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关于矩阵特征值的讨论 文秘网站的龙头_论文： /article/ktlw/Index.html 【摘要】 已知矩阵特征值,分析有关矩阵的问题;讨论 矩阵特征值在线性代数中的应用; 【关键词】 矩阵对角化 特征值 特征向量 矩阵的特征值在高等代数中的应用非常广泛,作用也相 当重要.常见的矩阵运算可以直接求出结果,但是另外一些 复杂的矩阵需要先变形化简才可以方便的计算出结果.下面 来讨论有关特征值方面的题型. 一、利用特征值求方阵的高次幂 若求一个 n 阶矩阵 A 的高次幂 ,直接计算的话是不容 易计算出结果的.但是我们可以应用简便方法来求矩阵的高 次幂. 当这个 n 阶矩阵 A 可以对角化时，再计算其高次幂 , 就会有简单方法。 若存在可逆矩阵 P 使得 = . 即有 则 而 ，故 例 1 已知 ，求 。 解: 我们可以求出 ，所以 A 的特征值为 。对应于 有 两个线性无关的特征向量 。对应于 。 故 A 可对角化，则 ， 所以 例 2 已知 ，求 的值。 解: 可以先求出 A 有三个互异的特征值为 ，故存在可 逆阵 P, 使 而 故 。 二、利用特征值将矩阵化为对角矩阵 例 3 判断下列矩阵 A 是否与对角矩阵相似,如果相似, 求出相似变换矩阵 P,使 为对角矩阵. 解: 由 得 A 的全部特征值为 . 当 时,解齐次线性方程组(A-E)X=0,由 A-E= 得 A 的对应与特征值 1 的两个线性无关的特征向量 . 当 时,解齐次线性方程(A+2E)X=0,A+2E= 得 A 的对应特征值-2 的一个特征向量 ,可见 A 有三个 线性无关的特征向量,故可对角化.令 P= ,则 . 例 4 设 n 阶矩阵 A 使 ,证明 A 可对角化. 证明: 设 A 的特征值为 ,对应的特征向量 ,则 ,由 可 得, ,即 A 的特征值为 或 .因为 ,所以有(A+E)(A-E)=0. 如果 是 A 的特征值,而 不是 A 的特征值,则 ,从而 A-E 可逆,故 A+E=0,即 A=-E,A 可对角化. 如果 是 A 的特征值,而 不是,同理可得,A=E,即 A 可对 角化. 如果 和 都是 A 的特征值,因为(A+E)(A-E)=0,所以有， R+R n,且 R+R=R+R R=R=n.由此，R+R=n，于是有n-R +n-R(A-E)=n, 故 A 可以对角化。 三、已知某矩阵的特征值求该矩阵 矩阵特征值可以应用于矩阵对角化中,它在其他方面也 有广泛的应用. 下 面来讨论已知特征值,计算与矩阵有关的问题. 例 5 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 ，对应于 ，求 A。 解: 根据我们所学习过的定理:如果。 又因为 是 A 的二重特征值，故与特征值 1 对应的线性 无关的特征向量有两个，设为 ，并且 都和 是正交的。 设所求特征向量为 ，则 ，即 由 得 。 规范化，得 ， 。 作正交矩阵 。 则 ，有 ， 所以， = 四、利用矩阵特征值求另一矩阵的相似对角矩阵 例 6 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1，-1，2，设矩阵 ， 试求：矩阵 D 的特征值及其相似的对角矩阵。 解: 因为三阶方阵 A 有三个相异的特征值 1，-1，2， 故存在可逆 矩阵 P，使 ， 则 。 从而 ， 所以 于是 D 的特征值为-4，-6，-12， 故可得,与矩阵 D 相似的对角矩阵为 。 五、已知 n 阶方阵 A 的特征值,求方阵 A 的主对角线元 素之和及行列式|A|的值 例 7 设 n 阶方阵 A= 的 n 个特征值为 ,试求: (1)方阵 A 主对角线上的元素之和 ; (2)行列式|A|的值. 分析: 因为 是 A 的 n 个特征值, 即特征方程|A- E|=0 的 n 个根为 ,故 (1) 另一方面,方阵 A 的特征多项式是 下面只要求出 与 即可. 1)、行列式|A- |是取自不同行和不同列的 n 个元素的 乘积之代数和,其中必有一项是主对角线上的元素乘积 ,其 余各项至少有一个元素 ( )不在主对角线上.含元素 的项 的乘积中就不再含 i 行,j 列的其余所有元素,亦即一定不含 与 .因此在这样的项中至多包含 n-2 个主对角线上的元素, 所以这些项中 的次数最多是 n-2 次,因此特征多项式 中含 的 n 次与 n-1 次的项只能在 的项中出现。 乘积 中 的系 数是 即 ,比较式,式中 的系数, 得 , 故 . 2)、在式中,令 得,特征多项式 常数项为 ,则有 =|A|. 比较式,式中的常数项系数, 故可得，|A|= . 参考文献 1谢延波，王爱茹，杨中兵，线性代数同步测试M， 东北大学出版社 XX.8 2刘光祖，刘迎洲，线性代数典型题解析及自测试题 M，西北工业大学出版社 XX.8 3赵德修，孙清华，线性代数题解精选M，华中科 技大学出版社 XX.5 4李启文，谢季坚，线性代数内容方法与技巧M， 华中科技大学出版社 XX.7 Discussion about the characteristic value of matrix Yan bin Hubei Normal University Mathematics and applied mathematics Hubei Huangshi 435002 Abstract Known matrix identity value, Analysis of the problem matrix; Matrix of value online discussion of th