《概论论与数理统计》课后习题答案全解(谢永钦)

1概率论与数理统计习题及答案习题习题习题习题一一一一1 略 . 见教材 习题参考答 案 设 A ， B ， C 为三个 事件，试用 A ， B ， C 的运算 关系式表示 下列事件： （ 1 ） A 发生， B ， C 都不发 生；（ 2 ） A 与 B 发生， C 不发生 ；（ 3 ） A ， B ， C 都发生 ；（ 4 ） A ， B ， C 至少有 一个发生； （ 5 ） A ， B ， C 都不发 生；（ 6 ） A ， B ， C 不都发 生；（ 7 ） A ， B ， C 至多有 2 个发生 ；（ 8 ） A ， B ， C 至少有 2 个发生 . 【 解 】 （ 1 ） A （ 2 ） A B （ 3 ） A B C（ 4 ） A B C = C B A B C A C A B A B C =A B A C B C A B C A B C( 5 ) = ( 6 )A B C A B C A B C( 7 ) B C A C A B C A B = = A B C A B B C A C A B C A B C A B C( 8 ) A B B C C A = A B A C B C A B 略 . 见教材 习题参考答 案 4. 设 A ， B 为随机 事件，且 P （ A ） = 0 P ( A B ) = 求 P （ ） . A B【解】 P （ ） = 1 P （ A B ） = 1 P ( A ) P ( A B ) A B= 1 0 = 设 A ， B 是两事 件，且 P （ A ） = 0 P ( B ) = 求：（ 1 ） 在什么 条件下 P （ A B ）取到 最大值？（ 2 ） 在什么 条件下 P （ A B ）取到 最小值？ 【 解 】 （ 1 ） 当 A B = A 时， P （ A B ）取到 最大值为 2 ） 当 A B = 时， P （ A B ）取到 最小值为 设 A ， B ， C 为三事件 ， 且 P （ A ） = P （ B ） = 1/ 4 ， P （ C ） = 1/ 3 且 P （ A B ） = P （ B C ） = 0 ， P （ A C ） = 1/ 1 2 ，求 A ， B ， C 至少有 一事件发生 的概率 . 【解】 P （ A B C ） = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) P ( A B ) P ( B C ) P ( A C ) + P ( A B C )2= + + =14 14 13 112 347. 从 52 张扑克 牌中任意取出 13 张， 问 有 5 张黑桃 ， 3 张红心 ， 3 张方块 ， 2 张梅花 的概率是多少 ？【解】 p = 5 3 3 2 1 31 3 1 3 1 3 1 3 5 2C C C C / 对一个 五人学习小 组考虑生日 问题：（ 1 ） 求五个 人的生日都 在星期日的 概率； （ 2 ） 求五个 人的生日都 不在星期日 的概 率 ；（ 3 ） 求五个 人的生日不 都在星期日 的概率 .【 解 】 （ 1 ） 设 A 1 = 五个人 的生日都在 星期日 ，基本 事件总数为 7 5 ，有利 事件仅 1 个，故P （ = = （ ） 5 （亦可 用独立性求 解，下同）517 17（ 2 ） 设 A 2 = 五个人 生日都不在 星期日 ，有利 事件数为 6 5 ，故P （ A 2 ） = = ( ) 55567 67( 3 ) 设 五个人 的生日不都 在星期日 P （ A 3 ） = 1 P ( A 1 ) = 1 ( ) 5179. 略 . 见教材 习题参考答 案 一批产品 共 N 件，其中 M 件正品 . 从中随机地取 出 n 件（ n 部分所示 60 4P = =22. 从（ 0 ， 1 ）中随 机地取两个 数，求：（ 1 ） 两个数 之和小于 的概率 ； 65（ 2 ） 两个数 之积小于 的概率 】 设两数为 x , y ，则 0( 3 )1 2( 1 ) ! 1 3! ( 2) !; , 3! !n np p nn n n = = = 38. 将线段 0 ， a 任意折 成三折，试 求这三折线 段能构成三 角形的概率 【解】 设这三 段长分别为 x , y , a x y . 则基本 事件集为由0 + + 构成的 图形，即0 20 22ax x y a 正 正（甲 乙 ） = （甲反 1+ 乙 反 ） = （甲 反 乙 反 ）由对称 性知 P （甲 正 乙 正 ） = P （甲 反 乙 反 ）因此 P ( 甲正 乙 正 ) = 1246. 证明 “确定的 原则 ” （ S u r e t h i ： 若 P （ A | C ） P ( B | C ) , P ( A | ) P ( B | ) ，则 P （ A ）C C P ( B ) .【证】 由 P （ A | C ） P ( B | C ) , 得 ( ) ( ),( ) ( )P A C P B P C即有 ( ) ( )P A C P B C同理由 ( | ) ( | ) ,P A C P B C得 ( ) ( ) ,P A C P B C故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A C P A C P B C P B C P B= + + =47. 一列火 车共有 n 节车厢 ，有 k ( k n ) 个旅客 上火车并随 意地选择车 厢 . 求每一 节车厢内至 少有一个 旅客的概率 . 【解】 设 第 i 节车厢 是空的 ，（ i = 1 , , n ） , 则1 2 1( 1 ) 1( ) ( 1 )2( ) ( 1 )1( ) ( 1 )nk ki i n An A = = = = 其中 i 2 , , i n 1 是 1 ， 2 ， n 中的任 n 1 个 n 节车厢 全空的概率 是零，于是132 11 2 111 122 111 1111 2 311 1( ) ( 1 ) C ( 1 )2( ) C ( 1 )1( ) C ( 1 )0( ) ( 1 )k ki j ni j nn kn i i i ni i i nn n ni A n n A A A A A S S S S= 0 . 试证明 ： 不 论 0 如何小 ， 只 要不 断地 独立地重 复做此试验 ，则 A 迟早会 出现的概率为 1. 【证】 在前 n 次试验 中， A 至少出 现一次的概 率为1 ( 1 ) 1 ( )n 49. 袋中装有 m 只正品 硬币， n 只次品 硬币 （ 次 品硬币的两 面均印有国 徽） . 在袋中 任取一只 ，将它投掷 r 次，已 知每次都得 到国徽 . 试问这 只硬币是正 品的概率是 多少？【解】 设 A = 投掷硬币 r 次都得 到国徽 B = 这只硬 币为正品 由题知 ( ) , ( )m P Bm n m n= =+ +1( | ) , ( | ) 12 B P A B= =则由贝 叶斯公式知 ( ) ( ) ( | )( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P B P A A P A P B P A B P B P A B= = +121 212 r mm nm n m nm n m n+= = + +ii 巴拿赫 （ B a n a c h ）火柴 盒问题：某 数学家有甲 、乙两盒火 柴，每盒有 N 根火柴 ，每次用火柴时他在两 盒中 任取一 盒并 从中任 取一 根 . 试求他首次发 现一 盒空时 另一 盒恰 有 是多少？ 第一次用完 一盒火柴时 （ 不 是发现空） 而 另一 盒恰有 r 根的概 率又有多少 ？14【解】 以 B 1 、 B 2 记火柴 取自不同两 盒的事件， 则 有 . （ 1 ） 发 现一盒 已 空 ，1 2 1( ) ( ) 2P B P B= =另一盒 恰剩 r 根， 说 明 已取了 2 n r 次， 设 n 次取自 （ 已 空 ）， n r 次取自 B 2 盒 ，第 2 n r + 1 次拿起 B 1 ，发 现已空。 把取 2 n r 次火柴 视作 2 n r 重贝努 里试验，则 所 求概率为1 2 21 1 1 12C ( ) ( ) 2 2n n n r nn r n r r = = 反映 B 1 与 B 2 盒的对 称性（即也 可以是 B 2 盒先取 空） .（ 2 ） 前 2 n r 1 次取火 柴，有 n 1 次取自 ， n r 次取自 B 2 盒，第 2 n r 次取自 B 1盒，故 概率为1 1 1 2 12 2 1 2 11 1 1 12C ( ) ( ) C ( )2 2 2 2n n n r n n rn r n = =51. 求 n 重贝努 里试验中 A 出现奇 数次的概率 .【解】 设在一 次试验中 A 出现的 概率为 p . 则由0 0 1 1 2 2 2 0( ) C C C C 1n n n n n nn n n nq p p q pq p q p q + = + + + + =0 0 1 1 2 2 2 n 0( ) C C C ( 1 ) Cn n n n n nn n n nq p p q pq p q p q = + + + 以上两 式相减得所 求概率为1 1 3 3 31 C Cn nn np pq p q = + + 1 1 ( ) 2 nq p= 1 1 ( 1 2 ) 2 若要求在 n 重贝努 里试验中 A 出现偶 数次的概率 ，则只要将 两式相加， 即得 1 ( 1 2 ) 2 np p= + 52. 设 A ， B 是任意 两个随机事 件，求 P （ + B ）（ A + B ）（ + ）（ A + ） 的值 B B【解】 因为（ A B ）（ ） = A B A（ B ）（ A ） = A B A B A ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A B+ + + + ( ) ( ) A B A B A B A B= + = 故所求 值为 设两两 相互独立的 三事件， A ， B 和 C 满足条 件： A B C = ， P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) 0 , P ( A | B ) = 1, 试比较 P ( A B ) 与 P ( A ) 的大小 . ( 2 006 研考 )解： 因为 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B= + ( ) ( ) ( ) ( )P A B P B P A B P B= =所以 .( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P B P A= + =1习题二1. 一袋中有 5 只乒乓 球，编 号为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 在其中同时取 3 只，以 X 表示取 出的 3 只球中的 最大号码， 写出随机变量 X 的分布 律 .【解】353524353 , 4 , 5 1( 3 ) 0. 14) 0. 35 ) 0. 6P = = = = = = = =故所求 分布律为2. 设在 15 只同类型 零 件中 有 2 只为次品 ， 在其 中 取 3 次，每次 任 取 1 只，作不 放 回抽 样，以 X 表示取 出的次品个 数，求：（ 1 ） X 的分布 律；（ 2 ） X 的分布 函数并作图 ；( 3 ) 3 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2P X P X P X P X = = = + = = + = = +( 2 , 1 ) ( 3 , 1 ) ( 3 , 2)P X Y P X Y P X Y= = + = = + = =1 2 3 2 2 33 3C 0. 6( 0. 4) ( 0. 3 ) C ( 0. 6) 0. 4( 0. 3 )= + +3 3 2 2 1 23 3( 0. 6) ( 0. 3 ) C ( 0. 6) 0. 4C 0. 7 ( 0. 3 )+ +3 1 2 3 2 23 3( 0. 6) C 0. 7 ( 0. 3 ) ( 0. 6) C ( 0. 7 ) 0. 3+= 0 设某机 场每天有 200 架飞机 在此降落， 任 一飞 机在某一时 刻降落的概 率设为 ， 且 设各4飞机降落是相互独立的 . 试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没 有空闲跑道 的概率小于 每条跑 道只能允许 一架飞机降 落 ) ？【 解 】 设 X 为某一时 刻 需立 即降 落 的飞 机数 ， 则 X b ( 2 00,) ，设机场 需 配 备 N 条 跑 道 ，则有 ( ) 0. 01P X N = = 由于 n 很大， p 很小， = 5 ，故用 泊松近似， 有 51 40 e 5( 15 ) 1 0. 000069! k= ( 2 ) P ( 保险公 司获利不少于 100 00)( 30000 2000 10000) ( 10)P X P X= = 51 0 0 e 5 0. 986305! kk k= 即保险 公司获利不 少于 100 00 元的概 率在 98% 以上P （保险 公司获利不 少于 200 00 ） ( 30000 2000 20000) ( 5 )P X P X= = 55 0 e 5 0. 615961! kk k= 即保险 公司获利不 少于 200 00 元的概 率约为 62% 15. 已知随 机变量 X 的密度 函数为 f ( x ) = A e | x | , = =( 2 )1 22 3 1 2 4C ( )3 3 9p = =( 3 ) 当 x a 时， F （ x ） = 1即分布 函数80 , 0( ) , 01 ,x x a18. 设随机 变量 X 在 2 ， 5 上服从 均匀分布 . 现对 X 进行三 次独立观测 ，求至少有 两次的观测值大于 3 的概率 .【解】 X U 2,5 ，即 1 , 2 5( ) 30 , xf x = 其他53 1 2( 3 ) P X x = =故所求 概率为2 2 3 33 32 1 2 20C ( ) C ( )3 3 3 27p = + =19. 设顾客 在某银行的 窗口等待服 务的时间 X （以分 钟计）服 从指数分 布 . 某顾客 在窗口1( )5， 若 超过 10 分钟他 就离开 . 他一个 月要到银行 5 次， 以 Y 表示一 个月内他未 等到服务 而离开窗口 的次数，试 写出 Y 的分布 律，并求 P Y 1 .【解】 依题意 知 ，即其 密度函数为 1 ( )5X e , 0( ) 5 0 , x xf x = x 0该顾客 未等到服务 而离开的概 率为251 0 1( 10) e d e5 x = =, 即其分 布律为2 ( 5 , e )Y b 2 2 55 2 5( ) C ( e ) ( 1 e ) , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5( 1 ) 1 ( 0) 1 ( 1 e ) 0. 5167k k k P Y = = = = = = =20. 某人乘 汽车去火车 站乘火车， 有 两条 路可走 . 第一条 路程较短但 交通拥挤， 所 需时间 X 服从 N （ 40 ， 10 2 ）； 第 二条路程较 长，但阻塞 少，所需时间 X 服从 N （ 50 ， 4 2 ） .（ 1 ） 若动身 时离火车开 车只有 1 小时， 问应走哪条 路能乘上火 车的把握大 些？（ 2 ） 又若离 火车开车时 间只有 45 分钟， 问应走哪条 路赶上火车 把握大些？【 解 】 （ 1 ） 若走第 一条路， X N （ 40 ， 10 2 ）， 则40 60 40( 60) ( 2) 0. 9772710 10 P = + + = = =-( 2 ) c = 322. 由某机 器生产的螺 栓长度 （ c m ） X N （ , , 规定长 度在 为合 格品 ,10求一螺 栓为不合格 品的概率 .【解】 10. 05 0. 12( | 10. 05 | 0. 12) 0. 06 0. 06 P = 1 ( 2) ( 2) 2 1 ( 2) 0. 0456 = + = =23. 一工厂 生产的电子 管寿命 X （小时 ） 服 从 正态分布 N （ 160 ， 2 ）， 若 要 求 P 120 X 200 允许 最大不 超过多少？【解】 120 160 160 200 160( 120 200) P = = =( 3 ) e , 0( ) ( ) 0 , 0x xf x F x = = 0;( 2 ) f ( x ) = = 当 x 0 时 1( ) ( ) d e d x x x xF x f x x = = = 当 x 0 时 00( ) ( ) d e d e x xx xF x f x x x = = + 11 e2 12故其分 布函数 11 e , 02( ) 1 e , 02 xx xF x = ( 2 ) 由 1 2 20 1 1 11 ( ) d d d 2 2bf x x bx x = = + = + 得 b = 1即 X 的密度 函数为2, 0 11( ) , 1 20 ,x xf x =即 1 ( ) 0. 01=即 ( ) 0. 0913故 2. 33z =（ 2 ） 由 得( ) 0. 003P X = 1 ( ) 0. 003=即 ( ) 0 . 9 9 7查表得 2. 75由 得/ 2( ) 0. 0015P X z =/ 21 ( ) 0. 001 5z =即/ 2( ) 0. 9985z =查表得/ 2 2. 96z =28. 设随机 变量 X 的分布 律为求 Y = X 2 的分布 律 .【解】 Y 可取的 值为 0 ， 1 ， 4 ， 9 1( 0) ( 0) 5 1 1 7( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 6 15 301( 4) ( 2) 511( 9) ( 3 )30P Y P P X P P P X= = = = = = + = = + = = = = = = =故 Y 的分布 律为29. 设 P X = k = ( ) k , k = 1 ,2, , 令12 1 ,1 , = 当 取偶数时当 取奇数时求随机 变量 X 的函数 Y 的分布 律 .【解】 ( 1 ) ( 2) ( 4) ( 2 )P Y P X P X P X k= = = + = + + = + X 2 1 0 1 3P k 1/ 5 1/ 6 1/ 5 1/ 15 1 1/ 30Y 0 1 4 9P k 1/ 5 7/ 30 1/ 5 1 1/ 30142 4 21 1 1( ) ( ) ( )2 2 21 1 1( ) / ( 1 )4 4 3k= + + + += = 2( 1 ) 1 ( 1 ) 3P Y P Y= = = =30. 设 X N （ 0 ， 1 ） .（ 1 ） 求 Y = e X 的概率 密度；（ 2 ） 求 Y = 2 X 2 + 1 的概率 密度；（ 3 ） 求 Y = X 的概 率密度 .【 解 】 （ 1 ） 当 y 0 时， ( ) ( ) 0YF y P Y y= =当 y 0 时， ( ) ( ) ( e ) ( l n )y P Y y P y P X y= = = l n ( ) f x x = 故 2 / 2l ) 1 1 1( ) ( l n ) e , 0d 2 xF yf y f y yy y y = = = ( 2 ) 2( 2 1 1 ) 1P Y X= + =当 y 1 时 ( ) ( ) 0YF y P Y y= =当 y 1 时 2( ) ( ) ( 2 1 )YF y P Y y P X y= = + 2 1 1 12 2 2y y P X = = ( 1 ) / 2( 1 ) / 2 ( ) y f x x = 故 d 1 2 1 1( ) ( )d 4 1 2 2Y Y X Xy yf y F y f fy y = = + ( 1 ) / 41 2 1 e , 12 1 2 y = ( 3 ) ( 0) 1P Y =当 y 0 时 ( ) ( ) 0YF y P Y y= =当 y 0 时 ( ) ( | | ) ( )YF y P X y P y X y= = 15( ) y f x x= 故 d( ) ( ) ( ) ( ) X Xf y F y f y f = + 2 / 22 e , 02 y y= 31. 设随机 变量 X U （ 0,1 ）， 试 求 ：（ 1 ） Y = e X 的分布 函数及密度 函数；（ 2 ） Z = 2l n X 的分布 函数及密度 函数 .【 解 】 （ 1 ） ( 0 1 ) 1P X =当 z 0 时， ( ) ( ) 0ZF z P Z z= =当 z 0 时， ( ) ( ) ( 2 l n )ZF z P Z z P X z= = / 2( l n ) ( e )2 P X = = / 21 / 2e d 1 ez = = 16即分布 函数- / 20 , 0( ) 1- e ,Z z zF z z = 0故 Z 的密度 函数为/ 21 e , 0( ) 20, zZ zf z z = 032. 设随机 变量 X 的密度 函数为 f ( x ) =22 , 0 , 0, .x x = 由于 P （ X 0 ） = 1 ，故 0 6 , 则 P （ X = =由全概 率公式有3 1( ) ( ) ( | ) 0. 0642i P A P B = = =由贝叶 斯公式有 2 22 ( ) ( | )( | ) 0. 009( )P A P B B P = 49. 设随机 变量 X 在区间 （ 1 ， 2 ）上服 从均匀分布 ，试求随机 变量 Y = 的概率 密度 f Y ( y ) 】 1 , 1 2( ) 0 ,X xf x 1 时， ( ) ( ) ( e ) ( l n )y P Y y P y P X y= = = l e d 1y x x y= = 即 11 , 1( ) 0, 1Y y y = 故 21 , 1( ) 0, 1Y y y= 2451. 设随机 变量 X 的密度 函数为 x ) = ,)1( 1 2x+求 Y = 1 的密度 函数 f Y ( y ) .3 x【解】 33( ) ( ) ( 1 ) ( ( 1 ) )YF y P Y y P X y P X y= = = 33 2 ( 1 )( 1 )31 1d a r c t 1 ) 1 a r c t g ( 1 ) 2 xx y = =+ = 故 263 ( 1 )( ) 1 ( 1 )Y yf y y= + 52. 假设一 大型设备在 任何长为 t 的时间 内发生故障 的次数 N （ t ）服从 参数为 t 的泊松 分布 .（ 1 ） 求相继 两次故障之 间时间间隔 T 的概率 分布；（ 2 ） 求在设 备已经无故 障工作 8 小时的 情形下， 再 无故 障运行 8 小时的 概率 Q . （ 1993研考）【 解 】 （ 1 ） 当 t t 与 N ( t ) = 0 等价， 有( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ( ) 0) 1 e t P T t P T t P N t = = = = = 即 1 e , 0( )0, 0tT tF t = = = =53. 设随机变量 X 的绝对值不大于 1 ， P X = 1 = 1/ 8 ， P X = 1 = 1/ 4. 在事件 1 P | Y | 1 2 + .,0 ,0,0,)43( 其他 （ 1 ） 常数 A ；（ 2 ） 随机变 量（ X ， Y ）的分 布函数；（ 3 ） P 0 X = = 其他( 3 ) 0 1 , 0 2 P X Y .,0 ,0,5 5 其他 （ 1 ） X 与 Y 的 联 合 分 布 密 度 ；（ 2 ） P Y X 图【 解 】 （ 1 ） 因 X 在（ 0 ， 上服 从均匀分布 ，所以 X 的密度 函数为1, 0 0. 2 ,( ) 0. 20, .X xf x = 其他所以 ( , ) , ( ) ( )X Yf x y X Y f x f 1 5 e 25 e , 0 0. 2 0 ,0. 2 0 ,0 , y y x y = = 且其他.( 2 ) 5( ) ( , ) d d 25 e d x X f x y x y x y = 如图0 . 2 0 . 2- 5 50 0 0- 1 d 25e d ( 5 e 5 ) d= e 0. 3679.x y xx y x= = + 7. 设二维 随机变量（ X ， Y ）的联 合分布函数 为F （ x ， y ） = .,0 ,0,0) ,1) (1( 24 其他 X ， Y ）的联 合分布密度 .【解】 ( 4 2 )2 8 e , 0 , 0 ,( , )( , ) 0 , x y x yF x yf x y x y + = = 设二维 随机变量（ X ， Y ）的概 率密度为f （ x ， y ） = 4. 8 ( 2 ) , 0 1 , 0 ,0 , .y x x y x 其他求边缘 概率密度 .【解】 ( ) ( , ) x f x y y+ = x 20 4. 8 ( 2 ) d 2. 4 ( 2 ) , 0 1 ,= 0 , y x y x x x = 其他( ) ( , ) y f x y x+ = 12y 4. 8 ( 2 ) d 2. 4 ( 3 4 ) , 0 1 ,= 0 , y x x y y y y + = 其他5题 8 图 题 9 图9. 设二维 随机变量（ X ， Y ）的概 率密度为f （ x ， y ） = = 其他( ) ( , ) y f x y x+ = 0 e d e , 0 ,= 0 , y y xx y y = 其他题 10 图10. 设二维 随机变量（ X ， Y ）的概 率密度为f （ x ， y ） = .,0 ,1, 22 x（ 1 ） 试确定 常数 c ；（ 2 ） 求边缘 概率密度 .【 解 】 （ 1 ） ( , ) d d ( , ) d x y x y f x y x y+ + 如图21 1 2- 1 4= d d c x y y c= = 得 ( 2 ) ( ) ( , ) x f x y y+ = 621 2 42 2121 ( 1 ) , 1 1 ,d 840 , 0 , .x x x xx y y = = 其他( ) ( , ) y f x y x+ = 52 221 7d , 0 1 ,4 20 , 0 , .y y x y x y y = = 其他1 1 . 设随机 变量（ X ， Y ）的概 率密度为 f （ x ， y ） = .,0 ,0,21 2/ 其他 1 ）求 X 和 Y 的联合 概率密度；（ 2 ） 设含有 a 的二次 方程为 a 2 + 2 X a + Y = 0 ，试求 a 有实根 的概率 .【 解 】 （ 1 ） 因 1 , 0 1 ,( )0 ,X xf x = = 21 e 0 1 , 0 ,( , ) , ( ) ( ) 20 , x yf x y X Y f x f y = 他题 14 图( 2 ) 方程 有实根 的条件是2 2 0a X a Y+ + =2( 2 ) 4 0X Y = 故 X 2 Y ，从而方 程有实根的 概率为：22 ( , ) d dx Y f x y x y = 21 / 20 0 1d e ( 1 ) ( 0) 0. 1445.x yx = = 15. 设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件 的寿命（以 小时计），并设 X 和 Y 相互独立，且服从同一 分布，其概 率密度为 x= 0. 2 0. 42 0. 389f （ x ） = .,0 ,1000,10002 其他 = X / Y 的概率 密度 .【解】 如图 , Z 的分布 函数 ( ) Z XF z P Z z P = ( 1 ) 当 z 0 时， ( ) 0ZF z =（ 2 ） 当 0 = = = + = = 0 , 1 , 2 , 3 ,i =于是( 4 ) 类似上 述过程，有20. 雷达的 圆形屏幕半 径为 R ，设目 标出现点（ X ， Y ）在屏 幕上服从均 匀分布 .（ 1 ） 求 P Y 0 Y X ；（ 2 ） 设 M = m a x X ， Y ，求 P M 0 0 图【解】 因（ X ， Y ）的联 合概率密度 为2 2 221 , ,( , ) 0 , .x y Rf x y R + = 其他（ 1 ） 0 , 0 | P Y Y Y X P Y X = 0 ( , ) d( , ) xy xf x yf x y = V = m a x( X , Y ) 0 1 2 3 4 5P 0 m i n ( X , Y ) 0 1 2 3P X + Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8P 0 / 4 05 4 2 / 4 0 1d d r rR r 3 / 8 3 ;1 / 2 4= =( 2 ) 0 m a x( , ) 0 1 m a x( , ) 0 P M P X Y P X Y = = 00 1 31 0 , 0 1 ( , ) d 1 Y f x y = = = = 21. 设平面区域 D 由曲线 y = 1/ x 及直线 y = 0 ， x = 1,x= e 2 所围成，二维随机变量（ X ， Y ）在区域 D 上服从 均匀分布， 求（ X ， Y ）关于 X 的边缘 概率密度在 x = 2 处的值 为多少？题 21 图【解】 区域 D 的面积 为 （ X , Y ）的联 合密度函数 为2 2e 1 1 d l n 2.S x = =21 1, 1 e , 0 ,( , ) 20 , .x yf x y x 0 ) 的泊松 分布，每 位乘 客在中途下 车的概率 为p （ 0 1 , 0 3 ,( ) 30 , 0 , y y y = 因为 X ， Y 相互独 立，所以 1 , 0 3 , 0 3 ,( , ) 90 , 0 , 0 , 3 , 3. x yf x y x y x y = 推得 .1m a x , 1 9P X Y =26. 设二维 随机变量（ X ， Y ）的概 率分布为16其中 a , b , c 为常数 ，且 X 的数学 期望 E ( X ) = P Y 0| X 0 = 记 Z = X + Y . 求：（ 1 ） a , b , c 的值；（ 2 ） Z 的概率 分布；（ 3 ） P X = Z 1 ) 由概率 分布的性质 知， a+ b+ c + 0 1 即 a+ b+ c = 由 ，可得( ) 0. 2E X = 1a c + = 再由 , 0 , 0 0. 1 0 0 0. 5 0 0. 5P X Y a X P X a b + + = = = + +得 3a b+ =解以上 关于 a ， b ， c 的三个 方程得 2 , 0. 1 , 0. 1a b c= = =( 2 ) Z 的可能 取值为 2 ， 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， ， 2 1 , 1 0. 2P Z P X Y= = = = =， 1 1 , 0 0 , 1 0. 1P Z P X Y P X Y= = = = + = = = ， 0 1 , 1 0 , 0 1 , 1 0. 3P Z P X Y P X Y P X Y= = = = + = = + = = =， 1 1 , 0 0 , 1 0. 3P Z P X Y P X Y= = = = + = = =， 2 1 , 1 0. 1P Z P X Y= = = = =即 Z 的概率 分布为( 3 ) . 0 0. 1 0. 2 0. 1 0. 1 0. 2 0. 4P X Z P Y b= = = = + + = + + = 1 0 1 101 a 0 b .1 2 1 0 1 2P 设随机 变量 X 的分布 律为求 E （ X ）， E （ X 2 ）， E （ 2 X + 3 ） .【解】 ( 1 ) 1 1 1 1 1( ) ( 1 ) 0 1 2 ;8 2 8 4 2E X = + + + =( 2 ) 2 2 2 2 21 1 1 1 5( ) ( 1 ) 0 1 2 ;8 2 8 4 4E X = + + + =( 3 ) 1( 2 3 ) 2 ( ) 3 2 3 42E X E X+ = + = + =2. 已知 100 个产品 中有 10 个次品 ，求任意取 出的 5 个产品 中的次品数 的数学期望 、方差 .【解】 设任取 出的 5 个产品 中的次品数为 X ，则 X 的分布 律为故 ( ) 0. 583 0 0. 340 1 0. 070 2 0. 007 3 0 4 0 5E X = + + + + + 0. 501 ,=5 20( ) ( ) i x E X P= 2 2 2( 0 0. 501 ) 0. 583 ( 1 0. 501 ) 0. 340 ( 5 0. 501 ) 00. 432.= + + + = 3. 设随机 变量 X 的分布 律为且已知 E （ X ） = 0 E ( X 2 ) = 求 P 1 ， P 2 ， P 3 .【解】 因 ,1 2 3 1P P P+ + =又 ,1 2 3 3 1( ) ( 1 ) 0 1 0. 1E X P P P P P= + + = =i i 2 2 2 21 2 3 1 3( ) ( 1 ) 0 1 0 . 9E X P P P P P= + + = + =i i 联立解 得1 2 30. 4 , 0. 1 , 0. P= = =4. 袋中有 N 只球， 其中的白 球数 X 为一随 机变量， 已知 E （ X ） = n ，问从 袋中任取 1 球为白球的概 率是多少？X 1 0 1 2P 1/ 8 1/ 2 1/ 8 1/ 4X 0 1 2 3 4 5P 59 051 0 0C 0. 583C = 1 41 0 9 051 0 0C C 0. 340C = 2 31 0 9 051 0 0C C 0. 070C = 3 21 0 9 051 0 0C C 0. 007C = 4 11 0 9 051 0 0C C 0C = 51 051 0 0C 0C =X 1 0 1P p 1 p 2 p 32【解】记 A = 从袋中 任取 1 球为白 球 ，则0( ) | P A X k P X k= = = 1 1 ( ) k X k k P X N N= = = = = = 设随机 变量 X 的概率 密度为 f （ x ） = 其他求 E （ X Y ） .【解】 方法一 ：先求 X 与 Y 的均值 10 2( ) 2 d ,3E X x x x= = i 5( 5 )5 0 0( ) e d 5 e d e d 5 1 6.z yy z y y z z z+ + + = = + = + = 令由 X 与 Y 的独立 性，得 2( ) ( ) ( ) 6 Y E X E Y= = =利用随机 变量函数的 均值公式 . 因 X 与 Y 独立， 故联合密度 为( 5 )2 e , 0 1 , 5 ,( , ) ( ) ( ) 0 , , x x yf x y f x f y = = i 其他于是 1 1( 5 ) 2 ( 5 )5 0 0 5 2( ) 2 e d d 2 d e d 6 Y x y x x y x x y y+ + = = = = i 设随机 变量