《信息论、编码与密码学》课后习题答案

信息论、编码与密码学课后习题答案 第 1 章 信源编码 虑一个信源概率为 信源熵H（ X）。 解： 信源熵 512 )(lo g)()=- =故得其信源熵 H(X)为 明一个离散信源在它的输出符号等概率的情况下其熵达到最大值。 解： 若二元离散信源的统计特性为 P+Q=1 H(X)=-P*)+(1 对 H(X)求导求极值，由 )/d(P)=0 可得 211101lo g=Q=1/2 时，有信源熵 )(1)(m a x 对 于 三 元 离 散 信 源 ， 当 概 率 3/1321 源熵)( m a x b ， 此 结论可以推广到 明不等式 。画出曲线1 2 1的平面图以表明上述不等式的正确性。 证明： m a x( ) l n 1 ( 0 )1()( ) 0 1 0 0 1 ( ) 0( ) 0l n 11 l n 1l n 1f x x x x x x x f xf x x 令 ， 又 有 时此 时也 即当 时 同 理 可 得 此 时综 上 可 得 证 毕绘制图 形说明如下 可以很明确说明上述 不等式的正确性。 明 ( ; ) 0I X Y 。 在 什 么 条 件 下 等 号 成 立 ？ 1111( , ) ( , )( , )( , ) l o g( ) ( )j i x y I x yP x yP x yP x P y（ X ； Y ） =当 和 相 互 独 立 时 等 号 成 立 。一个信源 X，它有无穷多个可能的输出，它们出现的概率为 P（ 2i=1,2,3, .,这个信源的平均自信息 H（ X）是什么？ 解：因为 P（ =2i=1,2,3, 所以 H（ X） = ) lo g ( )n x p x1 x y Y= =+ .+=2-（ 12n+1 虑另一个几何分布的随机变量 X，满足 P（ =P（ 1i=1,2,3, .,这个信源的 平均自信息 H（ X）是什么？ 解：因为 P（ = P（ 1i=1,2,3, 所以 H（ X） = ) lo g ( )n x p x=p(12p(1+3p(1+ .+-p)n =(11-p)n+1- 2( 1)虑一个只取整数值的随机变量 X ，满足 lo ，其中 2 2 ,.,3,2n 。求熵 解：为了方便计算，设 ，则 21n ； 根据公式计算自信息量为： lo g ； 则熵为： 222222 11l o gl o gl o ？ 算概率分布函数为 否则0 01 的均匀分布随机变量 X 的微分熵 画出 对于参数 平面图，并对结 果进行评论。 解：根据公式（ 1知，微分熵为： 0 时， 1 则 aa l o gl o gl o o g 0011 当 0x 或 时， 0，则 根据得到的结果可以画出相应的平面图，由图可以看到随着 a 的增加，即 减小，微分熵 应的增加。 （ 1） 给出此信源的霍夫曼码。 （ 2） 计算出这些码子的平均码长 R 。 （ 3） 这个码的效率 是多少？ 解： 1）依题意，由霍夫曼编码的规则，得： 1 0 0 1x 2x 3x 4x 5x 表格如下： 符号 概率 自信息 码字 1x 2x 1 3x 00 4x 010 5x 011 2） 由平均码长公式 )()(1 ,代入数据，得： )()()(51b i 3）首先，该信源的熵为： 1 0 0 0 0 1 1 )( 1 2 1 2 1 2 1 6 0 4 0 o o o o o (l o g)(22222251 该码的效率为： 9 2 2 ( R (1)给出此信源的一种有效定长码。 (2)给出此信源的霍夫曼码。 (3)比较这两 种码并给出评论。 解： 1）空 2） 依题意，由霍夫曼编码的规则，得 : 0 . 5 50 . 3 5 1 . 0 0 0 . 2 50 . 4 5 0 . 2 0 0 . 1 0 8概率 自信息 码字 1x 1 2x 00 3x 01 4x 00 5x 01 6x 10 7x 110 8x 111 3） 空 个 们的概率为 (1)给出此信源的霍夫曼码并确定编码效率。 (2)每次考虑两个符号时，给出此信源的霍夫曼码并确定编码效率。 (3)每次考虑三个符号时，给出此信源的霍夫曼码并确定编码效率。 解： (1)本题的霍夫曼编码如下图所示： 图 夫曼编码 则霍夫曼码如下表： 符号 概率 码字 0 1 该信源的熵为： 3212 2 2( ) l o g( 0 . 5 l o g 0 . 5 0 . 4 l o g 0 . 4 0 . 1 l o g 0 . 1 )0 . 5 0 0 0 0 . 5 2 8 8 0 . 3 3 2 21 . 3 6 1 0 ( ) p pb i t 平均每个符号的比特数为： 31( ) ( )1 ( 0 . 5 ) 2 ( 0 . 4 ) 2 ( 0 . 1 )0 . 5 0 . 8 0 . 21 . 5 0 0 0 ( / )n x p xb i t 符 号该码的效率为： 1 . 3 1 6 0 / 1 . 5 0 0 0 0 . 9 0 7 3 （ 2）把符号每两个分一组，重新应用霍夫曼编码算法，如下表所示： 1 0 号对 概率 码字 0 10 11 010 00 10 011 110 111 该信源的熵为： 9212 ( ) l o g 2 . 7 2 1 9 ( )( ) 1 . 3 6 1 0 ( ) p p b i b i t 每个组的平均比特数为 : 91( ) ( )2 ( 0 . 2 5 ) 3 ( 0 . 2 ) 3 ( 0 . 2 ) 4 ( 0 . 1 6 ) 3 ( 0 . 0 5 ) 3 ( 0 . 0 5 ) 4 ( 0 . 0 4 ) 4 ( 0 . 0 4 ) 4 ( 0 . 0 1 )3 . 0 0 ( / )B k n x P xb i t 符 号 对3 . 0 0 / 2 1 . 5 0 0 0 ( / )R b i t 符 号 故该码的效率为： 1 . 3 1 6 0 / 1 . 5 0 0 0 0 . 9 0 7 3 (3)依题意，把符合每三个分成一组，再重新应用霍夫曼编码算法，得 : 0 . 2 0 0 0 0 . 2 4 0 0 0 . 1 6 0 0 0 . 1 8 5 0 0 . 5 8 0 0 0 . 0 5 0 0 0 . 3 4 0 0 1 . 0 0 0 0 0 . 0 4 5 0 0 . 1 4 0 0 0 . 0 8 5 0 0 . 4 2 0 0 0 . 0 4 0 0 0 . 2 3 5 0 0 . 0 4 0 0 0 . 0 7 6 0 0 . 1 1 0 0 0 . 0 3 6 0 0 . 0 3 2 0 0 . 1 2 5 0 111 1 0 0 0 211 1 0 0 0 112 1 0 0 0 121 0 8 0 0 221 0 8 0 0 212 0 8 0 0 122 0 6 4 0 222 0 2 5 0 311 0 2 5 0 131 0 2 5 0 113 0 2 0 0 321 0 2 0 0 231 0 2 0 0 312 0 2 0 0 132 0 2 0 0 213 0 2 0 0 123 0 1 6 0 322 0 1 6 0 232 0 1 6 0 223101010101010101编码表格如下： 符号对 概率 自信息 码字 111 00 211 000 121 001 112 10 221 11 符号对 概率 自信息 码字 212 100 122 101 222 011 311 0110 131 0111 113 1100 321 1101 231 1110 312 1111 132 01000 213 01001 123 01010 322 01011 232 01000 223 01001 331 010101 313 0101000 133 0101001 332 0101100 323 0101101 233 0101110 符号对 概率 自信息 码字 333 0101111 定 下 列 比 特 流 的 ：01001111100101000001010101100110000 从码字流恢复原来的序列。 解：根据 法列出下表： 字典位置 字典内容 定长码字 0001 0 00000 0010 1 00001 0011 00 00010 0100 11 00101 0101 111 01001 0110 001 00111 0111 01 00011 1000 000 00110 1001 0010 01100 1010 10 00100 1011 101 10101 1101 100 10100 1110 110 01000 1111 000 10000 第 2 章 信道容量和编码 虑图 2示的二元信道，设发送二元符号的先验概率为 1， 其中，求后验概率 ( 0 | 1)P X Y和 ( 1 | 1)P X Y。 解： 0 1 0Y,0 0 0 0 0 0 1 1Y,1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1-q p q 1 1）一个电话信道具有带 宽 3000 （ 2）若 加到 25信道容量。 解： (1) 000 信道容量 =(1+) (b/s) =3000*1+100/3000) =142 (b/s) (2) 516 信道容量 =(1+) (b/s) =3000*1+316/3000) =413 (b/s) 定一个电视每秒钟显示 30 个画面，每个画面大约有 52 10 个像素，每个像素需要 16 比特的彩色显示。假定 25 计算支持电视信号传输所需要的带宽（利用信息容量定理） 解：根据题意，该电视信号所需的信息容量为：573 0 2 1 0 1 6 / 9 . 6 1 0 /C b i t s b i t s 根据信息容量定理：2 0l o g (1 )W，其中0信噪比，据题意025P 据上式解得带宽 71 1 0C H z 虑图 2型信道。 （ 1）求获得信道容量所需要的输入概率。 （ 2）若将 N 个这样的信道相级联，证明联合信道可以用一个信道转移概率为 等价 （ 3）当 N 时 联合信道的容量是什么？ 图 2： (1) 信道容量 )1(lo (b/s) )1( (2) 由图可知信道转移概率为 P )0|1()1|0( 那么 P 级级联)1|0( (3)当 N 时 )1|0(P 级联信道的信道容量为每一次使用该信道时的最大平均互信息。其中最大值是在所有可能的输入概率上求得的即： );(m a x )( )()|(l o g)|()(ma x 1010)( 1)证明对有限方差 2 ，高斯随机变量具有所有随机变量可能获得的最大微分熵。 (2)证明该熵由公式 221 / 2 lo g ( 2 )e给出。 证明： (1)由题意可知，高斯随机变量获得的微分熵为： 221( ) l o g ( 2 )2H X e 则有： 2 2 ( )12 即其平均功率为： 2 2 ( )12 对于有限方差 2 的高斯随机变量，即当平均功率受限时，有： 22( ) 1 , ( ) ( ) .p x d x x m p x d x 即有： 2( ) l o g 2H X e综上可得，对于平均功率受限的连续随机变量，当服从高斯分布时具有最大微分熵。 (2)随机变量的微分熵为： 2( ) ( ) l o g ( )H X p x p x d x (1) 对于高斯分布，我们有： 2211( ) e x p ( ) 22p x x m (2) 其中， 将 (2)式代入 (1)可得： 2211( ) ( ) l n ( ) 22H X p x x m d x (3) 由 (3)式可以推出： 221( ) l o g ( 2 )2H X e (4) 故 (4) 式即为本题所证。 1()00( | )m a x ( ) ( | ) l o g ,()jq i ip y xp x p y 写 一 个 程 序 ， 它 在 输 入 信 道 转 移 矩 阵 后 计 算 出 信 道 容 量 ？解 ： 依 据 设 定 情 况 在 一 般 的 二 元 通 信 信 道输 入 前 只 有 两 种 状 态 ， 0 和 1 ， 假 设 传 输 发 生 错 误 概 率 为 p, 正 确概 率 为 1这 只 是 假 定 的 一 种 情 况 ， 其 实 在 程 序 中 可 看 作 这 几个 参 量 为 个 数 组 。 及 。 再 根 据 计 算 信 道 容 量 公 式输 出 对 应 的 信 道 容 量 值 。第 3 章 纠错控制编码 明 1 1 1 1,0 0 1 1,1 1 0 0,0 0 0 0C 是一个线性码。它的最小距离是什么？ 证明：由书中的定义 性码应该满足一下条件： （ 1） 两个属于该码的码字的和仍然是一个属于该码的码字， （ 2） 全零字总是一个码字， （ 3） 两个码字之间的最小距离等于任何非零码字的最小重量，即 设 4321 , ，即 00001 c ， 11002 c ， 00113 c， 11114 c ， 首先证明条件（ 1）： 221 1100 ， 331 0011 ， 441 1111 ， 432 1111 ，342 0011 ，243 1100 ， 很明显，条件（ 1）是满足的。条件（ 2）也是显然成立的。 最后证明条件（ 3）： 不难看出最小距离 2d ，并且最小重量 2w ，即 综上，三个条件都满足，那么 C 就是一个线性码，它的最小距离是 2。 虑 2）上的下列生成矩阵 010101100100101G 3） 用此矩阵生成所有可能的码字。 4） 求奇偶校验矩阵 H。 5） 求与其等价的一个系统码的生成矩阵。 6） 构造该码的标准阵列。 7） 这个码的最小距离是 多少。 8） 这个码能检测多少错误。 9） 写出这个码能检测的所有错误模式。 10） 这个码能纠多少个错误。 11） 如果我们用此编码方案，那么符号错误概率是多少？将它与末尾的错误概率进行比较。 12） 这是一个线性码？ 解：（ 1） 000c 1 010101100100101 = 00000 100c 2 010101100100101 = 01010 010010101100100101 = 11001 110c 4 010101100100101 = 10011 001010101100100101 = 00101 101010101100100101 = 01111 011010101100100101 = 11100 111010101100100101 = 10110 此矩阵生成的码为： 00000， 01010， 10011， 11001， 10100， 11110， 00111，01101 （ 2）010101100100101G1 110111P 101 111P T 又在二元情况下， 11 101 111P 10101 01111(4该码的标准阵列 1（ 5） 奇偶校验矩阵 、 3列的和为零向量， 因此，这个码的最小距离为： d*=2。 （ 6） 一个码至少可以检测所有重量小于或等于（ d*非零错误模式。 这个码的最小距离为： d*=2 ，所以重量为 1的错误模式可以检测得到。 （ 7） 这个码能检测的所有错误模式 00001， 00010， 00100， 01000， 10000 （ 8） 能纠正不多于 2 又 d*=2 所以 12 即21t这个码能纠 0个错误 （ 9） 才 10） 00000， 01010， 10011， 11001， 10100， 11110， 00111， 01101 线性码的性质： 1、 两个属于该码的码字的和仍是属于该码的码字 00000+01010=01010 00000+11001=11001 00000+10011=10011 00000+10100=10100 00000+11110=11110 00000+00111=00111 00000+01101=01101 01010+10011=11001 01010+11001=10011 01010+10100=11110 01010+11110=10100 01010+00111=01101 01010+01101=00111 10011+11001=01010 10011+10100=00111 10011+11110=01101 10011+00111=10100 10011+01101=11110 11001+10100=01101 11001+11110=00111 11001+00111=11110 11001+01101=10100 10100+11110=01010 10100+00111=10011 10100+01101=11001 11110+00111=11001 11110+01101=10011 00111+01101=01010 满足第一条性质 2、 全零码字总是一个码字 00000， 01010， 10011， 11001， 10100， 11110， 00111， 01101 满足第二条性质 3、 一个线性码的两个码字之间的最小距离等于任何非零码字的最小重量， 即 d*=w* D(00000， 01010)=2 D(00000， 10011)=3 D(00000， 11001)=3 D(00000， 10100)=2 D(00000， 11110)=4 D(00000， 00111)=3 D(00000， 01101)=3 D(01010， 10011)=3 D(01010， 11001)=2 D(01010， 10100)=4 D(01010， 11110)=2 D(01010， 00111)=3 D(01010， 01101)=3 00000， 01010， 10011， 11001， 10100， 11110， 00111， 01101 D(10011， 11001)=2 D(10011， 10100)=3 D(10011， 11110)=3 D(10011， 00111)=2 D(10011， 01101)=4 D(11001， 10100)=3 D(11001， 11110)=3 D(11001， 00111)=4 D(11001， 01101)=2 D(10100， 11110)=2 D(10100， 00111)=3 D(10100， 01101)=3 D(11110， 00111)=3 D(11110， 01101)=3 D(00111， 01101)=2 这个码的最小距离为 2等于该码的最小重量 满足第三条性质 所以，这个码是线性码。 造 C=00000， 10101， 01010， 11111的生成矩阵。因为这个 G 不是 唯一的，给出另一个能生成这个码字集合的生成矩阵。 解：设生成矩阵是 G= 1 1 11nm 题知， m=2,n=5, c=i G i=(0,0) (0,1),(1,0),(1,1) 生成矩阵 G= 0101010101下列每一个集合 S，列出扩张码 : （ 1） S=0101， 1010， 1100 （ 2） S=1000， 0100， 0010， 0001 （ 3） S=11000， 01111， 11110， 01010 解 : (1) 0101+1010=1111 ， 0101+1100=1001 1010+1100=0110 ， 0101+1010+1100=0011 再补上 0000及原先 3个公共组成 第二，三问步骤省略 为 1111， 1001， 0110， 0011， 0000， 0101， 1010， 1100 (2) 为 1100， 1010， 1001， 0110， 0101， 0011， 1110， 1011， 0111， 1101， 1111，0000， 1000， 0100， 0010， 0001 (3) 为 10111， 00110， 10010， 10001， 00101， 10100， 01001， 11000， 01111，11110， 01010， 00000， 11011， 01100， 11101 虑（ 23， 12， 7）二元码。证明若它被用在一个比特错误概率为 p=，字错误概率将约为 ： 由题可得其转移概率 p= (元码中其可以纠出 2t+1=7 t=3位错误 即在码元中出现 4个错才会使得其出现误码率，出现 3个以上错误的概率为 (203323212223221123230023234232323423 以得证。 设 C 是一个二元码，它的奇偶校验矩阵为 H 。证明由 C 通过添加整体奇偶校验比特得到的扩 展码11|0|0|01 1 1 | 1. 证明：根据题意，扩展码1 1|0|0|01 1 1 | 0,又 C 得奇偶校验矩阵为 H ， 0。 1|1|1|10 0 0 | 1H， 11| 0 | 1 0| 0 | 1 0| 0| 0 | 1 00 0 0 01 1 1 | 0 0 0 0 | 1H 即扩展码1 证毕。 是长度为 n,最小距离为 7的二元完备码。证明 n=7或 n=23。 证明：由完备码的 定义可知，一个完备码必须满足下列条件： 02 tn k (1) 由题意可知： * 21，其中 * 7d 即有： 3t 当 n=7时，由（ 1）式可得， 371702 右式展开得： 30 1 2 37 7 7 7 701 7 2 1 3 564 C C C 左 式同理，可证得 n=23时，同样满足（ 1）式。 故可证明当 n=7或 n=23 时， r。 解：根据二元汉明码的性质可知： mm(n,k)=(2 其中 则由码率的定义可知： 1 - 1则有： l i m l i m 1 m 1 - 1 第 4 章 循环码 面的哪个码 是（ a）循环码，（ b）与一个循环码等价？ （ 1） 2的 1001,0011,1100,0110,0000 。 （ 2） 2的 11011,01101,10110,00000 。 （ 3） 3的 11011,01101,10110,00000 。 （ 4） 3的 2211,1122,0000 。 （ 5）长度为 n 的 q 解：由书中定义 知，循环码需要满足两个条件， （ 1） 首先它必须是一个线性码， （ 2） 其次它的一个码字的任意循环移位的结果还是一个码字，即若110 ,., 201 ,., nn 下面一一证明： （ 1）首先证明 1C 是一个线性码：设 543211 , ，则 00001 c ， 01102 c ， 11003 c ， 00114 c ， 10015 c ， 221 0110 ， 331 1100 ， 441 0011 ， 551 1001 ，?101032 ， ?010142 ?111152 ?111143 ?010153 ?101054 显然 1C 不满足线性码的第一个条件，则它不是一个线性码，就不可能是一个循环码。 （ 2）首先证明 2C 是一个线性码：设 43212 , ，则 000001 c ， 101102 c ， 011013 c ， 110114 c ， 221 10110 ， 331 01101 ， 441 11011 ， 432 11011 ，342 01101 ，243 10110 2C 满足线性码的第一个条件，显然第二个条件也满足。 2C 中的最小距离 3d ，最小重量 3w ，即 3 2C 也满足第三个条件，可知 2C 是一个线性码。 下面证明 2C 是循环的， 101102 c ，经过循环移位之后得到的码字是 010112 c ，这 个码字不是 2C 中的码字，即 2C 不满足循环码的第二个条件。 综上可知， 2C 不是一个循环码，但是它与一个循环码等价。 （ 3）首先证明3 43213 , ，则 000001 c ， 101102 c ， 011013 c ， 110114 c ， 221 10110 ， 331 01101 ， 441 11011 ， ?1121132 c ，?2112142 ?1211243 显然3它不是一个线性码，就不可能是一个循环码。 （ 4）首先证明 4C 是一个线性码：设 3214 , ，则 00001 c ， 11222 c ， 22113 c ， 221 1122 ， 331 2211 ， 132 0000 4C 满足线性码的第一个条件，显然第二个条件也满足。 4C 中的最小距 离 4d ，最小重量 4w ，即 4 4C 也满足第三个条件，可知 4C 是一个线性码。 下面证明 4C 是循环的， 11222 c ，经过循环移位之后得到的码字是 21122 c ，这个码字不是 4C 中的码字，即 4C 不满足循环码的第二个条件。 综上可知， 4C 不是一个循环码，但是它与一个循环码等价。 （ 5）长度为 n 的 q 假设 3n ， 2q ，则 111111111 ，可知其不为线性码，也定不为循环码。 下列定义的多项式环构造加法和乘法表 2211F （ x ）(1) 定 义 在 （ 2 ） 上 的F （ x ）(2) 定 义 在 （ 3 ） 上 的解 ： (1) 首 先 判 断 得 环 的 多 项 式 的 最 高 次 数 =1 ， 环 中 有 四 个 元 素 ，分 别 为 0,1,x,x+1. 所 得 加 法 表 如 下 ： + 0 1 x X+1 0 0 1 x X+1 1 1 0 1+x x x x X+1 0 1 X+1 X+1 x 1 0 乘法表如下： . 0 1 x X+1 0 0 0 0 0 1 0 1 x X+1 x 0 x 1 X+1 X+1 0 X+1 X+1 0 (2)加法表如下： + 0 1 2 x X+1 X+2 2x 2x+1 2x+2 0 0 1 2 x X+1 X+2 2x 2x+1 2x+2 1 1 2 0 1+x 2+x x 2x+1 2x+2 2x 2 2 0 1 X+2 x X+1 2x+2 2x 2x+1 x x X+1 X+2 2x 2x+1 2x+2 0 1 2 X+1 X+1 X+2 x 2x+1 2x+2 2x 1 2 0 X+2 X+2 x X+1 2x+2 2x 2x+1 2 0 1 2x 2x 2x+1 2x+2 0 1 2 x X+1 X+2 2x+1 2x+1 2x+2 2x 1 2 0 X+1 X+2 x 2x+2 2x+2 2x 2x+1 2 0 1 X+2 x X+1 乘法表如下： . 0 1 2 x X+1 X+2 2x 2x+1 2x+2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 x X+1 X+2 2x 2x+1 2x+2 2 0 2 1 2x 2x+2 2x+1 x X+2 x+1 x 0 x 2x 2 X+2 2x+2 1 X+1 2x+1 X+1 0 X+1 2x+2 X+2 2x 1 2x+1 2 x X+2 0 X+2 2x+1 2x+2 1 x X+1 2x 2 2x 0 2x x 1 2x+1 X+1 2 2x+2 x+2 2x+1 2x+2 0 0 2x+1 2x+2 X+2 X+1 X+1 2x+1 2 x 2x 2 2x+2 X+2 X 1 1 2x 出所有分组长度为 5的二元循环码，求出每个码的最小距离。 解：要找到分组长度为 5的所有 2元循环码，首先要分解 5 1x 5 1x = 324( 1 ) ( 1 )x x x x x 在 2）中，是 324( 1 )x x x x 既约的，所求的循环码为： ( ) ( ) ( )c x i x g x 定义在 )24=16个，信息多 6 i ()()c 0000 0 0， 0 00000 0001 1 1x ， 342x x x x 00011， 11101 0010 x 2， 342x x x x 00110， 11111 0011 1x 2， 5 00110， 10001 0100 2x 3 01010 0101 2 1x 3 2 1x x x 01111 0110 2 3 01010 0111 2 1 3 1x 01001 1000 3x 34 11000 1001 3 1x 34 1x x x 11011 1010 3 324x x x x 11110 1011 3 1 324 1x x x 10101 1100 3 2 24 10100 1101 3 2 1 24 1 10111 1110 3 2x x x 34 11000 1111 3421x x x 4 1x 10001 故不同的码字有： 码字 最小码距 00000 0 00011 2 00110 2 11101 4 11111 0 10001 2 10101 2 01111 4 01001 2 11000 2 11011 4 11101 4 10100 2 10111 4 11110 4 多项式 1 0 8 5 4 2( ) 1g x x x x x x x 为 )上分组长度为 15的一个循环码的生成多项式。 (1)求生成矩阵 G.。 (2)求奇偶校验矩阵 H。 (3)这个码能检测多少个错误？ (4)这个码能纠多少个错误？ (5)将生成矩阵写成系统型。 解： (1)由生成多项式 1 0 8 5 4 2( ) 1g x x x x x x x 可知： 生成矩阵为： 1 1 1 0 1 1