2017届湖南省高十三校联考第一次考试数学试题（理）含答案

湖南省 2017 届高三十三校联考 第一次考试 理科数学试卷 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 2| 1 3 , | 2 3 0A x Z x B x x x ，则 ） A 2,1B14C 2,3D 1,0 12z i i（则复数 ） A2B 1 C22D 2 121 32，则数列1 项和11S（ ） A 24 B 48 C 66 D 132 超过实数 g x x为取整函数，0 2x x x的零点，则 ） A 1 B 2 C. 3 D 4 两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目 标得 2 分，未击中目标得 0 分 两人射击的命中率分别为35和 P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为 2 两人射击互不影响，则 值为 （ ） A35B5C. 34D一个算法流程图，当输入的5x时，那么运行算法流程图输出的结果是 （ ） A 10 B 20 C. 25 D 35 展开式中，3 ） A52B C. 212D 8. 设 C y 焦点，过 0的直线交曲线 足为 M，则 ） A 3B 2 C. 3 D 4 ，且 22f ，又函数y f x的图象如 图所示，若两个正数足 f a b，则22的取值范围是 （ ） A2,23B 2, 2,3 C. 2,D2,3接于半径为 2 的圆O，点 ） A 0,6B 2,6C. 02D 2,2其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S 外接球的表面积为 （ ） A 32B 1123C. 283D6430上的可导函数，其导函数为且有 2 3xf x x f x ，则不等式 38 2014 2014 2 0f x f 的解集为 （ ） A , 2016B 2018, 2016C. ,0D , 2018二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 3 c si n 3f x x x 是奇函数，则于 的正方形3V 球，则成的角的余弦值为 2222: 1 0 , 0a 的左 、右焦点分别为12,F F P、是 1 1 2F，直线2与圆2 2 2x y a相切，则 2 xf x x ，数列 *1na f n f n n N ，则数列00 项之和100S 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 内角A B C、 、的对边分别为a b c、 、，且满足 si n si n c os c os si A B C ，（ 1）试判断形状，并说明理由；（ 2）若12 ，试 求积的最大值 . 所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为 1： 2： 3，其中第 2 组的频数为 12. （ 1）求该校报考飞行员的总人数； （ 2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设 重超过 60 公斤的学生人数，求 棱柱1 1 1，1 2 , 2 2A C ，011 60，平面1面11. （ 1）求 证：1面11 （ 2）求二面角1C 的余弦值 . 2222 10xy 上的点到右焦点 ,0 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）是否存在过点 点，使得 B ？并说明理由 . 21. 已知函数 2 2 l n 0f x x x a x a . （ 1）当2a时，试求函数图像过点 1, 1 （ 2）当1时，若关于f x x b有唯一实数解，试求实数 （ 3）若函数1 2 1 2x x x x、，且不等式 12f m x恒成立，试求实数 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 已知平面直角坐标系点 1, 2P 的直线52 si n 45 （以原点坐标系，曲线si n ta n 2 0 ，直线N. （ 1）求曲线 （ 2）若N，求实数 等式选讲 设函数 3 1 3f x x . （ 1）若1a，解不 等式 4 （ 2）若实数 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 314. 101015. 5316. 10200 三、解答题 17.【解析 1】（ 1） si n si n c os c os si A B C ， 由正、余弦定理，得 2 2 2 2 2 222b c a c a ba b c a ， 化简整理得： 2 2 2a b a b a b c ， 0，所以2 2 2a b c， 故直角三角形，且090C； （ 2）2 2 21 2 ,a b c a b c ， 221 2 2 2 2 2a b a b ab ab ， 当且仅当，上式等号成立， 22 故21 1 2 12 2 4 ， 即积的最大值为14. 【解析 2】 （ 1）由已知： si n si n c os c os si A B C ， 又 si n si n si n c os c os si C A C A C ， si si si B B， si n si n c A B C， 而0 A B C 、 、， ， C， 故090C， 直角三角形 . （ 2）由（ 1）090， si n , c c A b c A. 12 ， 121 si n A， 221 1 1 1 2si n c os si n c 2 1 si n c ab c A A A ， 令 t， 0 2A ， 12t， 2 21 1 2 1 3 2 2 1 3 2 2 212 1 2 4 1 4 1t t t . 而 3 2 2 2141ft t 在1, 2上单调递增， m a x 12 4. 18.【解析】（ 1）设该校报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为1 2 3,p p p， 则由条件可得： 21311 2 1p p ， 解得，1 2 p p ， 又因为2 n，故48n. 所以该校报考飞行员的人数为 48 人 . （ 2）由（ 1）可得，估计抽到一个报考学生的体重超过 60 公斤的概率为1 2 51 8P ； 依题有53, 8，故 33 53 , 0 , 1 , 2 , 388 k C k . 随机变量 2 3 35 225 125 150 1 2 3512 512 512 512 8 ，或5 153 88EX . 19.【解析】（ 1）证明：设，连1M、. 01 1 12 , 60A C ， 四边形111正三角形， 1M 22C， C. 而1 M M， 面11C. 四边形11有1C， 又平面1面1 1C， 面1， 1C， 又D C， 1（ 2） 如图，1M， 1 1 1M， 以11 1 1 1C A C M C B、 、所在直线分别为x轴、 01 1 12 , 60 , 2 2A C ， 1 2 从而，有 1 , 3 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 2A M B， 1 2 , 0 , 0 , 1, 3 , 0. 1 , 0 , 0 , 0 , 3 , 2M . 设面, ,1n x y， 则0 20 , , 133 2 0n AM x M y ， 又面11 3, 3, 0， 设二面角1C 的大小为，由图知为锐角， 则1117c os c 7n A C . 20.【解析】（ 1）由题意可知21 ，且22 2，解得2, 1a b c ， 椭圆的方程为2 2 12x y. （ 2）由（ 1）得 1,0F，所 以01m. 假设存在满足题意的直线l，设1y k x， 代入2 2 12x y，得 2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k x k ， 设 1 1 2 2, , ,A x y B x y，则221 2 1 24 2 2,2 1 2 1x x x ， 1 2 1 2 2221ky y k x x k ， 21 1 2 2 2242, , 2 ,2 1 2 1 C B x m y x m y . B ，且 1,k， 2 222422 0 1 22 1 2 1k m k m ， 当10 2m时，12 ，即存在这样的直线l； 当1 12时，不存在这样的直线l. 21.【解析】（ 1）当2a时，有 2 2 2 x x x x . 221222 x x ， 12f ， 过点 , 1 1 2 1 ， 即2 3 0 . （ 2）当1a时，有 2 2 x x x x ，其定义域为： |0 从而方程 f x x b可化为：2 3 x x x ， 令 2 3 x x x ，则 21 2 3 123 x x ， 由 01x x 或10 2； 12g x . 和1,上单调递增，在1,12上单调递减， 且 15 , 1 224 ， 又当0x时， ；当x时， . 关于 的方程2 3 x x x 有唯一实数解， 实数或5 . （ 3） 222| 0 , 2 2 a x x ax x f x x . 令 20 2 2 0f x x x a . 又函数有两个极值点 1 2 1 2x x x x、， 22 2 0x x a 有两个不等实数根 1 2 1 2x x x、， 100 2a ，且21 2 1 11, 2 2a x x ， 从而12101 . 由不等式 f x m x恒成立 21 1 1 1222 l x x a 恒成立， 221 1 1 1 111 1 12 2 12 2 2 l n 11 2 l x x x x x xx x ， 令 111 2 l n 012h t t t t ， 211 2 1t ，当10 2t时恒成立， 函数上单调递减， 13 22h t h ， 故实数 2m . 22.【解析】（ 1）001 52 si n 45 （ 直线 . a ， 22si n 2 c ， 由得曲线y （ 2）2 2y 0x， 设直线,1 2 1 2, 0, 0t t t t， 则1