《概率论与数理统计》习题及答案__填空题

131 概率填空 1设事件 ,且 ( ) ( ) 0 P B，则 ,_. 解： ( ) ( ) 1 ( )P A B P A B P A B 1 ( ) ( ) ( )P A P B P A B 1 0 . 8 ( ) 0 . 3P A B ( ) B ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 . 1 0 . 9P A B P A B P A B 2设 ( ) 0 . 4 , ( ) 0 . 7P A P A B，那么 （ 1）若 , ()_; （ 2）若 , ()_. 解： （ 1） ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P B ( ) ( ) ( ) 0 . 7 0 . 4 0 . 3P A B P A P A B （由已知 ） （ 2） ( ) ( ) ( ) ( )P B P A B P A P A B 0 . 7 0 . 4 ( ) ( )P A P B 0 ) 10 . 6 ( ) 0 . 3 ( )2P B P B 3设 , ( ) ( ) ( ) P A B A B A B A B _. 解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B A B A B A B P A A A B A B B A B A B ( ) ( ) ( ) P A B B A B A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 B B B A B P A B A B P 4从 0,1,2, ,9 中任取 4 个数，则所取的 4 个数能排成一个四位偶数的概率为 _. 解： 设 A 取 4个数能排 成一个四位偶数，则 4541041( ) 1 ( ) 142 P 5有 5 条线段，其长度分别为 1,3,5,7,9，从这 5 条线段中任取 3 条，所取的 3 条线段能拼成三角形的概率为 _. 解： 设 A 能拼成三角形，则3533() 10 6袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄球， 30 个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为 _. 解 1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为 25. 解 2：设 A 乙取到黄球，则 1 1 1 12 0 1 9 3 0 2 0115 0 4 92()5C C C 或 2 0 1 9 3 0 2 0 2()5 0 4 9 5 0 4 9 5 . 132 0 1y 1y y x 65 7设事件 ,两独立，且 1, ( ) ( ) ( )2A B C P A P B P C ，( ) 9 / 1 6P A B C ，则 ()_. 解： 9( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16P A B C P A P B P C P A B A C P B C P A B C 23 ( ) 3 ( ) P A P A 21 6 ( ) 1 6 ( ) 3 0P A P A . 3()4 1()4由 1()2()4. 8在区间（ 0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6/5”的概率为 _. 解： 设 A 两数之和小于 6/5，两数分别为 ,几何概率如图 A 发生 01x 01y 652111 ( 1 )52()1 阴正1725 9假设一批产品中一、二、三等品各占 60%、 30%、 10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为 _. 解：到 i 等品，3 1 2 2A A A A 23 2233 1 2() ( ) 0 . 3 1( | )( ) ( ) ( ) 0 . 6 0 . 3 3P A A P A P A 10设事件 ,11( | ) ( | ) , ( )33P B A P B A P A ，则()_. 解： ( ) ( ) ( )( | )( ) ( ) ( )P A B P A B P A P A P A 1 ( ) ( ) ( )1 ( )P A P B P A 111 ( )1391 313 （因为 1 1 1( ) ( ) ( / )3 3 9P A B P A P B A ） 5()9. 133 11某盒中有 10 件产品，其中 4 件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为 _，第三次才取得正品的概率为 _. 解： 设 i 次取到正品， 1,2,3i 则3 63() 1 0 5或 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A A A P A A A P A A A P A A A 6 5 4 4 6 5 4 3 6 6 4 5 31 0 9 8 1 0 9 8 1 0 9 8 1 0 9 8 5 1 2 3 4 3 6 1( ) 0 . 11 0 9 8 1 0P A A A 12三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球， 1 个白球；第二个箱子中有 3 个黑球， 3 个白球；第三个箱子中有 3 个黑球， 5 个白球 . 现随机地取一个箱子，再 从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为 _； 已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为 _. 解： 设到第 i 箱 1,2,3i ， B 取出的是一个白球 311 1 3 5 5 3( ) ( ) ( | ) ( )3 5 6 8 1 2 0 P A P B A 22213( ) ( | ) 2 036( | )53( ) 5 3120P A P B 13设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1/9 ， A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 ()_. 解： 由 ( ) ( )P A B P A B 知 ( ) ( )P A B P B A 即 ( ) ( ) ( ) ( )P A P A B P B P A B 故 ( ) ( )P A P B ， 从 而( ) ( )P A P B ，由题意： 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 P A B P A P B P A ，所以 1()3 2()3 （由 , 与 B ， A 与 B ， A 与 B 均独立） 14设 在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p . 现进行 n 次独立试验，则 _，而事件 A 至多发生一次的概率为 _. 解： 设 至少发生一次 ( ) 1 (1 ) , p 至多发生一次 1( ) ( 1 ) ( 1 ) p n p p 15设离散型随机变量 X 的分布律为 ( ) ( 0 , 1 , 2 , 3 )2 k ，则A _, ( 3)_. 134 解： 301 1 1 1( ) ( ) 12 3 4 5 2 3 4 5 K A 6077A1 6 0 6 5( 3 ) 1 ( 3 ) 15 7 7 7 7P X P X 16设 (2 , ), (3 , )X B p Y B p，若 ( 1) 5 / 9，则 ( 1)_. 解： (2, )X B p 22( ) ( 1 ) 0 , 1 , 2k k k C p p k (3, )Y B p 33( ) (1 ) 0 , 1 , 2 , 3 .k k k C p p k 0 0 2 22 5( 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 9P X P X C p p p 2 4(1 )9p213p13p33 2 1 9( 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( )3 2 7P Y P Y p . 17设 ( )，且 ( 1 ) ( 2 )P X P X ，则 ( 1)_，2( 0 3 ) _. 解 ： 1 2 2( 1 ) 2 ( 0 )1 ! 2 ! 2P X e e 0 2( 1 ) 1 ( 0 ) 1 10!P X P X e e 22( 0 3 ) ( 1 ) 2P X P X e 18设连续型随机变量 X 的分布函数为 0 , 0 ,( ) s i n , 0 ,21 , ,2xF x A x 则 A _， |6_. 解： ()2l i m ( ) l i m ( ) ( )2x F x F 1 s i n 12 . 1( | | ) ( ) ( ) ( ) s i 6 6 6 6 2P X P X F F . 19设随机变量 X 的概率密度为 135 22 ,0()0 , 0 ,xA x e 则 A _， X 的分布函数 ()_. 解 ： 2 2 2 2 20001( ) ( ) 22x x xf x d x A x e d x A x e x e d x 2 2 20001( ) 12 2 4 4x x AA x d e e d x e 4A . 2 2 2 2 2 20 0 0( ) 4 4 1 ( 2 2 1 ) , 0()0 , 0x x xx u xf x d x x e d x u e d u x x e 20设随机变量 X 的概率密度为 2 , 0 1 ,()0 , 其他现对 X 进行三次独立重复观察，用 Y 表 示事件 ( 1/ 2)X 出现的次数，则( 2)_. 解： (3, )Y B p ，其中 1 12220011( ) 224p P X x d x x 223 1 3 9( 2 ) ( 1 ) 3 1 6 4 6 4P Y C p p 21设随机变量 X 服从 , 上均匀分布，其中 0a . （ 1）若 ( 1) 1 / 3 ，则 a _； （ 2）若 ( 1 / 2 ) 0 ，则 a _； （ 3）若 ( | | 1 ) ( | | 1 )P X P X ，则 a _. 解： 1 , , () 20,x a a 其它（ 1）11 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) 3 2 2 2 3 d x a aa a a （ 2） 121 1 1 1 1 1 5( ) 0 . 7 ( ) 0 . 72 2 2 2 4 2 4 d x a aa a a （ 3） ( | | 1 ) ( | | 1 ) 1 ( | | 1 ) 1 ( | | 1 )P X P X P X P X 111 1 1 1( | | 1 ) 2 2 2P X d x aa a a 22设 2 ( , ) ，且关于 y 的方程 2 0y y X 有 实根的概率为1/2 ，则 _. 136 解： 2 0y y X 有实根 11 4 04 11 1 1 1 14( ) ( ) ( ) ( 0 )4 2 4 2 4P X F . 23已知某种电子元件的寿命 X （以小时计）服从参数为 1/1000 的指数分布 . 某台电子仪器内装有 5 只这种元件，这 5 只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作 1000 小时以上的概率为 _. 解： Y 仪器正常工作时间，则 0()00 15( 1 0 0 0 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 )P Y P X X 15( 1 0 0 0 ) ( 1 0 0 0 )P X P X 5 ( 1 0 0 0 ) 1100010001( 1 0 0 0 ) 1000 e d x e 5( 1 0 0 0 )P Y e 24设随机变量 X 的概率密度为 1, 0 , 1 32, 3 , 6 ()90 , 若若其他若 k 使得 ( ) 2 / 3P X k ，则 k 的取值范围是 _. 解： 16312( ) ( ) 39 K f x d x d x d x 1 2 ( 6 3 ) 3 23 9 3 3 1k k 的取值范围为 1, 3 . 25设随机变量 X 服从 (0, 2) 上均匀分布，则随机变量 2在 (0, 4) 内的密度函数为 ()_. 解： 1 ( 0 , 2 )() 20 其它f(x) 1/3 6 3 1 0 137 2 ( | | ) 0( ) ( ) ( )00 y yF y P Y y P X ( ) ( ) ( ) 000y X y F y F y 11221 1 1( ) ( ) 0 422( ) ( ) 400y y f y y yf y F 当 2在（ 0， 4）内时 1()4y. 26设 X 服从参数为 1 的指数分布，则 m , 2 )的分布函数()_. 解 1： ( ) ( ) ( m i n ( , 2 ) ) 1 ( m i n ( , 2 ) )YF y P Y y P X y P X y 1 ( , 2 )P X y y 1 ( ) ( ) ( ) 0 0( ) 1 0 21 0 1 2 y P X y F y yF y e 解 2： 设 X 的分布函数为 ()2 的分布函数为 2 () 1 , 0 ,()0 , 0 ; 20 , 2 ,()1 , 2 ; 2( ) 1 1 ( ) 1 ( ) y F y F y 0 , 0 ,1 , 0 2 ,1 , 2 27设二维随机变量 ( , )由 1 / , 0 , 1y x y x 和 2所形成的区域 D 上服从均匀分布，则 ( , )于 X 的边缘密度在 2x 处的值为 _. 解： 2 2111( 0 ) l n 2e eS d x 阴 1 ( , )( , ) 20x y Df x y 其他( ) ( , )Xf x f x y d y D x 1y x y o 1(2) 4 138 12011 1,220x d y x 12011( 2 ) 24xf d y28设随机变量 ,0, 1 上的均匀分布，则( 1 / 2 )P X Y _. 解： 1 0 , 1 ()0 其它1 0 , 1 ()0 其它1 0 , 1( , ) ( ) ( )0x y f x f y 其它1 1 1 1 1( ) ( , )2 2 2 2 8 Y f x y d x d y S 阴阴29设随机变量12, , , (1 , ) , 0 1 p p，1, 2, ,，则1n _. 解： (1, ) ( , )n B n p 30设随机变量1 2 3,有相 同的概率分布 ( 1) p，( 0 ) , 1 , 2 , 3 , 1 q i p q ，记 121120,1 , , 当 取 偶 数 ,当 取 奇 数232230,1 , , 当 取 偶 数 ,当 取 奇 数则 12Z Y Y 的概率分布为 _. 解： 011ZP p q p q1 2 1 2 2 3( 1 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 )P Z P Y Y P X X X X 1 2 3 1 2 3( 1 , 0 , 1 ) ( 0 , 1 , 0 )P X X X P X X X 1 2 3 22 ()p q p q p q p q p q 独立 ( 0 ) 1 ( 1 ) 1P Z p Z q p 31设 X 服从泊松分布 . （ 1）若 2( 1) 1P X e ，则 2_；1 x y 0 1 12 139 （ 2）若 2 12 ，则 ( 1)_. 解： ( ) 0 , 1 , 2 ,! K e 0 （ 1） 2( 1 ) 1 ( 0 ) 1 1 10!P X P X e e e 2. 2 2 2 2()D X E X E X E X 22 2 4 6 （ 2） 2 2 21 2 1 2 0 ( 4 ) ( 3 ) 0 , 3 3( 1 ) 1 1P X e e 32设 ( , )X B n p ，且 2 , 1E X D X，则 ( 1)_. 解： ( , ) 2X B n p E X n p 111422D X n p q q p n 0 0 4 1 3441 1 1 1 1 1( 1 ) 1 ( 0 ) ( 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 6P X P X P X C C 33设 , X U a b ，且 2 , 1 / 3E X D X，则 a _； b _. 解： , 2 42 a b E X a b 2 21 ( ) ( ) 4 23 1 2 a b b a 13 34设随机变量 X 的概率密度为 2 21( ) ,x A e x ，则A _， _， _. 解：222( 1 )12 ( )( 1 ) 21122x e d x A e 22( 1 )12 ( )211122x e d x A 1， 12 35设 X 表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为 2X 的数学期望 2_. 解： ( 1 0 , 0 . 4 ) 1 0 0 . 4 4 4 0 . 6 2 . 4X B E X n p D X n p q 140 22( ) 2 . 4 1 6 1 8 . 4E X D X E X 36设一次试验成功的概率为 p ，现进行 100 次独立重复试验，当p _时 ，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 _. 解： 2 11 0 0 ( 1 ) 1 0 0 1 0 0 ( 1 0 0 ) ( ) 2 52D X n p q p p p p p 12p， 最大值为 5. 37设 X 服从参数为 的指数分布，且 2( 1)P X e ，则 2_. 解： 10()00 2( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 )P X P X F e 21 (1 ) 2 . 21 1 1 1,24E X D X ， 22 1 1 1() 4 4 2E X D X E X 38设随机变量 X 的概率密度为 ,( ) 0 ,0 , ,x a x bf x a b 其他且 2 2，则 a _， b _. 解： 2 2 2 2 211 ( ) ( ) 222x d x x d x b a b a 42 2 3 4 4 2 2 2 211( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 x f x d x x d x b a b a b a 2 2 2 21 ( ) 2 42 a b a b 解（ 1）（ 2）联立方程有： 1, 3. 39设随机变量 ,概率密 度为 22 , 0 1 / ,( ) 0 ,0 , , 其他若 ( 2 ) 1 /E C X Y ，则 C _. 解： 11 32 2 20 022233 x d x E Y 21( 2 ) 2 ( 2 )3E C X Y C E X E Y C 21( 2 ) 132 40一批产品的次品率为 中任取 5 件产品，则所取产品中的次 品数 141 的数学期望为 _，均方差为 _. 解： 设 X 表示所取产品的次品数，则 (5, 0 B . 5 0 . 1 0 . 5 , 0 . 4 5E X n p D X n p q ， 4 5 3 51 0 0 1 041某盒中有 2 个白球和 3 个黑球， 10 个人依次摸球，每人摸出 2 个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则 10 个人总共摸到白球数的数学期望为 _. 解： 设i 个人模到白球的个数， X 表示 10 个人总共摸到白球数，则 101 0 1 23611 0 1 0 1 0 8121 0 1 0 1 0 81 0 1 0 810 E X 42有 3 个箱子，第 i 个箱子中有 i 个白球， 4 i 个黑球 ( 1, 2,3)i X 表示取出的 3 个球中白球个数，则 _，_. 解： 0 1 2 36 2 6 2 6 66 4 6 4 6 4 6 4 1 6( 0 )4 4 4 6 4 1 2 1 3 2 1 3 2 3 2 6( 1 )4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 4 1 2 1 1 2 3 3 2 3 2 6( 2 )4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 4 1 2 3 6( 3 )4 4 4 6 4 3 2 6 1 8 36 4 22 5 2 6 9 6 2 36 4 8 22 2 3 1 8 5()8 8 8D X E X E X . 43设二维离散型随机变量 ( , )分布列为 ( , ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) ( 2 , 0 ) ( 2 , 1 )0 . 4 0 . 2a ) Y ， a _， b _. 解： 0 . 2 2 0 . 8 0 . 3E X Y b b 142 1 0 . 4 0 . 2 0 . 4 0 . 1a b a 44设 ,均服从 11,5N，若 2( 1 ) ( 1 ) D X a Y E X a Y ，则 a _， | 1 |E X a Y _. 解： 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0D X a Y E X a Y E X a Y . 10E X a E Y ， 1 1 0 2 . 令 21 , 0 , 1Z X a Y E Z D Z D X a D Y . ( 0 , 1 ) 22201 2 2 2| | | | z e d x z e d z 45设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且已知 ( 1 ) ( 2 ) 1E X X ，则 _. 解： 22 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 2 ) 3 2 1E X X E X X E X E X 2 2 2 2 ( ) , ( )X P E X D X D X E X E X E X 223 2 1 2 1 0 1 . 46设随机变量 2, 2 ，记 1 , 1 , 1 , 2 ,0 , 1 ,则 12C o v ( , )_. 解： 1 2 , 2 () 40 其它212 1 11( 1 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 1 ) 44P Y Y P X X P X d x 112 0 11( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 1 ) 44P Y Y P X X P X d x 012 2 1 1 1( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 ) 24 4 2P Y Y P X X P X d x 12( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) 0P Y Y P X X . 143 011 1 302 4 4111044111221 1 1 1012 2 2 2 3 1 1014 4 4 12 1111 44E Y Y 1 2 1 2 1 2c o v ( )Y Y E Y Y E Y E Y 1 1 1 4 8 47设 , 1 , 1 / 4 , 1 / 3 D Y ，则( 3 )D X Y_. 解： ( 3 ) ( 3 ) 2 c o v ( , 3 ) 9 6 c o v ( , )D X Y D X D Y X Y D X D Y X Y 9 9 1 1 91 6 1 6 14 4 3 2 4 X D Y . 48设 1 , 2 , 1 , 4 , 0 . 6 E Y D X D Y ，则2( 2 1 )E X Y _. 解： ( 2 1 ) 2 1 1E X Y E X E Y ， c o v ( , )0 . 6 D Y c o v ( , ) 0 . 6 1 2 1 . 2 , ) 0 ， C 常数 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 c o v ( 2 1 ) , D X Y D X D Y X Y 4 4 c o v ( , ) 4 4 4 1 . 2 3 . 2D X D Y X Y 2 2 2( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 3 . 2 1 4 . 2E X Y D X Y E X Y . 49设随机变量 X 的数学期望为 ，方差为 2 ，则由切比雪夫不等式知 ( | | 2 ) _. 解： 2221( | | 2 )44 . 50设随机变量1 2 1 0 0, , ,X X 0 , 1 0 , D X1, 2, ,100i ，令 10011100 ，则 100 21 ( ) X _. 2 144 解 1： ( ) 0 X E X E X 1 1 0 01( ) ( ) 100 X D X X X 1 1 1 1 0 01 9 9 ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0i i X X X X 221 9 9( ) 9 9 1 0 ( ) 1 01 0 0 1 0 0 2 2 299 ( ) ( ) ( )10 i i X E X X E X X 1 0 0 1 0 0221199 ( ) ( ) 1 0 0 9 9 010 X E X X 解 2： 设1 100, 的样本，则 1002211 ()99 X为样本方差，于是 2 10E S D X，即 100 21( ) 1 0 9 9 9 9 0 X 51设12, , , , 4)N 的样本， X 是样本均值，则当n _时，有 2( ) 0 . 解： 52设12, , , 1 分布： ( 1 ) , ( 0 ) 1P X p P X p 的样本，则 _， _， 2_. 解：11 , (1 )ni i E X p D X p q p 21 1 1 (1 ) n E X p D X n D X p pn n n 2 2 2 2 2111( ) E X n X n E X n E 2211 ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) 1 n p p p n p p 21 ( 1 ) ( 1 ) .1 n p p n p p 53 设 总 体12 ( ) , , , , X X X为来自 X 的 一 个 样 本 ， 则_， _. 2224 4, ( ) 0 . 10 . 14 40.( ) 0 , ( ) ( )E X D X E D X E 145 解： ( ) E X D X E X D X n 54设总体12 , , , , a b X X 的一个样本，则 _，_. 解： 2() , 2 1 2a b b a b E X D X22()12n55设总体 21 2 6 ( 0 , ) , , , ,X N X X X为来自 X 的一个样本，设221 2 3 4 5 6( ) ( )Y X X X X X X ，则当 C _ 时，2 (2) 解：1 2 3 4 5 6( ) ( ) 0E X X X E X X X 21 2 3 4 5 6( ) ( ) 3 3 X X D X X X D X 1 2 3 1 2 3211 ( ) ( ) 133D X X X D X X X 1 2 31 ( ) ( 0 , 1 )3 X X X N ， 4 5 61 ( ) ( 0 , 1 )3 X X X N 且独立 213C 56设1 2 1 6, , ,X X ( , )N 的样本， X 是样本均值， 2S 是样本方差，若 ( ) 0 . 9 5P X a S ，则 a _. 解：0 . 0 5( ) ( 1 6 1 6 ) ( ( 1 5 ) ) 0 . 9 5 a S P a P t 查 t 分布表0 . 0 54 (1 5 ) 1 . 7 5 0 . 4 3 8 3 .a t a 57设1 2 9, , ,X X 的样本，记 1 1 2 6 2 7 8 911( ) , ( )63Y X X X Y X X X ， 9222 1 271 ( )