《理论力学》静力学典型习题+答案

1画出图示各结构中构件 受力图 1画出两结构中构件 受力图 1画出图 a 和 b 所示刚体系整体各个构件的受力图 11- 8 在四连杆机构的 铰链 B 和 C 上分别作用有力 构在图示位置平衡。试求二力 间的关系。 解：杆 二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。 解法 1(解析法 ) 假设各杆受压，分别选取销钉 B 和 C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对 B 点有： 0 045c o s 02 对 C 点有： 0 030c o s 01 C 解以上二个方程可得：221 45o y x 60o 0o x y 解法 2(几何法 ) 分别选取销钉 B 和 C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在 B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。 对 B 点由几何关系可知： 02 45 对 C 点由几何关系可知： 01 30C 解以上两式可得： 21 F 2图示结构中，二曲杆重不计，曲杆 作用有主动力偶 M。试求 A 和 解： 二力杆 (受力如图所示 )，故曲杆 B 点处受到约束力的方向沿 杆 到主动力偶 M 的作用， A 点和 B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆 持平衡。 力如图所示，由力偶系作用下刚 体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）： 0M 0)45si n (10 0 中：31 。对 有： 5 A， C 两点约束力的方向如图所示。 20o 0o 5o 解：机构中 为二力杆，点 A,B 出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点 O,C 处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对有： 0M 030s i 对 有： F 对 有： 0M 01 求解以上三式可得： 31 ， ，方向如图所示。 / 2 最后 简化结果。 解： 2标如图所示， 各力可表示为 : 23211 ， 2 ， 23213 先将力系向 A 点简化得（红色的）： 3 ， 23 方向如左图所示。由于 F ，可进一步简化为一个不过 A 点的力 (绿色的 )，主矢不变，其作用线距 A 点的距离 ，位置如左图所示。 2理如右图所示，可将该力系简化为一个不过 A 点的力（绿色的），主矢为： 2 其作用线距 A 点的距离 ，位置如右图所示。 简化中心的选取不同，是否影响 最后 的简化结果？ 是 2：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为 x 轴正向，竖直向上为 y 轴正向，力偶以逆时针为正）： 0 0 0 0c o s y 选梁 研究对象，受力如图，列平衡方程： 0 0 F 0 0 F 0 0 求解以上五个方程，可得五个未知量,分别为： s （与图示方向相反） )c o 与图示方向相同） )c o （逆时针方向） 2解：选 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 0c o sc o o s 0o s 求解以上两个方程即可求得两个未知量 ,其中： 31)2()(2a r c co s 未知量不一定是力。 2：选杆 研究对象，受力如下图所示。列平衡方程： （运用力对轴之矩！） 0 0t a ns i nc o st a 以下几题可看一看！ 0 0s i 00 由 0 0求出F ,。平衡方程 0 用来校核。 思考题： 对该刚体独立的平衡方程数目是几个？ 2：杆 1， 2， 3， 4， 5， 6 均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板 研究对象，受力如图所示，该力 系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程： 0 0452 F 02 F 0 045c o o o s 0006 (受拉 ) 0 045c o o s 0604 (受压 ) 0 045s i o s 0061 (受压 ) 0 045s i n 031 (受拉 ) 0 045c o s 0453 05 F 本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但 求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴 保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程 。 2偶矩 1 5 0 0 解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程 : 00002)(045s i 2211五个方程，五个未知量 2211 , ，可得方程： 0222 2 S 解得 4 9 2 SS 0)1(2 )1( 2221 即棒料左侧脱离 V 型槽，与提议不符，故摩擦系数 f。 2：当 045 时，取杆 研究对象，受力如图所示。 列平衡方程： 0000s i ss i ns i i n四个方程，四个未知量,，可求得 646.0 2：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为 a，重为 P，列平衡方程： 0000s i i i s满足补充方程 处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量 , 其中： 32)(3ta (1) 当物体不翻倒时 0则： 060 (2) 即斜面倾角必须同时满足 (1)式和 (2)式，棱柱才能保持平衡。 3：假设杆 为 2a。取整体为研究对 象，受力如右图所示，列平衡方程： 0 02 0取杆 研究对象，受力如图所示，列平 衡方程： 0 0 y 0 02 x 取杆 研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 0 (与假设方向相反 ) 0 02 (与假设方向相反 ) 0 02 (与假设方向相反 ) 3：取整体 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 0 D 取杆 研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 0 杆 二力杆，假设其受压。取杆 成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 02)2(2)( 解得 ，命题得证。 注意：销钉 A 和 C 联接三个物体。 3：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有： 0 0)( A 即 过 A 点，同理可得 过 B 点。 也就是 大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。 取板 研究对象，受力如图所示，列平衡方程： B 0o i n 00 2 (方向如图所示 ) 3：支撑杆 1， 2， 3 为二力杆，假设各杆均受压。选梁 研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为 2用在中点。列平衡方程： 0i n 03 (23 (受压 ) 选支撑杆销钉 D 为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程： 0 045c o s 031 1 (受压 ) 0 045s 32 )2(2 (受拉 ) 选梁 研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0045c o s 03 x )2( x (与假设方向相反 ) 00445si n 032 y y 4 0 0345s i 32 24 2(逆时针 ) D 2 F1 x y 3：选整体为研究对象，受力如右图所示。 列平衡方程： 0022 y 0022 y 00 (1) 由题可知杆 二力杆，选 研究对象，作用于其上的力汇交于点 G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得： 2 。 取 研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 045si n 0 2 代入公式 (1)可得：23：取杆 研究对象，设杆重为 P，受力如图所示。列平衡方程： 0 060c o 1 )(N 0 060s 1 x )(6 0 060c o s 01 y )(F 取圆柱 C 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 030c o o s 001 )(T 注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的 A 处的约束力不是杆 销钉的作用力。 3：取整体为研究对象，设杆长为 L，重为 P，受力如图所示。列平衡方程： 0 0c o i (1) 取杆 研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 0c o sc o i n (2) 补充方程： ， 将 (1)式和 (2)式代入有：2 ，即 010 。 3） 证明：（ 1）不计圆柱重量 法 1： 取圆柱 为研究对象，圆柱在 C 点和 D 点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力 F , 来表示，如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则 F , 等值，反向，共线。由几何关系可知， F , 与接触点 C， D 处法N P 线方向的夹角都是2 ，因此只要接触面的摩擦角大于2 ，不论 F 多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。 法 2（解 析法）： 首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 0 D 再取杆 研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 0 C 取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆柱半径为 R，列平衡方程： 0 0 F 0 0c o ss i n c o i nc o i nSD o 补充方程： ,，可得如果： 2t a n,2t a nc o i n 多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。 证明：（ 2）圆柱重量 P 时 取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力 P， C 点和 D 点处的全约束力F ,。如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于 D 点（如图所示）。全约束力 点处法线方向的夹角仍为2 ，因此如果圆柱自锁在 C 点必须满足： 2ta nc o i n ) 该结果与不计圆柱重量时相同。 只满足 (1)式时 C 点无相对滑动，但在 D 点有可能滑动 (圆柱作纯滚动 )。再选杆 研究对象，对 A 点取矩可得 ，由几何关系可得： C 2 2 ) 法 1（几何法）： 圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。由几何关系可知： s i n)2180(180s i n 00P 将 (2)式代入可得： )c o (si 此如果圆柱自锁在 D 点必须满足：)c o (si nt a n ) 即当同时满足 (1)式和 (3)式时，圆柱自锁，命 题得证。 法 2（解析法）： 取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 0c o ss i n 0 0c o ss i n 解得： 2ta n， )2t a ns i n( c o s ， 可得如果圆柱自锁在 D 点必须满足：)c o (si nt a n ) 即当同时满足 (1)式和 (3)式时，圆柱自锁，命题得证。 3：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 00 020 由题可知，杆 二力杆。作用在杆 的力有主动力 F ，以及 B 和 C 处的约束力 由三力平衡汇交，可确定约束力 方向如图所示，其中：31 ，杆 压。 取轮 A 为研究对象，受力如图所示，设 作用线与水平面交于 F 点，列平衡方程： 0 0 0 0)( 取轮 B 为研究对象，受力如图所示，设 作用线与水平面交于 G 点，列平衡方程： 0 0 0 0ta n)( 解以上六个方程，可得： D 41 ， 3 ， 1 ， D 41 若结构保 持平衡，则必须同时满足： M ， M ， ， 即： 431 4,14,34,4m i n ， 因此平衡时 F 的最大值 F，此时： )(0 9 ， )(91.0 3：由图可 见杆桁架结构中杆 零力杆。用剖面 该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 00346c o )( (受拉 ) 0 0s i n 31 (受拉 ) 0 0c o F (受压 ) 3：假设各杆均受压。取三角形 研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 0 (受压 ) 取节点 C 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 00 0s i i o o 其中：2221 ，解以上两个方程可得： C (受压 ) 3：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 0322 用截面 桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 032 72 (受拉 ) 0 02 21 51 (受拉 ) A B C 3 4 5 B C S S 4： A， 成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为 。 A 与水平方向的夹角 完全确定，有一个自由度。选参数 为广义坐标。 示位置，不破坏约束的前提下，假定 杆 一个微小的转角 ，相应的各点的虚位移如下： ， ， CB ， ED 代入可得： EA 30 )( 有 ： 0)30( 对任意 0有： 0 ，物体所受的挤压力的方向竖直向下。 4： 4a B 为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为 P,作用在杆上的主动力为重 力。 B 与 z 轴的夹角 完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。由几何关系可知： 杆的质心坐标可表示为： c o n 破坏约束的前提下，假定 杆 时针旋转一个微小的角度 ，则质心 C 的虚位移： s i i n 2 )( ： 0)s i i n( 2 有： 0s i i n 2 即杆 衡时： 31)2a rc s in( 。 解： 4b B 为研究对象，该系统具有理想约束 。设杆重为 P,作用在杆上的主动力为重 力。 B 与 z 轴的夹角 完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。由几何关系可知：杆的质心坐标可表示为： c o i n 破坏约束的前提下，假定 杆 时针旋转一个微小的角度 ，则质心 C 的虚位移： s i o ss i n 2 )( ： 0)s i o ss i n( 2 有： 0s i o ss i n 2 即平衡时 角满足： 0s i nc 4： 系统包含弹簧。设弹簧力 21,且 21 ，将弹簧力视为主动力 。此时作用在系统上的主动力有 21,以及重 力 P 。 2. 该系统只有一个自由度，选定 为广义坐标。 由几何关系可知： s i n A 破坏约束的前提下，假定有 一个微小的虚位移 ，则质心的虚位移为： c o 弹簧的长度2，在微小虚位移 下 ： 2c o )( ： 0)2c o sc o s( 22 其中 )22s i ，代入上式整理可得： 02)2c o ss i n2(c o 由于 0a ，对任意 0 可得平衡时弹簧刚度系数为： )2co ss i n2(co 4： 解除 A 端的约束，代之以,，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力 , 321 的作用。系统有三个自由度，选定 A 点的位移AA 和梁 转角 为广义坐标。 1在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0,0 AA 如图所示。 由虚位移原理 0)( 有： 0 对任意 0可得： 02在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0,0 AA 如下图所示。 由虚位移原理 0)( 有： 0332211 (1) 由几何关系可得各点的虚位移如下： AC 31AC 31312 AC 3131 代入 (1)式： 0)3131( 321 对任意 0可得： )(4 ，方向如图所示。 3在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0,0 AA 如上图所示。 由虚位移原理 0)( 有： 0332211 (2) 有几何关系可得各点的虚位移如下： 21 y 33 2y 代入 (2)式： 0)32( 321 对任意 0 可得： )(7 ，逆时针方向。 4：将均布载荷简化为作用在 点的集中载荷3F，大小为 处的约束力 解除 B 点处的约束，代之以力 并将其视为主动力，系统还 受到主动力, 321 的作用，如图所示。 在不破坏约束的前提下，杆 动，梁 点转动。 系统有一个自由度，选转角 为广义坐标。给定 虚位移 ，由虚位移原理 0)( 有： 0150c o o s 330220 B (1) 各点的虚位移如下： 26 92y 33y 代入 (1)式整理可得： 0)32396(32 对任意 0 可得： )( ，方向如图所示。 处的约束力 解除 A 端的约束，代之以,，并将其视为主动力，系统还受到主动力 , 321 的作用。系统有三个自由度，选定 A 点的位移 AA 和梁 转角 为广义坐标。 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0,0 AA 此时整个结构平移，如上图所示。 由虚位移原理 0)( 有： 0120c o s 02211 (2) 各点的虚位移如下： 21 代入 (2)式整理可得： 0)21 对任意 0可得： )(2 x ，方向如图所示。 ,0,0 AA 此时梁 上平移，梁 D 点转动，如上图所示。 由虚位移原理0)( 有： 030c o s 02233 (3) 各点的虚位移如下： AC 212132 61312 代入 (3)式整理可得： 0)614321(23 对任意 0可得： )(8.3 ，方向如图所示。 M 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0,0 AA 此时梁 点转动，梁 上图所示。 由虚位移原理 0)( ： 01 2 0c o s 02211 (4) 各点的虚位移如下： 31 x 62 代入 (4)式整理可得： 0)33( 21 对任意 0 可得： )(24 ，顺时针方向。 4：假设各杆受拉，杆长均为 a。 1求杆 1 受力 去掉杆 1，代之以力1P，系统有一个自由度，选 水平方向的夹角 为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形状不变，绕 A 点转动，因此有 ,，且： ,滑动支座 B 处只允许水平方向的位移，而杆 K 点虚位移沿铅垂方向，故 角形 B 点旋转 ，且： E 对刚性杆 杆 于 ,，因此 0由虚位移原理 0)( 有： 060c o o s)( 01011 ED 代入各点的虚位移整理可得： 0)2( 11 对任意 0 可得： 211 （受压）。 2求杆 2 受力 去掉杆 2，代之以力 2P ，系统有一个自由度，选 水平方向的夹角 为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆 此有 ，且： 同理可知 B 点不动，三角形 B 点旋转 ，且： D 绕 A 点转动 ，由刚性杆 点 E 的虚位移可确定 D 点位移方向如图所示，且： 由虚位移原理 0)( 有： 0120c o o o s 020201 代入各点的虚位移整理可得： 0)32(2