2014年秋《控制理论》作业题及答案

姓名： 学 号： 年级： 2014 秋 学习中心： 第一章 1开环系统相比，闭环系统的最大特点是： 检测偏差，纠正偏差 。 1析一个控制系统从以下三方面分析： 稳定性、准确性、快速性。 1 1a)， (b)所示均为调速系统。 (1) 分别画出图 1-3(a)、图 (b)所示系统的方框图。给出图 1-1(a) 所示系统正确的反馈连线方式。 (2) 指出在恒值输入条件下，图 1-1(a)， (b) 所示系统中哪个 是有差系统，哪个是无差系统，说明其道理。 图 1调速系统工作原理图 解 图 1-1(a)正确的反馈连接方式如图 1a)中虚线所示。 (1) 系统方框图如图解 1示。 (2) 图 1a) 所示的系统是有差系统，图 1b) 所示的系统是无差系统。 图 1a)中，当给定恒值电压信号，系统运行达到稳态时，电动机转速的恒定是以发电机提供恒定电压为条件，对应发电机激磁绕组中电流一定是恒定值。这意味着放大器前端电压是非零的常值。因此，常值偏 差电压存在是系统稳定工作的前提，故系统有差。 图 1b)中，给定恒定电压，电动机达到稳定转速时，对应发电机激磁绕组中的励磁电流恒定，这意味着执行电动机处于停转状态，放大器前端电压必然为 0，故系统无差。 1 1a)， (b)所示的系统均为电压调节系统。假设空载时两系统发电机端电压均为 110V，试问带上负载后，图 1-3(a)， (b)中哪个能保持 110V 不变，哪个电压会低于 110V？为什么 ? 图 1压调节系统工作原理图 解 带上负载后，开始由于负载的影响，图 1-3(a)与 (b)系统 的端电压都要下降，但图 (a)中所示系统能恢复到 110V，而图 (b) 所示系统却不能。理由如下： 图 (a)系统，当 u 低于给定电压时，其偏差电压经放大器 K 放大后，驱动电机 D 转动，经减速器带动电刷，使发电机 F 的激磁电流电机的输出电压会升高，从而使偏差电压减小，直至偏差电压为零时，电机才停止转动。因此，图 (a)系统能保持 110 图 (b)系统，当 u 低于给定电压时，其偏差电压经放大器 K 后，直接使发电机激磁电流增大，提高发电机的端电压，使发电机 G 的端电压回升，偏差电压减小，但不可能等于零，因为当偏差电压为 0 时，发电机就不能工作。即图 (b)所示系统的稳态电压会低于 110V。 1 1仓库大门自动控制系统原理示意图。试说明系统自动控制大门开、闭的工作原理，并画出系统方框图。 图 1仓库大门自动开闭控制系统 解 当合上开门开关时，电桥会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到桥式测量电路达到平衡，电动机停止转动，大门达到开启位置。反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。 系统方框图如图 1示。 1制系统分为两种基本形式 开环系统 和 闭环系统 。 1正反馈如何定义？ 答：将反馈环节取得的实际输出信号 加以处理，并在输入信号中减去这样的反馈量，再将结果输入到控制器中去控制被控对象，我们称这样的反馈是负反馈；反之，若由输入量和反馈相加作为控制器的输入，则称为正反馈。 1组成控制系统的元件都具有线性特性， 则称为线性控制系统。 1制系统中各部分的信号都是时间的连续函数 ，则称为连续控制系统。 1控制系统各部分的信号中只要有一个信号是时间的离散信号 ，则称此系统为离散控制系统。 第二章 2试建立图 2示各系统的微分方程。其中外力 )(位移 )(电压 )(输入量；位移 )(电压 )(k （弹性系数）， f （阻尼系数）， R （电阻）， C（电容）和 m （质量）均为常数。 + 解 （ a）以平衡状态为基点，对质块 m 进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解 2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 22)()(dt 整理得 )(1)()()(22 （ b） 如图解 2-1(b)所示，取 A,B 两点分别进行受力分析。对 A 点有 )()( 111 （ 1） 对 B 点有 1 )( （ 2） 联立式（ 1）、（ 2）可得： ( (c) 应用复数阻抗概念可写出 )()(11)(11 （ 3） 2)()( R （ 4） 联立式（ 3）、 （ 4），可解得： 1()( )( 微分方程为 : (d) 由图解 2d）可写出 )()()()( （ 5） )()(1)( （ 6） )()()()( （ 7） 联立式（ 5）、（ 6）、（ 7），消去中间变量 )(可得： 1312)()(222222R C 微分方程为 213 2试证明图 2所示的力学系统 (a)和电路系统 (b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。 解 (a) 取 A、 图解 2-2(a)所示。对 )()()( 1122 (1) 对 B 点有 1111 )( (2) 对式（ 1）、（ 2）分别取拉氏变换，消去中间变量 1y ，整理后得 )()(21 2 1 21 2 1 221 2 1 2 21 2 1 2 1( ) 1( ) 1f f f k k kf f f f k k k k (b) 由图可写出 = 11)(整理得 )()(= 1)( 1)(21221122121221122121 比较两系统的传递函数，如果设1 1 2 2 1 1 2 21 , 1 , , ,R k R k C f C f 则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。 2假设某容器的液位高度 h 与液体流入量 足方程 ， 式中 S 为液位容器的横截面积， 为常数。若 h 与 其工作点 ),(00 导出 h 关于 的线性化方程。 解 将 h 在0h 000 21|0（ 1） 代入原方程可得 )(1)2 1()( 0000 （ 2） 在平衡工作点处系统满足 000 （ 3） 式（ 2），（ 3）相减可得 h 的线性化方程 02 2试求图 2示各信号 )(象函 数 )( 解 （ a） )(2)(0 )( 212 （ b） )()()()(321 )( )()(1321 （ c） )( )(4)2(4)2(44 2222 )21(4)( 222 2求下列各拉氏变换式的原函数。 (1) 1)( (2) )3()2( 1)( 3 ) )22( 1)( 2 (1) 1)( (2) 原式 )3(31241)2(83)2(41)2(2123 x（ t） 241318344 32222 (3) 原式 1)1(1211)1(12121222121222 )( )c o s( s t 2已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 tt 221)( ，试求系统的传递函数和脉冲响应。 解 单位阶跃输入时，有)( ，依题意 )2)(1( 2311221)( )2)(1( 23)( )()( ss tt 211 42411)()(2已知系统传递函数 232)( )( 2 初始条件为 1)0( c ， 0)0( c ，试求系统在输入 )(1)( 作用下的输出 )( 解 系统的微分方程为 )(2)(2)(3)(22 （ 1） 考虑初始条件，对式（ 1）进行拉氏变换，得 )(23)(3)(2 （ 2） 22141)23(23)(22 tt 241)( 2求图 2示各有源网络的传递函数)()( 解 (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出 12)( )( (b) 22112211111122)1)(1(111)()(c) )1(11)()(212122 2某位置随动系统原理框图如图 2示，已知电位器最大工作角度3300，功率放大器放大系数为3k。 （ 1） 分别求出电位器的传递函数0k，第一级和第二级放大器的放大系数 1k ， 2k ； （ 2） 画出系统的结构图； （ 3） 求系统的闭环传递函数 )()( 解 (1) 电位器的传递函数 111 8 01 8 03 3 030 0000 根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为 31010 1030 331 K ， 21010 1020332 K (2) 可画出系统结构如图解 2示： (3) )1(11)1()()(321032321011132103223210机俯仰角控制系统结构图如图 2示，试求闭环传递函数 )()( 解 经结构图等效变换可得闭环 系统的传递函数 )(23 知系统方程组如下： )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(3435233612287111求闭环传递函数)( )( 解 系统结构图如图解 2示。 利用结构图等效化 简或梅逊增益公式可求出系统的闭环 传递函数为 843217432154363243211)( )( 2用结构图等效化简求图 2示各系统的传递函数)( )( 解 （ a） 所以： 432132432143211)( )( （ b） 所以： )( （ c） 所以： 32132213211)( )( （ d） 所以： 2441321232121413211)( )( （ e） 所以： 232121213214 1)( )( 2知控制系 统结构图如图 2示，求输入 ( ) 3 1( )r t t 时系统的输出 )( 解 由图可得 )3)(1(2)1(1221122)()(22又有 )( 则 311323)3)(1( 2)( tt 1 3231132)( 2绘制图 2示系统的信号流图。 解 2绘制图 2示信号流图对应的系统结构图。 解 2用梅逊增益公式求 2中各结构图对应的闭环传递函数。 解 （ a）图中有 1 条前向通路， 3 个回路，有 1 对互不接触回路 ，211143211 1 ， 21321323432 )(1 4321324321432111 1)( )( （ b）图中有 2 条前向通路， 1 个回路 ， 1 11 L )( )( （ c）图中有 1 条前向通路， 3 个回路 ，21113211 1 ， )(1 3213213322 321322132111 1)( )( （ d）图中有 2 条前向通路， 5 个回路 ， 11241213211 ， 414321323221211 ， )(1 54321245 2441321232121413212211 1)( )( （ e）图中有 2 条前向通路， 3 个回路 ， 24213211 1 ， )(1 32123231221211 232121213214112211 1)( )( 2用梅逊增益公式求图 2各系统的闭环传递函数。 解 （ a）图中有 1 条前向 通路， 4 个回路 1143211 ，)(1 43212434 443213332121321 ， 则有 243443213321132432111 1)( )( （ b） 图中有 2 条前向通路， 3 个回路，有 1 对互不接触回路 ，111243213211 111 ， 3213213332111 ，21321 )(1 则有 3311321321331111433212211 1 )1()( )( （ c） 图中有 4 条前向通路， 5 个回路 ， 1242321211 ， 2151242321211 ， )(11 43214321 则有 44332211)( )(1 21 （ d） 图中有 2 条前向通路， 5 个回路 ， 11 2321211 ， 22135342132212121 ，)(154321 则有 2211)( )( （ e） 图中有 2 条 前向通路， 3 个回路，有 1 对互不接触回路 ，1234213211 11 ， 3232321211 ，21321 )(1 则有 213213223121121343212211 1 )1()( )( 2知系统的结构图如图 2示，图中 )(输入信号， )(干扰信号，试求传递函数)( )()( 解 （ a） 令 0)( 求 )( )(中有 2 条前向通路 ,3 个回路，有 1 对互不接触回路。 ， 123121211 111 ， 31321221 ，31321 )(1 则有 )1()( )( 令 0)( 求 )( )( 3 条前向通路，回路不变。 ， 111 22142111 ， 133143 1 ，31321 )(1 则有 )1(1)( )( （ b） 令 0)(0)( 21 ，求 )( )(中有 1 条前向通路， 1 个回路。 ，1111 12 )1(212 Ls 则有 )1(2)12()( )( 11 )(0)( 2 ，求 )()(1 sN 中有 1 条前向通路，回路不变。 ， 111 则有 )1(2)12()2()()( 111 令 0)(0)( 1 ，求 )()(2 sN 中有 1 条前向通路，回路不变。 ， 122 11 s )1(2)12(2)()( 112 （ c） 令 0)( 求 )( )(中有 3 条前向通路， 2 个回路。 ， 111 3421324321421 ， )(1 21432421 则有 43424214342332211 1)( )( 令 0)( 求 )( )( 1 条前向通路，回路不变。 ， 1141 则有 4342411 1)( )( 2图 2示，已知单位负反馈系统开环传递函数 1() ( 3 )Gs 且初始条件为 (0) 1c ， (0) 0c 。试求： （ 1） 系统在 ( ) 1( )r t t 作用下的输出响应 () （ 2） 系统在 ( ) 2 ( ) 2r t t t作用下的静态误差 s )C ( s )1( 3 )图 2案： 1 初始条件为 0时，21 ( )() 3 1 ( )s s R s 现 2 ( ) ( 0 ) ( 0 ) 3 ( ) 3 ( 0 ) ( ) ( )s c s s c c s c s c c s R s 代入 (0) 1c ， (0) 0c ： 2 ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )s c s s c s c s s R s 当 ( ) 1( )r t t ， ( ) 1/R s s 则 23231() 3s s s 3 5 3 52244( ) 1 ( ) 3 5 5 5 3 5t t e e 2 62统如图 2示 图 2： (1) 系统的微分方程 (2) 系统的传递函数（系统初值为 0） 答案： 应用阻抗法直接求电路的传递函数。 由图 2示可知： 1111 1 111 s R L sC s R C s 2221 11 1 111221 1 2() 11()1 R C s Z Z L s s C s 21 2 1 2 1 1 2 2321 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) 1( ) ( ) 1R R C C s R C R C C L s R R C C C L s R C R C R C 第三章 3已知二阶系统闭环传递函数为 369362 。 试求单位阶跃响应的 % , 解：当输入信号 r（ t）为单位脉冲函数时，则二阶系统单位脉冲响应 c（ s）为： C（ s） =2222 可知 26 =9 得 = =4.5 =6/= =(4=s) pt=s) %= p= )1( 2e = e =于 2%允许误差标准，调整时间为 =4/s) 对于 5%允许误差标准，调整时间为 =3/s) 3单位反馈系统的开环传递函数为 )1( 1)( 试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。 解： 闭环传递函数11)(1 )()( 2 （ s） =2222 可知 2 =1 得 = =0.5 值时间pt=5.1(s) 超调量 p= )1( 2e = e =于 2%允许误差标准 ，调整时间为 =4/(s) 对于 5%允许误差标准，调整时间为 =3/(s) 3如图 1 所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量 % =25%，峰值时间确定 X(s) Y(s) 图 1 闭环传递：)1()1(1)1()( )1(2 由公式 C（ s） =2222 得k = k +1 得 = = % = )1( 2e =25% 可得 =1( spt=k=： k =入 = = 得 =知系统的结构图如图 2所示，若 )(12)( 时，试求： (1) 当 =0时，系统的 (2) 当 0时，若使 =20%，应为多大。 X(s) Y(s) 图 2 解： (1) 由结构图可知闭环传递函数为 50250)( )()( 2 可得 )/(弧度n1 )( 输出的拉氏变换为 22222)( 则拉氏反变换为 )2( 5.0s %)2(5(4%100%100%)i n (s i n (112)(2) 当 0时，闭环传递函数 50)50)( )()( 2 )/(弧度n 1( 得由 %20%100% 21 e e 两边取自然对数 ， 可得 故 ) o%)2(3 秒 31) 什么叫时间响应 答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。 (2) 时间响应由哪几部份组成？各部份的定义是什么？ 答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。 瞬态响应是系统受到外加作用后，系统从初始状态到最终稳定状态的响应过程称瞬态响应或者动态响应或称过渡过程。稳态响应是系统受到外加作用后，时间趋于无穷大时，系统的输出状态或称稳态。 (3) 系统的单位阶跃响应曲线各部分反映系统哪些方面的性能？ 答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应反映系统的稳定性，相对稳定性及响应的快速性；稳态响应反映系统的准确性或稳态误差。 (4) 时域瞬态响应性能指标有哪些？它们反映系统哪些方面的性能？ 答：延迟时间升 时间 峰值时间节时间大超调量 % mt,灵敏度， % 反映系统的相对稳定性。 30611126 234 试判别系统的稳定性。 解： 列出劳斯表： 1612 1 6116610116612101234上表可以看出，第一列各数值都为正值，故系统稳定。 3022 23 列劳斯表 2122101230)2)(1( 2 根为 2,132,1 以系统临界稳定 3单位反馈系统的开环传递函数为 )( sG 解：闭环传递函数)( sG D(s)=s()()+k=0 =s +s +s+k 列出劳斯表 要使系统稳定 k0 , 必须 00 6 可得 00,或 1 ，系统稳定； （四）此时开环放大系数 K=到临界稳定需增加 2 倍，即稳定范围为 0K3。或从劳斯判据，得 0，即， K 的稳定范围为 0K3。 0 1 23 1 2 5 0 0 1 2 5 0(0 1 15 0 0( )12 5 0(0 1 23 90)( 001 )( 2 （）（221 )2)(1( 3)()( 9)2(329 9 ）（）（ - 1 - 2 - 3 - 0 . 5 ( c) - j - j - 2j = 0 + 5统开环传递函数为 要求（ 1）绘制系统 K=10 时的 ；（ 2）从图中求出系统的相角裕量 、幅值裕量 幅值穿越频率 c。（ 3）为使 Kg(20 应为多大？（ 4）为使 =30o， K 应为多大？ 解：将开环频率特性化为标准形式： （一） 绘制 ， L()分段直线； （ ） = 5 10 100 () 二）从图中求得 0， ( c三）向下 平移 L()曲线，使 Kg(20动分贝数为 20 K=10 （四）在 ()曲线上找到 (c)=点 ,向 下 平移 L()曲线 ,使 L()曲线过 0c,量出平移的 L(K*)用 K*= ,即可计算 K 增加的倍数 K* K=5。 )()( 10)()( 0 - 180 - 60 20 0 - 20 - 40 0 . 0 1 0 . 1 10 1 100 5 - 2 0 d B / d e c - 4 0 d B / d e c - 6 0 d B / d e c 0 - 150 c - 37 - 270 第六章 6 要求 解：调整 k 满足稳态性能，再加超前校正满足动态性能 设 k = 20 低频段 1 206 转折频率 求相角裕量 若要求 500， 则校正装置应提供： m 5000=370 校正时，将 1c 此时可最大提升频率特性 使 则 则 校正后的 系统： )20)(0 ,.)(L r a c c 40 22 20 2 01000 18365090180180 ).( c4,i i n 0 4 40 2 (1 c=c40 )(9.8,1 1,1 22 T 2 2 sG s ,)s.(s k)s(G 1500 校算 : 基本满足要求。 6一单位反馈系统的开环传递函数为)2( 4)( 计一个超前校正装置，使校正后系统的静态速度误差系数 120 相位裕度 50 ，增益裕度小于 10 解： 根据对静态速度误差系数的要求，确定系统的开环增益 K。 202)2( 4 sK 10K 当 10K 时，未校正系统的开环频率特性为 290)2(120)2(40)(2 a r ct 绘制未校正系统的伯特图，如图 6该图可知未校正系统的相位裕度为 17 *也可计算 1)2(1202 根据相位裕度的要求确定超前校正网络的相位超前角 38517501 由式 (6 超前校正装置在 m 处的幅值为 ，据此，在为校正系统的开环对数幅值为 - + )20()0180 90)( 9 ，这一频率就是校正后系统的截止频率 c *也可计算 100101102- 6 0- 4 0- 2 002040100101102- 1 8 0- 1 6 0- 1 4 0- 1 2 0- 1 0 0100101102- 6 0- 4 0- 2 002040100101102- 2 0 0- 1 5 0- 1 0 0- 5 0050100101102- 6 0- 4 0- 2 002040100101102- 2 0 0- 1 5 0- 1 0 0- 5 0050图 6计算超前校正网络的转折频率 1 ， c 为了补偿因超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减，必须使附加放大器的放大倍数为 a=校正后系统的框图如图 6开环传递函数为 )0 5 4 )2 2 0)2()( )( ( 0图 6正后系统框图 对应的伯特图中红线所示。由该图可见，校正后系统的相位裕度为 50 ，增益裕度为 均已满足系统设计要求。 6制系统如图 6要求校正后的静态速度误差系数等于 130s ，相位裕度不低于 40 ，幅值裕度不小于 10止频率不小于 s，设计串联校正装置。 )( ( 制系统 解： 首先确定开环增益 K 30)( 未校正系统开环传递函数应取 )30)( 图 6 10 0 0- 5 005010010 0 0- 2 5 0- 2 0 0- 1 5 0- 1 0 0- 5 0图 6由图可得 12 可算出 sr a a d 12,/ cc a r c t ga r c t g 说明未校正系 统不稳定，且截止频率远大于要求值。在这种情况下，采用串联超前校正是无效的。可以证明，当 30 ， 0 m ， s 而截止频率也向右移动。 考虑到，本例题对系统截止频率值要求不大，故选用串联滞后校正，可以满足需要的性能指标。 计算 )0)( a r c t ga r c t g )()( 46)6(40)()( 10 0 0- 5 005010010 0 0- 2 0 0- 1 0 00于是，由 与)( 与的曲线（玫瑰红色），可查得 时 ， 可满足要求。由于指标要求 ，故 c 值可在 d /围内任取。考虑到 c 取值较大时，已校正系统响应速度较快 滞后