《微积分》课后习题答案五

习题五 （ A）1求函 数 )(使 )3)(2()( = ，且 0)1( =f f 2 +=x += 62531)( 23 6230625310)1( =+= 23 += 曲 线)(过点（ 0， 2） ，且其 上任意点 的斜率为 xx ，求 )(解： 21)( += = 341)( 2 1232)0( =+= 2 += 知 )(一个 原函数为 2 d)( 22 2)()( xx = +=+= )(4一质点作直线运动，如果已知其速度为 ，初始位移为 20=s ，求 s和 解： 2= += 3 1212)0( =+= 3 += 211)(ln = ，求 )(解： 12 =+= )0()( = + 函 数 )(使 5 22 += 0)0( =f +=+= + 5211111)( 25221002100)0( =+= 1521 2 += 下 列函数的 不定积分（ 1） 2） )1(3） 4） +5） + 6） + 7） + x 8） + （ 9） 2 （ 10） d 2 +（ 1） 22 （ 12） +13） xx xx 382 （ 14） 1 +（ 15） xx d)e(e （ 16） + d)31)(2e(（ 17） d 1111 + （ 18） 1)1( 222（ 19）2 + （ 20） + 2 2（ 21） + xx d)1( 1223 （ 22） + 24解 ： （ 1） = += 5232321 5232)(（ 2） =+= 121 )1(2)1( )1(3） =+= =+=+= +0 0 , 4） = += + 21 2（ 5） = +=+ + )1( 32 222（ 6） = +=+ 22= +=+ 7） = =+ 2= +8） = += +=+ 22（ 9） = += = xx 222 22（ 10） = +=+ 22+ 21） = += 22 2222（ 12） =( ) += （ 13） = += 514） = += 215） = += xx 16） = +=+ 3(2(26（ 17） = +=+ 18） = += 22（ 19） = += 20） = += = 21） = += +=+ ( 1)1( 22222（ 22） = += +=+ + )1(1 3222248用换 元积分法 计算下列 各题 .（ 1） + 2） xx d)23( 8（ 3） （ 4） +325） 2 （ 6） + 527） + 8） 9） 1d2 10） )x（ 1） xx 12） 13） + 14） （ 15） xx xx + （ 16） +17） （ 18） + xx xx ( 422（ 19） + 5 （ 20） + x 21） + 22） + 23） + 2) 24） 25） + d （ 26） + 1212 d xx s（ 27） + 3)1(1 d 28） + 52xx 29） + d)（ 30） x +（ 31） +)1(x （ 32） (（ 33） 34） d)1( +（ 35） + 36） 37） 38） +（ 39） 40） （ 1） = +=+ +=+ 2123 )2(12)2(32)2(262262（ 2） =+= 8 )23(271)23()23(31（ 3） = ( )( )+=+ 222（ 4） = += + + 32221 2 （ 5） = += 3333 4324 )4(314)(31（ 6） =+ 21( )1( 2（ 7） = +=+ 2（ 8） = += 112（ 9） = += 1)1(1(10） = 1） = += (12） = = 3222（ 13） = +=+=+ 2222 1(14） = 222 212121 )21(41（ 15） = +=+ 23222 )(1)(21（ 16） = +=+=+=+ x 11()()1( )()1(（ 17） = =+ 22 21118） = +=+ + 2242 22 21)42(21（ 19） =)(131)(131 3333 33 +=+ 令 +=+= )()1()()1(31)(11131 31323 +=+=3233533235 )1(21)1(51)1(21)1(51（ 20） +=+= )( +=+= )2(2)2()2(2 )(22 21 +=+=21232123 )2)2(4)2(32（ 21） += (22） +=+= 12 )23） +=+= 12 )2(2(24） += )25） +=+=+= 1) )1(26） +=+= 2323 )12(32)12(32412 1212 += 2323 )12()12(61（ 27） +=+ += 3 21)1(1 )1( 令 +=+=+= 28） +=+= 1( )1(21 2222（ 29） ( ) +=+=+= l) 30） +=+=+= 3232222 )1(3131)1(121)1(（ 31） +=+= )1( )(1(2 tt += += ()(21 222222 +=+= )1ln(22（ 32） 则 +=+= 32322 )(33） += (2（ 34） +=+= 2 )(135） += (36） += 43 37） =+= )= 3)38） +=+= 42 (39） +=+= (2222（ 40） += (29求下 列函数的 不定积分（ 1） +)1(x （ 2） 3） + xx 4） + 1d（ 5） +3 6） + 7） + （ 8） +（ 9） + 10） d)1( 323解 ： （ 1） +=+=+= 77 777 6 1(71)1(（ 2）令 1 ，则 , 16 = +=+= 315271(2)2(2)2()1( 3572462（ 3）令 21 ，则 = , 212 +=+=+= 2131()(31（ 4）令 1 ，则 , 12 = +=+= 2 2( 2 22（ 5）令 ，则 6 6 , = +=+=+= t 11)1(6166 23235 += )1 23+= 13（ 6）令 2 ，则 , 22 =+= +=+=+= 11(22 +=227）令 + 312)1( ，则 32 = +=+=+= 11 11919 222+= 1)1()1(29 312312322（ 8）令1 ，则 12 , )122 = +=+= 11 11)111222（ 9）令 1 ，则 += , 1 +=+=+= (33333 2212223+= 4212( 2212（ 10）令 ，则 +=+= 233 )1( 1)1( 121)1( 1121)1(21+=+ = 22 )1( 141)1(21)1( 1211121=+= 222222 )1(4 12)1( 141)1(2110设 +=+= ( , 求 )()( ； )()( ； )( +=+=+ )( +=+=+= )( += )(22 += )( 221用三 角代换求 下列不定 积分 .（ 1） 221 2） 32)-(13） 2 （ 4） 5） 322 )1(x （ 6） d)1( 2101298解 ： （ 1）令 ，则 )2t( = +=+=+= 22 1)2）令 ，则 )2t( = =+=+= 223 1)3）令 ，则 )2t( = = 22=+= 21414）令 ，则 ， )20( t += 1(2=+= 2222（ 5）令 ，则 t += 1=+= 22 116）令，则 2t + =+= 2998109810198 191分 部积分法 计算下列 积分 .（ 1） + 1( 2 （ 2） （ 3） d) 4） 5） 6） + （ 7） 8） xx （ 9） ln( 10） （ 1） 12） （ 13） + x 14） + 2（ 15） + (6 32 （ 16） 17） 18） 19） + （ 20） （ 1） +=+= 32()31()31( 22 += )32()31( 2（ 2）+=+ = + )1()1(311（ 3） = +=+= 4） += 5） += 222 1 )1(21+= 216） +=+=+= 22222 4412)42)44+= 22（ 7） +=+= 8） =+ = 11(1 22222 += 19） += t ln)ln(=+= )1)(ln(ln(10） += 1） +=+= 2 11(+= )11（ 12） = = 2 += = 21（ 13） += (+= += 214） += += 2 += )( += 22 115） ( ) ( ) ( ) 232323 +=+= ( ) += 123623( ) += 2122423( ) ( )+= 123523（ 16） = )( +=+= 17） ( ) += +=+= )x+= 22121（ 18） ( ) = 22 += 2（ 19） ( ) + += += 2332 += 223 92 ) += 323 92 += 2323 = += 23323 20） ( ) += 33 131 +=+= 161121233253+= 12325313计算 下列有理 函数的不 定积分 .（ 1） + d)31(1 （ 2） )32)(1)( d x（ 3） xx d)2()1( 122 （ 4） + 5） 1 6） + + x 23 2（ 7） + x 8） + x d)1)(1( 122（ 9） + x （ 10） + xx d)2()1( 183 32解：（ 1） +=+= += 3112）= += 2)2( )3)(1(2121)1(21（ 3） = += 112( 12（ 4）+= += 1(45)3(43（ 5） += += 2（ 6） += += 2( 214 2（ 7） + += += 1(2111121)1(21)1(21 222( )+= 1（ 8） += += 123121111211 222 += 312（ 9）( )( ) ( ) ( ) += += 2112 1211111 222( ) += 1222 ) += 2（ 10） ( ) ( ) +=+= 13（ B）1填空 题（ 1）设 1)(= ，则 )( .（ 2）设函 数 )(足下 列条件 2)0( =f ， 0)2( =f ； )( 1=x ， 5=x 处有极 值； )(导数 是 数，则 )( .（ 3）若 x+= 2 ，则 e = .（ 4）设2( 222 = 且 = ，则 = .（ 5）设 = ，则 = xf d)e(3 .（ 6） = xf d)(（ 7）设 )(一个 原函数为 = d)2( .（ 8）若 = d)(则 =)(解： (1)() x+= 2( ) () () +=+=+=+= 2212121ln ) 215623 + 设 += 23)(有 () += 232()( )( )() = =+= =+= =+= = 21561010755 0231 02482 20 215623 += 3） 2 () () =+=+= 22 22 +=+= （ 4） + 1 1)(1111( 22222 +=+= +=+=+=+= 21(11)(11)( （ 5） + 2222 += = = 2242243原式（ 6） )(= )(式（ 7） 42=+=2 x = 42(41)2(21)2(21 2原式 （ 8） = ()(= 1)( ，取 =2选择 题（ 1）设 ，则 =( （ B）A 331 B 142 1212 +C+ 42 1212 C + 42 1212（ 2）设 )()( , )(1)()( , )(1)()( 2+= ，且 14=f ，则 =)( A）A 3）若 += ，则 =2 )12( 22 （ B）A2 )121 2C )12(2 D )121 2（ 4）设 += 2 )( ，则 )( )(别是 （ D）A = ， = B = ， =C = ， = D = ， =解 ： （ 1） = 322 x(x(x( +=142 x)（ 2） )4f( = ，首先 排除 C、 D，再将 选项 A、 原条件 中，得 A（ 3） B)1x) 2222 = += C)11)1d(2x)1222原式 ，得 B（ 4） D = f(x)d(x)2 取 x) = 则+= x)x)g(x)上式 与条件 比较，得x) ,f(x)x) = ，得 算 下列不定 积分（ 1） + （ 2） e +（ 3） + )e1(e x （ 4） 5） 6） + 7） 8） + x 9） + 293 10） 提示 令 ）（ 1）+ （ 12） 提示 令 tx= ， 再用分 部积分法 ）（ 13） d)( 14） （ 15） + xx xx d)3( 16） （ 提示 经过两 次分部积 分 ， 又出现 原积分形 式 ， 移项后 便可得到 所要结果）解 ： （ 1） +=+= 111(（ 2） 2221(21222 2 +=+= += 21221 2 +=+= 221)12(21221 22（ 3） +=+= x 111()1( 2222 = 4）= 4 = += 2134（ 5） = + (21（ 6） +=+= 2222 )23()21( 1211)1(2112121+=+=