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1第二章实数理论郇中丹2006-2007年度第一学期2为什么要讲实数理论以往教材上关于实数处理的方式:以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定义以公理化方式定义实数来回避直接定义实数上述处理方式的缺陷:分割和基本列的方式定义需要引入一系列的工具，并且与中小学教材脱节公理化的方式使得学生困惑:实数变的难以理解了应当与中小学教材衔接并讲清实数:讲清十进小数3实数理论1数系理论发展简史2定义实数遇到的困难3我们如何定义实数4有理数系的性质5实数定义6实数的完备性7实数的运算性质8记号和实数的进一步性质41数系理论发展简史有趣的现象实数理论简史引入实数的方法数系理论5有趣的现象数的使用几乎与人类的历史一样长,有人通过观察推断:动物有数感.在人类文明史中,数的概念是逐步扩展开来的.然而数的严格意义上的理论直到在十九世纪后半叶才完成.虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等建立数系理论为了完善数学分析理论建立数系理论是要保证数学的真实性,非欧几何的出现,几何失去了其真实性；数学在哲学意义上的真实性应当建立在算术基础上(Gauss1817)6实数理论是指以有理数系为基础建立实数理论以往的直观想法:有理数的极限,然而必须先存在才能谈极限WilliamR.Hamilton,1833,1835提出无理数的第一个处理,以时间作为实数的基础.提出用将有理数分成两类的方法定义无理数Weierstrass(1857),Mray(1869)Dedekind(1872),Cantor(1873)(来源于KlineIVP46-47)7引入实数的方法Weierstrass:有自然数出发定义正有理数,然后用无穷多个有
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