《勾股定理》练习题及答案

- 1 - 八年级上数学专题训练一 勾股定理典型题 练习 答案解析 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 式的变形： 2、勾股定理的逆定理 如果三角形 a， b， c，且满足 么三角形 直角三角形 。这个定理叫做勾股定理的逆定理 . 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： 已 知的条件：某三角形的三条边的长度 . 满足的条件：最大边的平方 =最小边的平方 +中间边的平方 . 得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角 . 如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足 为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （ 3， 4， 5 ） (5， 12， 13 ) ( 6， 8， 10 ) ( 7， 24， 25 ) ( 8， 15， 17 )(9，12， 15 ) 常用勾股数口诀记忆 常见勾股数 3， 4， 5 ： 勾三股四弦五 5， 12， 13 ： 我要爱一生 6， 8， 10： 连续的偶数 7， 24， 25 ： 企鹅是二百五 8， 15， 17 ： 八月十五在一起 特殊勾股数 连续的勾股数只有 3， 4， 5 连续的偶数勾股数只有 6， 8， 10 - 2 - 4、 最短距离问题： 主要运用的依据是 两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（ 1）阴影部分是正方形；（ 2）阴影部分是长方形；（ 3）阴影部分是半圆 2. 如图，以 探索三个 半圆的面积之间的关系 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 它们之间的关系是（ ） A. 2= B. C. 31），那么它的斜边长是（ D） A、 2n B、 n+1 C、 1 D、 1 7、 在 a,b,下列关系中正确的是（ ） A. 2 2 2a b c B. 2 2 2a c b C. 2 2 2c b a 8、 已知 C=90 ，若 a+b=14c=10则 A ） A、 24 2 B、 36 2 C、 48 2 D、 60 2【解析】本题考查的是勾股定理，完全平方公式，直角三角形的面积公式 要求 面积，只需求出两条直角边的乘积根据勾股定理，得 a2+b2=00根据勾股定理就可以求出 而得到三角形的面积 a+b=14 （ a+b） 2=196 296-（ a2+=96 ， 则 面积是 9、 已知 x、 y 为正数，且 +（ 2=0，如果以 x、 y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ C ） A、 5 B、 25 C、 7 D、 15 【解析】 - 6 - 试题分析：本题可根据 “两个非负数相加和为 0，则这两个非负数的值均为 0”解出 x、 y 的值，然后运用勾股定理求出斜边的长斜边长的平方即为正方形的面积 依题意 得： ， ， 斜边长 ， 所以正方形的面积 故选 C 考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质 点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 1、如图 1所示，等腰 中， ， 是底边上的高，若 ，求 考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定 理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1、 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A. 4， 5， 6 B. 2， 3， 4 C. 11， 12， 13 D. 8， 15， 17 2、 若线段 a， b， 它们的比为（ ） A、 2 3 4 B、 3 4 6 C、 5 12 13 D、 4 6 7 3、 下面的三角形中： C= A B； A： B： C=1： 2： 3； a： b： c=3： 4： 5； 边长分别为 8， 15， 17 其中是直角三角形的个数有（ D ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 - 7 - 4、 若三角形的三边之比为 21: :12 2，则这个三角形一定是（ ） 5、 已知 a， b， 满足 (a2+ 0， 则它的形状 为（ C ） 6、 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 , 得到的三角形是 ( C ) A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 7、 若 a,b,c 满足 2 2 2a b c 2 0 0 1 2 a 1 6 b 2 0 c ，试判断 形状。 a+b+c+200=12a+16b+20c （ +（ +(00=0 （ +（ +(=0 则 、 、 ,得 a=6、 b=8、 c=10, a+b=c,三角形是直角三角形。 8、 ,12，另一边为奇数，且 a+b+c 是 3的倍数，则 ，此三角形为 。 考点： 勾股定理的逆定理 分析： 根据三角形的三边关系知，求得第三边 c 应满足 12 c 5+12=17，又因为这个数与 a+b 的和又是 3 的倍数，则可求得此数，再根据直角三角形的判定方法判定三角形 解答： 解： 12 c 5+12=17， c 又为奇数， 满足从 7 到 17 的奇数有 9， 11， 13， 15， 与 a+b 的和又是 3 的倍数， a+b+c=30， c=13 52+122=132， 直角三角形 点评： 本题考查了由三角形的三边关系确定第三边的能力，还考查直角三角形的判定隐含了整体 的数学思想和正确运算的能力 - 8 - 9：求 （ 1） 若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是 90 度。 考点： 勾股定理的逆定理 分析： 根据三角形的三条边长，由勾股定理的逆定理判定此三角形为直角三角形，则可求得这个三角形的最大内角度数 解答： 解：三角形三条边的长分别为 7， 24， 25， 72+242=252， 这个三角形为直角三角形，最大角为 90 这个三角形的最大内角是 90 度 点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可 （ 2） 已知三角形三边的比为 1： 3 ： 2， 则其最小角为 300 。 考点五 :应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 1、 某楼梯的侧面视图如图 3所示，其中 米， ， ，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 （ 2+2 3 ）米 分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。仔细观察图形，不难发现， 所有台阶的高度之和恰好是直角三角形 直角边 长度， 所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形 直角边 长度， 只需利用勾股定理， 求 得这两条线段的长即可。 考点六、利用列方 程求线段的长（方程思想） 、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地A B C - 9 - 面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ 设旗杆高度 h (h+1)=5+h h=12 旗杆高 12 米 2、一架长 梯子，斜立在一竖起的墙上，如图），如果梯子的顶端沿墙下滑 那么梯子底端将向左滑动 米 利用勾股定理计算原来墙高。 根号下（ = 下移 =2 米 根号下（ 2） = 。 梯足将向外移 3、 如图，一个长为 10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8米，如果梯子的顶端下滑 1米，那么，梯子底端的滑动距离 大于” 1米， 答 :解 :底端滑动 大于 1 (1 分 )，理由 : 在 ， 6810 22 (2 分 ) 又 1， AC=7，在 ， BC= 51710 22 ， (2 分 ) B51 7， 底端滑动 大于 1m.(1 分 ) 4、在一棵树 10 m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处； 另外一只爬到树顶 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？ 分析：如图所示，其中一只猴子从 共 30m，另一只猴子从 也共走了 30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形 解决。 - 10 - 解：如图，设 ，由题意知 中， ，解之得 答：这棵树高 15m。 【点拨】：本题的关键是依题意正确地画出图形，在此基础上，再运用勾股定理及方程的思想使问题得以解决。 5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位： 算两圆孔中心 的距离为 100C=1200 400 00、 如图：有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米 ，两树相距 8 米， 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 10 米 从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答 解：过点 E E，连接 在 米， 米 根据勾股定理得 0米 7、 如图 18人到一个荒岛上去探宝，在 A 处登陆后，往东走 8往北走 2到障碍后又往西走 3折向北方走到 5往东一拐，仅 1找到了宝藏，问：登陆点（ 宝藏埋藏点（ 直线距离是多少？ 解析： 试题分析：要求 要构造到直角三角形中连接 直于过 在直角三角形 =6， +2=7再运用勾股定理计算即可 过点 C 足为 C 60 120140 B 60A C 第 5 题图 7 C - 11 - 观察图形可知 C=8=6， +5=7 答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是 考点：勾股定理的应用 点评：解此类题目的关键是构造直角三角形，利用勾股定理直接求解注意所求距离实际上就是 考点七：折叠问题 1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ， ，将 点 重合，折痕为 于（ ） 讲完知识点梳理后作做问题延伸题（举一反三） ： 求折痕 A. 425B. 322C. 47D. 35解：由题意得 D； 设 CD= B=（ 8 C=90， ， 解得 x= ，即 选 C 知识点梳理 1、 翻折变换（折叠问题） 2、 等腰三角形的性质 3、 勾股定理的性质 一、 翻折变换（折叠问题） 1、 折 叠问题（翻折变换）实质上就是 轴对称变换 2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称对称轴是对应点的连线的 垂直平分线 ，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系 - 12 - 4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的 等腰三角形 5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为 x，然后根据轴对称的性质用含 择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解 二、 等腰三角形 的性质定理： 写成“等边对等角”）。 边上的中线，底边 上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。 条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 直平分线 到两条腰的距离相等。 距离之和等于一腰上的高。 有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴， 等边三角形 有三条对称轴。 2、如图所示，已知 ， C=90， 垂直平分线交 M，交 N，若 ，求 解： 连接 垂直平分线 ， B = 2 2 30，即 60 B + B = B = 30， 2 16 3、 折叠矩形 D,点 处 ,已知 C=10 解：由翻折的性质可得： F=0， A B C E F D - 13 - 在 =6， ， 设 CE=x， E=8在 6=（ 82， 解可得 x=3， 故 解析： 根据翻折的性质，先 在 F，进而得出 后设 CE=x， 而在 应用勾股定理可解出 举一反三： 1、 2、 3、 求折痕 知识点梳理 1、 翻折变换（折叠问题） 2、 矩形的性质 3、 勾股定理的性质 矩形的性质定理： 行四边形 的一切性质。 对称 图形，它有 2条 对称轴 。 4、如图，在长方形 ， ，在 上存在一点 E，沿直线 叠，使点 此点为 F，若 面积为 30，求折叠的 分析：根据三角形的面积求得 长，再根据勾股定理求得 长，即为 长；设 DE=x，则 F=x根据勾股定理列方程求得 而求得 解：由折叠的对称性，得 F， F 由 S B=30， ， 得 2 在 勾股定理，得 - 14 - 所以 3 设 DE=x，则 EF=x， ， 在 即（ 52+12= 解得 故 点评：此题主要是能够根据轴对称的性质得到相等的线段，能够熟练根据勾股定理列方程求得未知的线段 5、如图，矩形纸片 D=9 ，宽 ，将其折叠，使点 重合，那么折叠后 （举一反三：题干不变，求折痕 长？） 利用直角三角形 E，也就是 ，构造 而利用勾股定理求解 解：连接 ，连接 根据折叠，知 直平分 根据 得 B 则四边形 设 DE=x，则 在直角三角形 据勾股定理，得： 92+9 解得： x=5 在直角三角形 据勾股定理，得 ，则 在直角三角形 据勾股定理，得 = ，则 6、如图，在长方形 。 - 15 - （ 1）试说明： C；（ 2）如果 ， ，求 长 （举一反三： 试说明 F ) 试题分析：（ 1）观察图形，可得 C，又 全等三角形判定方法证 得 F，从而得到 2）在 试题解析：（ 1）证明：由矩形性质可知， B= 根据对顶角相等得， 而 E= D=90， 由 （ 2）设 FA=x，则 FC=x， ， 在 ，解得 x= . 考点 : 叠问题） ;4 勾股定理 . 7、如图 2所示，将长方形 直线 点 点处，已知 B=8则图中阴影部分面积为 _ （原题图不标准重新画一个图） 解：设 AD=x ，则 AF=x 在 解得 - 16 - 8、如图 2矩形 点 的位置上，已知 3， ，重合部分 _ （举一反三：若 ， ， 求 重叠 部分即 =10) S B， 所以需求 据 C E= DE=x，则 据勾股定理求 解： 形的性质）， 直线平行，内错角相等）； C 折的性质）， C 量代换）， E（等角对等边）； 设 DE=x，则 2+（ 72 解得 x=729 S 1729 3=1487故答案是：1487 9、 如图 5，将正方形 顶点 重合，折痕交 ，交 ，边 。如果 证： ： 4： 5 （举一反三： 如果 ： 2，则 ) =8： 15： 17 ） 析：（ 1）正方形的证明题有时用计算方法证明比几何方法简单，此题设正方形边长为 a， x，则根据折叠知道 ， A=后在 x，这样 都用 可以求出它们的比值了； - 17 - 解：（ 1）证明：设正方形边长为 a， x，则 ， A= 在 D=90， M2 ） 2=（ 2 x= ： 4： 5； 知识点梳理 正方形的性质 : 边形 、 平行四边形 、矩形、菱形的一 切性质。 边垂直，对边平行。 一条对角线平分一组对角。 对称 图形，它有 4条对称轴。 角线与边的夹角是 45。 10、如图 2方形 ， ， ， 若将该矩形折叠，使 点重合， 则折叠后痕迹 B ） A B C D 析：先连接 于矩形关于 以 C，那么就有 F，又 么 D， C，在 设 CF=x），利用勾股定理可求出 ，在 用勾股定理可求 ，在 F= ，同理可求 ，所以E+ - 18 - 解答：解：连接 点 重合，折痕为 直平分 F， O， 0 又四边形 B=90， D=3， C=4 设 CF=x，则 AF=x， 在 勾股定理得 2，且 ， 32+（ 42= x= 0， ） 2-（ ） 2=（ ） 2 同理 即 E+ 点评：本题利用了折叠的对应点关于折痕垂直平分，以及矩形性质，勾股定理等知识 11、如图 1一块塑料矩形模板 为 10为 4你手中足够大的直角三角板 直角顶点 与 A、 在 ： 能否使你的三角板两直角边分别通过点 ？若能，请你求出这时 长；若不能，请说明理由 . 再次移动三角板位置，使三角板顶点 角边 终通过点 B，另一直角边 ，与 ，能否 使 能，请你求出这时 不能，请你说明理由 . （ 1）设两直角边 与点 C， - 19 - 0， 00 又设 PA=x， A= D=90，在 D=0， D=4 6+(10+16=00 化简得 :6=0 即 ( 9，所以 3， 解之得 :， 210， 810 当 角板两直角边 别通过点 B， C. （ 2）如图（ 2），过点 G ， 0 根据题意得： E=2， D=4 E=0 在 0 4 又 A= D=90 G=4，设 ，则 6+(8+16=64 化简得 :6=0 解之得 :x1= 答：当 时， ， ，且 12、如图所示， C， D 是斜边 E、 B、 2， 求线段 - 20 - 举一反三： 如图， C， E、 B、 (1)请说明： F ； (2)请说明： (3)若 ， ，求 (直接写结果 ) 答案： 解：（ 1）连接 为 C 中点 所以， D=以， C=45 又已知 以， 0 而， 0 所以， 么，在 C） =45（已证） C（已证） 证） 所以， 以， F， F。 （ 2）因为 F， C 所以 F A=90度 - 21 - 所以 所以 。 （ 3） 5 。 13、如图，公路 Q 在点 30 ，点 160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 沿 校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 【答案】 分析： 作 H，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 0m，由于这个距离小于 100m，所以可判断拖拉机在公路 沿 向行驶时，学校受到噪音影响；然后以点 A 为圆心， 100m 为半径作 A 交 B、 C，根据垂径定理得到 H，再根据勾股定理计算出 0m，则 20m，然后根据速度公式计算出拖拉机在线段 行驶 所需要的时间 解答： 解：学校受到噪音影响理由如下： 作 H，如图， 60m， 0， 0m， 而 80m 100m， 拖拉机在公路 沿 向行驶时，学校受到噪音影响， 以点 A 为圆心， 100m 为半径作 A 交 B、 C，如图， H， 在 ， 00m， 0m， =60m， 20m， - 22 - 拖拉机的速度 =18km/h=5m/s， 拖拉机在线段 行驶所需要的时间 = =24（秒）， 学校受影响的时间为 24 秒 点评： 本题考查了直线与圆的位置关系：设 O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，直线 l 和 O 相交 d r；直线 O 相切 d=r；当直线 l 和 O 相离 d r也考查了垂径定理、勾股定理以及含 30 度的直角三角形三边的关系 考点八：应用 勾股定理解决勾股树问题 1、 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中 最大的正方形的边长为 5，则正方形 A， B， C， D 的面积的和为 25 根据题意仔细观察可得到正方形 A， B， C， 知最大的正方形的边长则不难求得其面积 解：由图可看出， A， 即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方； C， 即等于最大正方形的另一 直角边的平方， 则 A， B， C， 因为最大的正方形的边长为 5，则其面积是 25，即正方形 A， B， C， 5 故答案为 25 2、已知 的等腰直角三角形，以 第二个等腰以 第三个等腰 ，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是 - 23 - 解：根据勾股定理，第 1个等腰直角三角形的斜边长是 ， 第 2个等腰直角三角形的斜边长是 2=（ ） 2，第 3个等腰直角三角形的斜边长是 2 =（ ） 3，第 ） n 解析：依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到结论 考点九、图形问题 1、 如图 1，求该四边形的面积 2、 如图 2，已知，在 ， A = 45， 2， 3+1， 则边 长为 2 3、 某公司的大门如图所示 ,其中四边形是长方形 ,上部是以为直径的半圆 ,其中 = =2 ,现有一辆装满 - 24 - 货物的卡车 ,高为 宽为 问 这辆卡车能否通过公司的大门 ?并说明你的理由 .（注意：答案所标字母顺序与题干不一样） 考点： 勾股定理 分析： 因为上部是以 直径的半圆， O 为 点，同时也为半圆的圆心， 半径， 长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出 长度 长度等于 长度如果 长度大于 则不能通过 解答： 解：能通过，理由如下： 设点 O 为半圆的圆心，则 O 为 中点， 半圆的半径， 如图，直径 （已知）， 半径 ， 2= 在 ， 能通过 点评： 本题 考点：勾股定理的应用首先根据题意化出图形 度为半圆的半径， 货车宽的一半，根据勾股定理可求出 长度从而可求出 长度判断 度与 大小关系，如果 以通过，否则不能通过 4、 将一根长 24 的筷子置于地面直径为 5 ，高为 12 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 h ，则 。 先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可 解：当筷子与杯底垂直时 242 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 如图所示：此时， = =13 - 25 - 故 h=241 故 1h 12 5、如图，铁路上 A、 5C、 直 ， ，已知 50在要在铁路 ，使得 C、 站的距离相等，则 站多少千米处？ 由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形 x，则 5 0代入关系式即可求得 解： C、 站距离相等， E， 在 t 设 x，则 5 将 0， 5代入关系式为 52=（ 252+102， 整理得， 50x=500， 解得 x=10， 站 10 考点十：其他图形与直角三角形 1、 如图是一块地，已知 m， m， D=90， 6m， 4m， 求这块地的面积。 考点十一：与展开图有关的计算 - 26 - 1、如图，在棱长为 1的正方体 A B C D的表面上，求从顶点 的最短距离 解：如图将正方体展开， 根据“两点之间，线段最短”知， 线段 正方体的边长为 1， = 举一反三： 、 如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由 盒子的表面上爬到点 知 这只蚂蚁爬行 的最短路程是 _ 解析： 题中由 盒子的表面上爬到点 两种爬法，即从前面到上面和从前面到右面，将两种爬法所经过的面分别展开，构成两个长方形，连接 勾股定理求出距离再比较即可 解：（ 1）如图 2，经过上面， = （ 2）如图 3，经过右面， = ，所以此题答案为 如图，长方体的长 7 只小蚂蚁从长方体表面由 点去吃食物， - 27 - 则小蚂蚁走的最短路程是 _ 解析： 蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程 解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是 24 和 7， 则所走的最短线段是 =25； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是 17 和 14， 所以走的最短线段是 = ； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是 10 和 4， 所以走的最短线段是 =25； 三种情况比较而言，第二种情况最短 故答案为： 知识点梳理： 平面展开 最短路径问题 求解方法：解决此类问题时，要先确定好该路径的起点终点，以及立方体的平面 展开图 ，借助 勾股定理 来求得路径的长度。由于展开的方法可以多种， 因此对于路径的求解也是有多种方法，在这里必定有一个最小值，此值为最短路径。 2、 如图一个圆柱，底圆周长 6 4只蚂蚁沿外壁爬行，要从 点，则最少要爬行 、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、 B、 C、 D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 - 28 - 分析：设正方形的边长为 a， 计算出各种情况时正方形的面积，然后进行比较从而解得 解答： 解：方案（ 4）最省电线， 提示