《微积分》各章习题及详细答案

微积分各章习题及解答 第 1 页 第一 章 函数极限 与连续 一、填空题 1、已知 c o (s ，则 )( 。 2、 )1()34( 3、 0x 时， xx 是 x 的 阶无穷小。 4、 01 k 为 。 5、 xe xx 6、0,0,1)(x 在 0x 处连续，则 b 。 7、 )13ln( 8、 设 )(定义域是 1,0 ，则 )(ln 定义域是 _。 9、 函数 )2 反函数为 _。 10、设 a 是非零常数，则 _ _ _ _ _ _ _)( xx ax 11、已知当 0x 时， 1)1( 312 1x 是等价无穷小，则常数 _a 。 12、函数 1 3s 的定义域是 _。 13、 22l i m ( 2 2 ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _x 。 14、设 8)2( xx ax a _。 15、 )2)(1(=_。 二、选择题 1、设 )(),( , 上的偶函数， )( , 上的奇函数， 则 中所给的函数必为奇函数。 （） )()( ； （） )()( ； （ C） )()()( ； （ D） )()()( 2、 11)(， 31)( ，则当 1x 时有 。 （） 是比 高阶的无穷小 ； （） 是比 低阶的无穷小 ； （ C） 与 是同阶无穷小 ； （ D） 。 3、函数 0)1(0,11 11)( 3 0x 处连续，则 k 。 （）23； （）32； （ C） 1 ； （ D） 0 。 4、数列极限 （） 1 ； （） 1 ； （ C） ； （ D） 不存在但非 。 5、01c o 则 0x 是 )( 。 微积分各章习题及解答 第 2 页 （） 连续点； （） 可去间断点； （ C） 跳跃间断点； （ D） 振荡间断点 。 6、 以下各项中 )( )(同的是（ ） （） 2 ， ； （） )( ， 2)( ； （ C） 3 34)( ， 3 1)( （ D） 1)( 2 ta ns e c)( 。 7、 | （ ） （） 1； （） （ C） 0； （ D） 不存在 。 8、 xx 1( ） （） 1； （） （） e ； （） 1e 。 9、 )(0(在的（ ） （） 充分必要条件； （） 充分条件； （ C） 必要条件； （ D） 既不充分也不必要条件 . 10、 )1( ） （） 1； （） 2； （ C） 21； （ D） 0。 11、设 , 必有（ ） （ A）nn 对任意 n 成立 ； （ B）nn 对任意 n 成立 ； （ C）极限； （ D）极限 12、当 1x 时，函数 11211 ） （）等于 ； （）等于； （）为 ； （）不存在但不为 。 三、 计算解答 1、 计算下列极限 （ 1）12 （ 2） x ； （ 3） )1( xx （ 4） xx 1212； （ 5）1c o sc o o o ； （ 6）xx t an co ss ； （ 7） )1( 132 121 1； （ 8）3 232 41ln(。 、试确定 之值，使2111 、利用极限存在准则求极限 (1)3121111131211 。 （ 2） 设 01 且 ),2,1(1 明nn x求此极限值。 5、讨论函数 的连续性，若有间断点，指出其类型。 6、设 )( , 连续，且 )( ，证明在 ),( 至少有一点 ，使 )(f 。 微积分各章习题及解答 第 3 页 第一单元 函数极限 与连续习题 解答 一、填空题 1、 。 2s s )2( s 2 ， 222)( 2 s o c o s 。 2、 0 。 016249()34( 3、 高阶 。 0)c c t a i nt a xx 是 x 的高阶无穷小。 4、 0k 。 有界函数 ，所以要使 01 要 0 kx x，即 0k 。 5、 0 。 0 xe 2,2(a r c t a n,0 xe 6、 2b 。 )(0， 2)1( ,)0( 2b 。 7、 212163130 8、 1 根据题意 要求 1 x ， 所以 1 。 9、 21 )2)1(),21 ， 12 21 )2 反函数为 21 10、 原式 = 22)21( 。 11、23312311)1( （利用教材 1 ) 1ax ） 与 2211，以及 1322131o s 1)1( 可得 23a。 12、2141 011131x 解不等式组可得 1 2141 )(定义域为 2141 x 。 13、 0 2 2 2 22222( 2 2 ) ( 2 2 )l i m 2 2 l i x x 222 ( 2 )l i m 022 。 14、 2 23l i m ( ) l i m ( 1 )a ax a x a ,令 t= 3，所以 x=3at a 即： 32 1 1l i m ( ) l i m ( 1 ) ( 1 )x t a a t t = 3 8 微积分各章习题及解答 第 4 页 2 15、 2 )2(2)1()(1(2121)111(2 二、选择题 1、 选 （） 令 )()()()( ，由 )(),( , 上的偶函数， )( , 上的奇函数，)()()()()()()()( 。 2、 选 （） )1(11)1(1)(1(1)( 23)1(31)1(1 用教材 1 ) 1ax ） 3、 选 （ A） 233121 （利用教材 1 ) 1ax ） 4、 选 （） 1l i m l n ( 1 ) l n l i m l n ( 1 ) 1n n n 5、 选 （） 1)0( f ， 0)0( f ， 0)0( f 6、 选 （） 在（ A）中 2 的定义域为 0x ，而 的定义域为 0x ， )()( 故不正确 在（ B） )( 的值域为 ),( ， 2)( 的值域为 0x ，故错 在（ D）中 1)( 的定义域为 R， 2 的定义域为 2, ， )()( ，故错 7、 选（ ） 1s s 0 x xx x 1s s 0 x xx x x 不存在 8、 选（ ） 1)1(1010 )(1( 9、 选 （） 由 函数极限的 局部有界性定理知， )(在，则必有0(界，而 )(0(在，例如函数 11在 0x 点极限不 存在 10、 选 （） （ 22222( 1 ) ( 1 )l i m ( 1 ) l i m l i x xx x x x xx x x xx x x x 211111积分各章习题及解答 第 5 页 11、 选（ D） （ A）、（）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当 n 充分大时”的情况，不 可能得出“对任意 n 成立”的性质。 （）也明显不对，因为“无穷小无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。 12、 选（ D） 002)1(111121 1111121 )1(当 1x 时函数没有极限，也不是 。 三、 计算解答 1、 计算下列极限： （ 1） 解： 221 。 （ 2） 解：220 0 0 01 c o sc s c c o t 1 c o s 1s i n s i n 2l i m l i m l i m l i ms i n 2x x x xx xx x x x x x 。 （ 3） 解： 11( （ 4） 解： 3212133 )2111(221(212( 113 3 32211 l i m ( 1 ) l i m ( 1 ) 22xx x （ 5） 解：)1) ( c o o 1c o 1c o s2(o sc o o o 212112141c o o 。 （ 6） 解：)c i n1(t a nc i a nc i 202020 2c o i c o i x xx 434121 。 0l i m ( 1 s i n c o s ) 2x x x x （ 7） 解： )1( 132 121 1 )111()3121()211( 1)111( （ 8） 解：33123 2323 232 41)21(r c t a n)21l n( 、 解：1 )(1 1( x 微积分各章习题及解答 第 6 页 211 )1()()1( x 21)( 01 ba a 231 、 （ 1） 1111211111312111 而 1111 。 （ 2） 先证有界（ 数学归纳法 ） 1n 时 ， 12 设 时， ， 则 21数列 再证 11 且 0nn 1即 nn x设 则 有 0A （舍）或 ， 解： 先求极限 得 00010111221)( ( f )(的连续区间为 ),0()0,( 0x 为跳跃间断点 .。 、 解： 令 )()( ， 则 )( , 连续 而 0)()( 0)()( 由零点定理， ),( 使 0)( F 即 0)( f ，亦即 )(f 。 微积分各章习题及解答 第 7 页 第二 章 导数与微分 一、填空题 1、已知 2)3( f ，则h )3()3( = 。 2、 )0(f 存在，有 0)0( f ，则( 。 3、 1a r c ta n xy x，则1 。 4、 )(阶可导， ) ，则 y = ； y = 。 5、曲线 在点 处切线与连接曲线上两点 ),1(),1,0( e 的弦平行。 6、 )1 ，则 。 7、 42 ，则 ，2 。 8、若 1( ，则 )(= 。 9、 曲线 12 点 _处的切线斜率为 2。 10、 设 ，则 _ _ _)0( y 。 11、设函数 )(由方程 0) 定，则 _ 12、设 则 _22 dx 二、单项选择 1、设曲线和 2在它们交点处两切线的夹角为 ，则 （ ） 。 （） 1 ； （） 1 ； （ C） 2 ； （） 3 。 3、函数 ，且 )4(，则 k （ ） 。 （） 1； （） 1 ； （ C） 21； （） 2 。 4、已知 )(可导的偶函数，且 22 )1()1( x 曲线 )(在 )2,1( 处切线的方程是 。 （） 64 （） 24 （ C） 3 （） 1 5、设 )(导，则x )()( 。 （） 0 ； （） )(2 （ C） )(2 ； （） )()(2 。 6、函数 )(任意阶导数，且 2)()( ，则 )()( xf n = 。 （） 1)( （） 1)(! （ C） 1)()1( （） 2)()!1( 。 7、 若 2)( ，则x )()2(00=（ ） （）02x； （）0x； （ C）04x； （） 8、 设函数 )(点0(0和 )(0，则 )()(00 是导数 )(0在的（ ） （） 必要非充分条件； （） 充分非必要条件； （ C） 充分必要条件； （） 既非充分又非必要条件。 9、 设 )99()2)(1()( 则 )0(f （ ） （） 99 ； （） 99 ； （ C） !99 ； （） !99 。 微积分各章习题及解答 第 8 页 10、 若 )(导，且 )( 2 ，则有 ） （） ( 2 ； （） (2 2 ； （ C） (2 2 ； （） (2 2 。 11、设函数 )(续，且 0)0( f ，则存在 0 ， 使得（ ） （ A） )( ),0( 内单调增加； （ B） )( )0,( 内单调减少； （ C）对任意的 ),0( x 有 )0()( ；（ D）对任意的 )0,( x 有 )0()( 。 12、设001s 2 0x 处可导，则（ ） （ A） 0,1 ； （ B） 0 为任意常数； （ C） 0,0 ； （ C） 1 为任意常数。 三、计算解答 1、 计算下列各题 （ 1） ，求 （ 2）3求122 （ 3） 22 （ 4） ，求 )50(y ； （ 5） 1( ，求 y ； （ 6） )2 0 0 5()2)(1()( ，求 )0(f ； （ 7） )()()( ， )(x 在 处有连续的一阶导数，求 )()( 、 ； （ 8） 设 )( 1x 处有连续的一阶导数，且 2)1( f ，求 )1(c o 2、试确定常数 之值，使函数0102)s ( 3、证明曲线 22 与 （ 为常数）在交点处切线相互垂直。 4、一气球从距离观察员 500米处离地匀速铅直上升，其速率为 140米 /分，当此气球上升到 500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。 5、若函数 )(任意实数 21, )()()( 2121 ，且 1)0( f ，证明 )()( 。 6、 求曲线 53 23 过点 )3,1( 处的 切线方程和法线方程 。 微积分各章习题及解答 第 9 页 第二 章 导数与微分 习题 解答 一、填空题 1、 1 1)3(21)21()3()3(3()3(0 fh )0(f )0(0 )0()(0 fx xf 3、 1 xy x xy x 14、 c os) ， s in)s c o s)s 2 c o s)s ， s in)s c o s)s 2 5、 )1),1( 弦的斜率 101 1 )1 ， 当 )1 ， 1 6、)1(1)1a rc t a n ( 2xx )1()1(1 1)1a r c t a n ( 1)1 a r c t a n ()1a r c t a n ( 1 2 )1(1)1a r c t a n ( 2xx 7、 43 2 42 2 43344 2s o ss 422 2s 8、 tt 2 2 1( tt 2 2)( 9、 )2,1( ， 由 220 x 10x， 21120 点 )2,1( 处的切线斜率为 2 10、 2 xx ， 2)0( 00 11、) 方程两边对 x 求导得 0)(s )1( 解得 )s )s 。 12、34t 由参数式求导公式得t ， 再对 x 求导，由复合函数求导法得 32224c i i nc )()( 。 二、选择题 1、 选（） 由21 交点为 )1,1( ， 1|)1( 11 2|)( 122 3|1|)t |t kk 微积分各章习题及解答 第 10 页 3、 选（） 1ta n s e n)( 由 )4(得 2 21 选（ A） 由x )1()1(1()1(0 2)21()1()21()1()1( fx 4)1( f 切线方程为： )1(42 64 5、 选（ ） )()(2)()()(220 6、 选（） )(2)()(2)()( 32 )(32)()(32)(2)( 423 设 )(!)( 1)( ， 则 )()()!1()()1( )()!1( 2 n )(!)( 1)( 7、 选（） )(22 )()2(2)2(000000 又 )()( 2 ，00 4)(2 8、 选（） )(在0(0(0和右导数 )(0都存在且相等。 9、 选（） )99()3)(1()99()2()99()2)(1()( )98()2)(1( !99!99)1()990()20)(10()0( 99 f 另解：由定义， )99()2)(1(0()( 00 !99!99)1( 99 10、 选（） )(2)()()( 2222 (2 2 11、由导数定义知 0)0()( 0 x x ， 再由极限的保号性知 ,0 当 ),( x 时 0)0()( x 从而 当 ),0()(0,( ， )0(0)0()( 因此 C 成立，应选 C。 12、由函数 )( 0x 处可导，知函数在 0x 处连续 )(1s i 0200 ，所以 0b 。 又 0)0()(,01s i 0()( 0200， 所以 0a 。应选 C。 三 、计算解答 1、计算下列各题 （ 1） 1(1co i ( s i n 21s i i n 22 微积分各章习题及解答 第 11 页 （ 2） 32313 ， 3222919 ， 9| 122 （ 3） 两边对 x 求导： 21 11 12 )11(2)1(22 23233 （ 4） s o ss )22s c o s )222s 2)22c o s (2 设 )22s 1)( 2)1(2s i n(2)22c 2)1( s 502s 4949)50( （ 5） 两边取对数： )1 两边求导： 11)11)1 ( x （ 6） 利用定义： !2005)2005()3)(2)(1()( 00 （ 7） )()()()( )()( 又ax )()()()()( )()()( )(2)()( 注：因 )(x 在 处是否二阶可导不知，故只能用定义求。 （ 8） 12 1)1s i n()1( c o s( c o 1 ( c )21()1( f 2、易知当 0x 时， )(可导，要使 )( 0x 处可导 则 )0()0( 且 )( 0x 处连续。即 )0()( 而 020)( bx 22)s i n1(0()( 00 000 ( 由1102 微积分各章习题及解答 第 12 页 3、证明：设交点坐标为 ),(00 202000对 22 两边求导： 022 曲 线 22 在 ),( 00 切线斜率0010| 又由2 曲线 在 ),( 00 切线斜率202 0| 又 1)(00200021 yx 两切线相互垂直。 4、设 t 分钟后气球上升了 x 米，则 500x两边对 t 求导：2575001405001s e c 2 2c 当 500x 4 当 500x 50721257 （弧度 /分） 5、证明：h 0()()()( 00 h 0()()()()()(0 )()0()( 6、 解：由于 3 2 ，于是所求切线斜率为 3|63 121 从而所求切线方程为 )1(33 ， 即 063 又 法线斜率为 31112 线 方程为 )1(313 即 083 微积分各章习题及解答 第 13 页 第三 章 中值定理与导数应用 一、填空题 1、 2、函数 在区间 _单调增。 3、函数 43 384 的极大值是 _。 4、曲线 6 24 在区间 _是凸的。 5、函数 在 0x 处的 12 m 阶泰勒多项式是 _。 6、曲线 的拐点坐标是 _。 7、若 含0 （其中 ） 内 恒有二阶负的导数，且 _,则 0 上的最大值。 8、 123 , 内有 _个零点。 9、 _)1s c o 10、 _)t a 0 11、曲线 2 的上凸区间是 _。 12、函数 1 x 的单调增区间是 _。 二、单项选择 1、 函数 )(连续二阶导数且 ,2)0(,1)0(,0)0( 20)(x ） （） 不存在 ； （） 0 ； （） ； （） 2、设 ),(),12)(1()( 在 )1,21(内曲线 )( ） （） 单调增凹的 ； （） 单调减凹的 ； （） 单调增凸的 ； （） 单调减凸的 。 3、 )( ),( 连续， 0)()(),(000 )(0 （ ） （） 取得极大值 ； （） 取得极小值 ； （） 一定有拐点 )(,(00 （） 可能取得极值，也可能有拐点 。 4、设 )( 上连续，在 ),( 可导，则 ：在 ),( 0)( ：在 ),( 上 )()( 之间关系是 （ ） （） 是 的充分但非必要条件 ； （） 是 的必要但非充分条件 ； （） 是 的充分必要条件 ； （） 不是 的充分条件，也不是必要条件 。 5、设 )( )( 连续可导， 0)()( 且 )()()()( ，则当 时，则有 （ ） （） )()()()( ； （） )()()()( ； （）)( )()( )( ag ； （）)( )()( )( af 。 6、方程 0133 区间 ),( 内 （ ） （） 无实根 ； （） 有唯一实根 ； （） 有两个实根 ； （） 有三个实根 。 7、已知 )( 0x 的某个邻域内连续，且 0)0( f ， 2( 则在点 0x 处 )( ） （）不可导； （）可导，且 0)0( f ； （ C）取得极大值； （）取得极小值。 、设 )(二阶连续导数，且 0)0( f ， 1| )( x （ ） 微积分各章习题及解答 第 14 页 （） )0(f 是 )(极大值； （） )0(f 是 )(极小值； （ ） )0(,0( f 是曲线 )(的拐点； （） )0(f 不是 )(极值点。 9、设 为方程 0)( 二根， )( , 连续，在 ),( 可导，则 )( ),( （ ） （ A）只有一实根； （ B）至少有一实根； （ C）没有实根； （ D） 至少有 2个实根。 10、在区间 1,1 上满足罗尔定理条件的函数是（ ） （ A）21)( ； （ B） |)( ； （ C） 21)( ； （ D） 12)( 2 11、函数 )(区间 ),( 可导，则在 ),( 0)( 函数 )( ),( 单调增加的（ ） （ A）必要但非充分条件； （ B）充分但非必要条件； （ C）充分必要条件； （ C）无关条件。 12、设 )(是满足微分方程 0 解，且 0)(0 )(（ ） （ A）0 （ B）0 （）0 （）0 三、计算解答 1、 计算下列极限 (1)1c o ； (2) x xx ； (3) )1ln(； (4) )1110 (5)30x ； (6)。 2、证明以下不等式 (1)、设 ，证明 ab 。 (2)、当20 不等式 。 3、已知 ，利用泰勒公式求 )0()6(y 。 4、试确定常数 a 与 n 的一组数，使得当 0x 时， 33 )1 为等价无穷小。 5、设 )( 上可导，试证存在 )( ，使 )()(3)()(1 233 。 6、作