(1987-2016)历年考研数学一真题及答案

历年考研数学一真题1987 1 6 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）答由孟庆鑫提供,择题：1 题, 每小题 4 分, 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 01 + x)b d C (A) a 1: (B) a 1且b 1:(C) a 1: (D) a 1且a + b 1:x) =80);记p = P + 2g;则 B (A) 增加而增加. (B) 增加而增加.(C) 增加而减少. (D) 三种结果发生的概率均为13;将试验A (A) 12: (B) 13: (C) 13: (D) 12:二、填空题： 9题 , 每小题 4 分 , 共 24 分 1 + t) d t1 12 :x; y; z) = (x + y + z)i+ = j + (y 1)k :u; v)可微, z = z(x; y)由方程(x + 1)z x z; y)确定,则d ;1) = d x + 2d y :x) = x f(0) = 1;则a = 12 : 00 1 00 0 14 3 2 + 1= 4 + 3 + 2 2 + 3 + 4 : ; ; 2)的简单随机样本,样本均值X = 9:5;参数的置信度为0:95的双侧置信区间的置信上限为10:8;则 的置信度为0:95的双侧置信区间为(8:2; 10:8) :三、解答题： 15题 , 共 94 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 本题满分10分）已知平面区域D =(r; ) j 2 r 2(1 + ); 2 2;计算二重积分xd y:数学（一）试题及解答 第2页（共7页）xd y =22d 2(1+)2 rd r= 1620( + + 13 )d = 16(12 2 +23 +13 34 12 2)= 323 + 5 :16.（本题满分10分）设函数y(x)满足方程y + 2y + 0;其中0 0) ) F(1) 0; F(2) Y:( I )写出(X; Y )的概率密度;(说明理由;(Z = U + z):( I )解f(x; y) =8:1 ; (x; y) 2 D;0;其他;=8Y; X 32 P Y g = 12; P 2 a; X = P F(z) = P X P X z; U = 0g+P X z; U = 1g= P z; X Y g+ P X z; X Y g=8:0; z :0; z :0; z :0; t 0)内的有向分段光滑曲线,起点为( ),终点为( ).记 1)()(11222 ,(1)证明曲线积分2)当 时,本题满分7分)(1)验证函数 0 3 )!3()( n x )满足微分方程 y y .(2)求幂级数 0 3 )!3()( n 本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为 ,其底部所占的区域为75|),( 22 小山的高度函数为 ),( 2275 .(1)设 ),(00 区域 ),( 该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 ),( 00 写出 ),( 00 表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,)中 ),( 本题满分6分)已知四阶方阵 1 2 3 4( , , , )A , 1 2 3 4, , , 均为四维列向量,其中 2 3 4, , 线性无关,1 2 32 2 3 4 ,求线性方程组 x A 本题满分8分)设 ,A 1)若 ,A 明 ,A 2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当 ,A 明(1)本题满分7分)设维随机变量)f x 12 20 x x x 其它 对次数,求2Y 本题满分7分)设总体 0 1 2 3P 2 )1(2 2 21其中( 10 2 )是未知参数,利用总体,1,3,0,3,1,2,)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,1) )10 2)(xx x = .(2)曲面 22 与平面 042 行的切平面的方程是 .(3)设 )( n n ,则2a= .(4)从 21 1,0 1 到基1 21 1,1 2 的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量( , ) , )f 60x 0 1x y 其它 ,则 1 (6)已知一批零件的长度X(单位:从正态分布 )1,(N ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(则(注:标准正态分布函数值 .)二、选择题(本题共6小题,每小题4分,有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数 ( )f ,( 内连续,其导函数的图形如图所示,则 ( )f )一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2)设 , 为非负数列,且 0 nn a , 1 nn b , nn 则必有(A) nn 对任意B) nn 对任意)极限存在 (D)极限 )已知函数 ( , )f ,0)的某个邻域内连续,且 1)( ),(220,0 yx 则(A)点(0,0)不是 ( , )f )点(0,0)是 ( , )f )点(0,0)是 ( , )f )根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 ( , )f )设向量组I: 1 2, , , 可由向量组1 2, , , 线性表示,则(A)当 时,向量组B)当 时,向量组)当 时,向量组D)当 时,向量组)设有齐次线性方程组 0xA 和 0xB ,其中 ,矩阵,现有4个命题:若 0xA 的解均是 0xB 的解,则秩( )A 秩( )B若秩( )A 秩( )B,则 0xA 的解均是 0xB 的解若 0xA 与 0xB 同解,则秩( )A 秩( )B若秩( )A 秩( )B,则 0xA 与 0xB 同解以上命题中正确的是(A) (B)(C) (D)(6)设随机变量 21),1)( ,则(A) 2 ( )Y n (B) 2 ( 1)Y n (C) ( ,1)Y D) (1, )Y F 本题满分10分)过坐标原点作曲线 x 的切线,该切线与曲线 x 及1)求2)求本题满分12分)将函数 1 21 展开成求级数 0 12 )1(n 本题满分10分)已知平面区域 0,0),( 1) e e ey x y x dy y dx x dy y .(2) e e 2 .y dy y 本题满分10分)某建筑工程打地基时,例系数为. 0)据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(0 1)r r )汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:七、(本题满分12分)设函数 ( )y 在 ),( 内具有二阶导数,且 )(,0 是 ( )y 的反函数.(1)试将 ( )x 所满足的微分方程 0)(322 换为 ( )y 满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件 23)0(,0)0( 本题满分12分)设函数 ( )f )( 22)( 222 )( )()( , 2)( 22 )( )()( ,其中 ),()( 2222 , .),()( 222 (1)讨论 ( ),0( 内的单调性.(2)证明当 0t 时, ).(2)( 九、(本题满分10分)设矩阵 3 2 22 3 22 2 3 A , 0 1 01 0 10 0 1 P ,1 *B P 2B 中 *本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032 :2l 032 :3l 032 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)本题满分8分)设总体 )f x 2( )2e0 x 0其中 0 , 21 ,记 )., 21 (1)求总体 )2)求统计量的分布函数 )( .(3)如果用作为的估计量,)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,1)曲线 x 上与直线 1直的切线方程为_.(2)已知 (e ) ex xf x ,且 (1) 0f ,则 ( )f x=_.(3)设22 第一象限中的部分,则曲线积分 L 的值为_.(4)欧拉方程 )0(024222 通解为_.(5)设矩阵 2 1 01 2 00 0 1 A ,矩阵 *2 A E,其中 *是单位矩阵,则B=_.(6)设随机变量指数分布,则 =择题(本题共8小题,每小题4分,有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把 0x 时的无穷小量 0 300 2 ,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A) , (B) ,(C) , (D) ,(8)设函数 ( )f ,0)0( f 则存在 0 ,使得(A) ( )f , ) 内单调增加 (B) ( )f 0,( 内单调减少(C)对任意的 ),0( x 有 ( ) (0)f x f (D)对任意的 )0,( x 有 ( ) (0)f x f(9)设1n 列结论中正确的是(A)若 nn 0,则级数1n )若存在非零常数,使得 nn 则级数1n )若级数1n 0 nn )若级数1n 存在非零常数,使得 nn 0)设 ( )f t ty )()( ,则 )2(F 等于(A)2 (2)f (B) (2)f(C) (2)f (D)0(11)设把满足 的可逆矩阵) 101 001 010 (B) 100 101 010(C) 110 001 010 (D) 100 001 110(12)设 ,的任意两个非零矩阵,)的行向量组线性相关(B)的列向量组线性相关(C)的行向量组线性相关(D)的列向量组线性相关(13)设随机变量0,1),N 对给定的 )10( ,数 若 则) 2u (B) 21 u(C) 21 u (D) 1u(14)设随机变量 )1(, 21 n 独立同分布,且其方差为 令 ni 1 ,则(A) 21, )X Y n (B) 21, )X Y (C)21 2)( (D) 21 1)( 三、解答题(本题共9小题,明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分)设 2e ea b ,证明 2 2 24ln )eb a b a .(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,陆时的水平速度为700km/速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 ) 6k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:km/时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分 ,)1(322 233 其中是曲面 )0(1 22 上侧.(18)(本题满分11分)设有方程 1 0nx ,证明当 1 时,级数 1 nn x 收敛.(19)(本题满分12分)设 ( , )z 是由2 2 26 10 2 18 0x xy y yz z 确定的函数,求 ( , )z 0)(本题满分9分)设有齐次线性方程组 1 21 21 2(1 ) 0,2 (2 ) 2 0, ( 2) ,( ) 0,x xx ax x nx n 试问方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵 1 2 31 4 31 5a A 的特征方程有一个二重根,求讨论22)(本题满分9分)设, 1 1 1( ) , ( | ) , ( | )4 3 2B A ,令 ;,0,1 不发生发生 .,0,1 不发生发生求:(1)二维随机变量( , )(2)23)(本题满分9分)设总体1,1,0 ,11),( 其中未知参数 ,1 21 为来自总体:(1)的矩估计量. (2)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,1)曲线 12 2 斜渐近线方程为_.(2)微分方程 满足 91)1( y 的解为_.(3)设函数 181261),( 222 ,单位向量 1,1,131n ,则 )3,2,1( =4)设是由锥面 22 与半球面 222 围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则 _.(5)设1 2 3, , 均为3维列向量,记矩阵 1 2 3( , , )A , 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , 2 4 , 3 9 ) B ,如果 1A ,那么 B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从 X,2,1 中任取一个数,记为Y,则 2 择题(本题共8小题,每小题4分,有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数 n nn 1 ,则 ( )f ,( 内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(8)设 ( ) )f 表示,N 则必有(A) ( ) )f x 是奇函数 (B) ( ) )f x 是偶函数(C) ( ) )f x 是周期函数 (D) ( ) )f x 是单调函数(9)设函数 ()()(),( ,其中函数具有二阶导数, 具有一阶导数,则必有(A) 2222 (B) 2222 (C) 222 (D) 222 (10)设有三元方程 ln e 1z y ,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 ( , )z B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 ( , )x 和 ( , )z C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 ( , )y 和 ( , )z D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 ( , )x 和 ( , )y 11)设21, 是矩阵应的特征向量分别为1 2, ,则1, 1 2( ) 线性无关的充分必要条件是(A) 01 (B) 02 (C) 01 (D) 02 (12)设2)阶可逆矩阵,交换 *. ,分别为 ,(A)交换 *B (B)交换 *)交换 *B (D)交换 *B(13)设二维随机变量( , )Y 0 10 0.4 a1 b 0 X 与 1 互独立,则(A) b (B) b (C) b (D) b (14)设 )2(, 21 n 为来自总体 (0,1)N 的简单随机样本,2(A) )1,0(B)2 2 ( )nS n(C) )1()1( n (D) 2122( 1) (1, 1)n F 三、解答题(本题共9小题,明过程或演算步骤)(15)(本题满分11分)设 0,0,2),( 22 1 22 表示不超过 221 D 1 22(16)(本题满分12分)求幂级数 1 21 )12( 11()1(n nn 收敛区间与和函数 ( )f x.(17)(本题满分11分)如图,曲线 )y f x ,点(3,2)是它的一个拐点,直线1,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4) )f x 具有三阶连续导数,计算定积分 30 2 .)()( 8)(本题满分12分)已知函数 ( )f ,1上连续,在(0,1)内可导,且(0) 0, (1) 1f f 1)存在 ),1,0( 使得 1)(f .(2)存在两个不同的点 )1,0(, ,使得 )( 9)(本题满分12分)设函数 )(y 具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线线积分 2 4( ) 22L y 的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面 0x 内的任意分段光滑简单闭曲线 , 4( ) 2 02C y .(2)求函数 )(y 的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型 21232221321 )1(22)1()1(),( 的秩为2.(1)求2)求正交变换x yQ,把 ),(321 成标准形.(3)求方程 ),( 321 0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵,),( 不全为零,矩阵 1 2 32 4 63 6 k B (且 ,求线性方程组 0xA 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量( , ) , )f 10 0 1,0 2x y x 其它求:(1)( , )(),( (2) 2 的概率密度 ).(3)(本题满分9分)设 )2(, 21 n 为来自总体 (0,1)N 的简单随机样本, .,2,1, 求:(1),2,1, .(2)1, )试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,1) 0 )x .(2)微分方程 (1 )y xy x 的通解是 .(3)设是锥面 2 2z x y (0 1z )的下侧,则 2 3( 1)z .(4)点(2,1,0)到平面3 4 5 0x y z 的距离z= .(5)设矩阵 2 11 2 A ,阵 E,则B= .(6)设随机变量均服从区间0,3上的均匀分布,则 , 1P = 择题(本题共8小题,每小题4分,有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数 ( )y f x 具有二阶导数,且 ( ) 0, ( ) 0f x f x , x为自变量y 与 )f 0x ,则(A)0 dx y (B)0 y (C) 0y (D) 0dy y (8)设 ( , )f x 140 0 ( d f r r 等于(A) 22 120 ( , )f x (B) 22 120 0 ( , )f x (C)22 120 ( , )f x (C) 22 120 0 ( , )f x (9)若级数 1 nn a 收敛,则级数(A) 1 nn a 收敛 (B) 1( 1)n nn a 收敛(C) 11 n nn 收敛 (D) 11 2n nn a a 收敛(10)设 ( , )f x , )x y 均为可微函数,且1( , ) 0y x y 0( , )x y 是 ( , )f x , ) 0x y 下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若 0 0( , ) 0xf x y ,则 0 0( , ) 0yf x y (B)若 0 0( , ) 0xf x y ,则 0 0( , ) 0yf x y (C)若0 0( , ) 0xf x y ,则 0 0( , ) 0yf x y (D)若 0 0( , ) 0xf x y ,则 0 0( , ) 0yf x y (11)设1 2, , , , 均为是m n 矩阵,下列选项正确的是(A)若1 2, , , , 线性相关,则 1 2, , , , 线性相关(B)若1 2, , , , 线性相关,则 1 2, , , , 线性无关(C)若1 2, , , , 线性无关,则 1 2, , , , 线性相关(D)若1 2, , , , 线性无关,则 1 2, , , , 2)设将 1 1 00 1 00 0 1 P ,则(A) 1C P B) 1C ) TC P D) TC 3)设,( ) 0, ( | ) 1 ,则必有(A) ( ) ( ) (B) ( ) ( ) (C) ( ) ( ) (D) ( ) ( ) (14)设随机变量1 1( , )N ,2 2( , )N ,且 1 2| | 1 | | 1,P X P Y 则(A) 1 2 (B) 1 2 (C)1 2 (D) 1 2 三、解答题(本题共9小题,明过程或演算步骤)(15)(本题满分10分)设区域D= 2 2, 1, 0xy x y x ,计算二重积分 2 211D y .(16)(本题满分12分)设数列 足 1 10 , ,2,.x x n 1)证明nx x 存在,并求之. (2)计算211 .(17)(本题满分12分)将函数 22 xf x x x 展开成18)(本题满分12分)设函数 0, ,f u 在 内具有二阶导数且 2 2z f x y 满足等式2 22 2 0z zx y .(1)验证 0f uf u u .(2)若 1 0, 1 1,f f 求函数 ( )f 19)(本题满分12分)设在上半平面 , 0D xy y 内,数 ,f 对任意的 0t 都有 2, ,f t f 有 ( , ) ( , ) 0xf 0)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组 1 2 3 41 2 3 41 2 3 4 14 3 5 13 1x x x xx x x x x 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵 2r A .(2)求,21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵量 1 21,2, 1 , 0, 1,1T T 是线性方程组 0xA 的两个解.(1)求2)求正交矩阵得 T .(22)(本题满分9分)随机变量 21, 1 021,0 2 , ,40, 令其它x xf x x y x F 为二维随机变量( , )1)求 Yf y.(2) 1,42F .(23)(本题满分9分)设总体 ,0) 10 0 11 2 其它 ,其中是未知参数(0 1) , 1 2 n, .,X X , ., nx x )试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当 0x 时,与)1 e x (B) 1(C) 1 1x (D)1 x(2)曲线 1 e )xy x ,渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3(3)如图,连续函数 ( )y f x 在区间 3, 2,2,3 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间 2,0,0,2 的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设 0( ) ( )f ) 3(3) ( 2)4F F (B) 5(3) (2)4F F(C) 3(3) (2)4F F (D) 5(3) ( 2)4F F (4)设函数 ( )f x 处连续,下列命题错误的是(A)若 0 ( )f 存在,则 (0) 0f (B)若 0 ( ) ( )f x f 存在,则 (0) 0f (C)若 0 ( )f 存在,则 (0) 0f (D)若 0 ( ) ( )f x f 存在,则 (0) 0f (5)设函数 ( )f ,+)上具有二阶导数,且 ( ) 0f x ,令 ( ) 1,2, , ,nu f n n 则下列结论正确的是(A)若1 2u u ,则收敛 (B)若1 2u u ,则发散(C)若1 2u u ,则收敛 (D)若1 2u u ,则发散(6)设曲线 : ( , ) 1L f ( ( , )f 过第2象限内的点限内的点 ,N为下列小于零的是(A) ( , ) (B) ( , )f (C) ( , )f (D) ( , ) ( , )x yf f (7)设向量组1 2 3, , 线性无关,则下列向量组线形相关的是(A) , ,1 2 2 3 3 1 (B) , ,1 2 2 3 3 1 (C) 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2 (D) 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2 (8)设矩阵 2 1 11 2 11 1 2 A , 1 0 00 1 00 0 0 B ,则)合同,且相似 (B)合同,但不相似(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 0 1p p ,) 23 (1 )p p (B) 26 (1 )p p(C) 2 23 (1 )p p (D) 2 26 (1 )p p(10)设随即变量( , )( )Xf x, ( )Yf 在Y y 的条件下, ( | )X Yf x ) ( )Xf x (B) ( )Yf y(C) ( )Xf x ( )Yf y (D) ( )( )xf 空题(1116小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)(11)3 121 1 =_.(12)设( , )f ( , )y xz f x y ,则 =_.(13)二阶常系数非齐次线性方程 2 4 3 2e xy y y 的通解为y=_.(14)设曲面 :| | | | | | 1x y z ,则 ( | |)x y =_.(15)设矩阵 0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0 A ,则 316)在区间(0,1)中随机地取两个数,答题(1724小题,明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分)求函数2 2 2 2( , ) 2f xy x y 在区域 2 2( , )| 4, 0D xy x y y 上的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)计算曲面积分 2 3 ,I 其中为曲面 221 (0 1)4yz x z 的上侧.(19)(本题满分11分)设函数 ( ), ( )f x , ( , )( ) ( ), ( ) ( )f a ga f b ,证明:存在 ( , ) ,使得( ) ( )f g .(20)(本题满分10分)设幂级数 0 在( , )内收敛,其和函数( ) 4 0, (0) 0, (0) 1.y xy y y y (1)证明: 2 2 , 1,2, na a (2)求( )1)(本题满分11分)设线性方程组 1 2 31 2 321 2 3 02 0,4 0x x xx x x 与方程 1 2 32 1,x x x a 有公共解,求22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵 3 11, 2, 2. (1, 1,1)T 是一个特征向量,记 5 34 , B A A 1)验证1是矩阵求2)求矩阵B.(23)(本题满分11分)设二维随机变量( , ) ,0 1,0 1( , ) 0,x y x yf 其他(1)求 2 (2)求Z X Y 的概率密度.(24)(本题满分11分)设总体 ,021( ; ) , 12(1 )0, xf x x 其他1 2, , X 是来自总体是样本均值(1)求参数的矩估计量.(2)判断 24的无偏估计量,)试卷一、选择题(1小题4分,共32分,