个单位而得 D可由函数 ( ) g x x 的图 象 向右平移6个单位而得 6. 执行如图的程序框图 ,若输入 k 的值为 3,则输出 S 的值为 ( ) A 10 B 15 D 21 a ，曲线 2 1( ) 2f x a 在点 (1, (1)f 处的切线的斜率为 k ，则当 k 取最小值时 a 的值为（ ） A 12B D 2 02 4 02 5 0 ，且 3 ( ) 2 ( 1)x a y 的最大值为 5，则 a 等于（ ） A B C. 2 D 1 9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( ) A 6 B 9 D 18 10. 若 55t a n c o s s i n s i 1 2 1 2 1 2m ，则实数 m 的值为 ( ) A 23 B 3 D 3 11. 已知 2 , 0 1 ,()1 , 1 , 在区间（ 0,4）内任取一个为 x ，则不等式2 1 347l o g ( l o g 4 1 ) ( l o g 1 ) 2x x f x 的概率为（ ) A 13B 512C. 12D 71212. 已知抛物线 2: 2 ( 0 )C y p x p的焦点为 F ，点00( , 2 2 ) ( )2pM x x 是抛物线 C 上一点，圆 M 与线段 交于 点 A ，且被直线2得的弦长为 3 若 2则 于 ( ) A 32B 1 D 3 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 3, )， (1, 2)b ，若 2a b b ，则 m 14. 已知双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的左、右端点分别为 , (0, 2 )线段 垂直平分线过点 B ，则双曲线的离心率为 斜公式”，设 个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，面积为 S ，则“三斜求积”公式为2 2 22 2 21 ( ) 42a c bS a c s s A ， 22( ) 1 2a c b ，则用“三斜求积”公式求得 的面积为 16. 在长方体1 1 1 1A B C D A B C D中 ,底面 边长为 2 的正方形 , 1 3E 是1过1面 平面11 ,则 平面 成角的正切值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在数列 23a . （ 1）若数列 ，求 （ 2）若4 47a ，且数列 ( 2 1) 1是等差数列 前 n 项和 18. 某中学举行了一次“环保只知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛 中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本进行 统计 图所示），解决下列问题 . （ 1）求出 , （ 2）在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环保只是的志愿宣传活动 . 1）求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率； 2）求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率 . 19. 在如图所示的几何体中，四边形11面 1 1 1 1/ / , 2 ,A B A B A B A B E是 中点 . （ 1）求证：1 / （ 2）若 C ，12B，求证平面1面1120. 已知右焦点为 ( ,0)椭圆 222: 1 ( 0 )3 关于直线 对称的图形过坐标原点 . （ 1）求椭圆 M 的方程； （ 2）过点 (4,0) 且不垂直于 y 轴的直线与椭圆 M 交于 两点 ，点 Q 关于 x 轴的对称点为 E 线 x 轴的交点为 F . 21. 已知 ( ) l n ( 0 , f x a x x x e ， 其中 e 是自然常数， . （ 1）当 1a 时，求 ()证明 1( ) ( )2f x g x恒成立； （ 2）是否存在实数 a ，使 ()？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在极坐标系中，已知三点 ( 0 , 0 ) , ( 2 , ) , ( 2 2 , )24O A B. （ 1）求经过 ,圆 C 的极坐标方程； （ 2）以极点为坐标原点，极轴为 x 的正半轴建立平面直角坐标系，圆2c o s ,1 s i n , （ 是参数），若圆1实数 a 的值 . 等式选讲 设函数 ( ) 2 1f x x x . （ 1）求不等式 ( ) 1的解 集； （ 2）若关于 x 的不等式 ( ) 4 1 2f x m 有解，求实数 m 的取值范围 . 邵阳市第二次联考试题卷 数学参考 答案 （文科） 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 14. 10215. 3 答题 1）120，2 23a ， 0，且1 2 ， 即数列 的等比数列 . 1222233 . （ 2）设 ( 2 1 ) 1n a ，则数列 2 23a ，4 47a ，2 3c ，4 5c ， 数列 ， 3 ( 2 ) 1nc n n ， ( 2 1 ) 1 1a c n ，21n na n ， 21nn ，即数列 首项为 1，公差为 2 的等差数列， 2(1 2 1 )2n . 1）由题意可知，样本总人数为 8 ， 2 ， 50 ， 5 0 8 2 0 4 2 1 6a . （ 2） 1）由题意可知，第 4 组共有 4 人，记为 , , ,A B C D ，第 5 组共有 2 人，记为 ,从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中抽取 2 名同学有 C ， ，D ， ， A X A Y B X B Y C X C Y D X D Y X Y， ， ， ， ， ， ， ，共 15 种情况 . 设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E ， 有 A X A Y B X B Y C X C Y D X D Y X Y， ， ， ， ， ， ， ，共 9 种情况 . 所以 93()1 5 5. 即随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是 35. 2）设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F ， 有 A B A C A D B C B D C D X Y， ， ， ， ， ，共 7 种情况 . 所以 7()15 即随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 715. 19. 解：（ 1）证明：取 中点 F ，连接1,F， 112 B，11B， 11/A B 11/B. 的中位线， /B ， 1A F，平面1 / 1面11 / （ 2）解：连接 C ， B ， 1111C且11/A E 四边形11则11/F. 1B，1B B， 平面111A， 由（ 1）得1等腰三角形，又四边形11 1 90，即11A， 1面111平面11 1）由题意得椭圆 M 的焦点在 x 轴上， 椭圆 M 关于直线 对称的图形过坐标原点， 2， 223 ， 23 34a ，解得 2 4a . 椭圆 M 的方程为 22143. （ 2）证明：易知直 线 斜率必存在，设直线 方程为 ( 4 ) ( 0 )y k x x ， 代入 22143得 2 2 2 2( 3 4 ) 3 2 6 4 1 2 0k x k x k ， 由 2 2 2 2( 3 2 ) 4 ( 3 4 ) ( 6 4 1 2 ) 0k k k 得， 11( , )22k . 设11( , )P x y，22( , )Q x y，22( , )E x y，则 212 23234k ， 212 26 4 1 234k ， 则直线 方程为121112()y x . 令 0y 得1 2 1 2 2 1 1 2 2 1111 2 1 2 1 2( 4 ) ( 4 )( 8 )x x x y x y x k x x k xx y xy y y y k x x 22221 2 1 221226 4 1 2 3 2242 4 ( ) 3 4 3 4 132( 8 ) 834x x x ， 直线 定点 (1,0) ，又 M 的右焦点为 (1,0) ，直线 x 轴的交点为 F . 21.（ 1）证明： ( ) x x x ， 11( ) 1 . 当 01x时， ( ) 0，此时 () 当 1 时， ( ) 0，此时 () ()1) 1f . 即 ()0, e 上的最小值为 1. 令 1 l n 1( ) ( )22xh x g x x ，21 ) x ， 当 0 时， ( ) 0， ()0, e 上单调递增， m a x m i 1 1( ) ( ) 1 ( )2 2 2h x h e f ， 1( ) ( )2f x g x恒成立 . （ 2）假设存在实数 a ，使 ( ) l n ( ( 0 , )f x a x x x e 有最小值 3， 11( ) x a . 当 0a 时， ()0, e 上单调递减，m i n( ) ( ) 1 3f x f e a e ， 4舍去）， 0a 时，不存在 a 使 (). 当 10 时， ()(0, ) 1( , m i n 1( ) ( ) 1 l n 3f x f ， 2，满足条件 . 当 1 ， ()0, e 上单调递减，m i n 4( ) ( ) 1 3f x f e a e a e ，（舍去）， 1 ，不存在 a 使 (). 综上，存在实数 2，使得当 (0, 时， (). 1） ( 0 , 0 ) , ( 2 , ) , ( 2 2 , )24O A B对应的直角坐标分别为 ( 0 , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 2 , 2 )O A B，则过 ,圆的普通方程为 22 2 2 0x y x y ，又因为 ，代入可 求得经过 ,圆 C 的极坐标方程为 2 2 c o s ( )4. （ 2）圆2C： 1 c o s1 s （ 是参数）对应的普通方程为 2 2 2( 1 ) ( 1 )x y a ， 当圆1 2 2 2a ，解得 2a . 1）函数 () , 2 ,( ) 2 1 , 2 1 ,3 , 1