《通信原理》习题参考答案

1 通信原理习题参考答案 第 三 章 t)可表示成 (t) 2 t+ ) 式中是一个 离散随机变量 ，且 P( =0)=1/2、 P( = /2)=1/2，试求E (1)及 0,1)。 解：求 E (1)就是计算 t=1时 (1)的平均值： (0) 2+ ) 2 (1) 2 + ) 2 E (1) P( =0) 2P( = /2) 2 /2) (1/2) 2 0 1 0,1) E (0) (1) E2 2 E4 P( =0) 4P( = /2) 4 /2) (1/2) 4 2 题解：从题目可知，是一个离散的随机变量，因此采用数理统计的方法求出 (t)在不同时刻上的均值和相关函数就显得比较容易。 2 3设 Z(t) t 2是彼此独立且具有均值为 0，方差为 2的正态随机变量，试求 (1) EZ(t)、 EZ2(t) (2) Z(t)的一维分布密度函数 f(z); (3) B(t1, R(t1, 解： (1) E E 0，且 2彼此独立 EZ(t) Et t Et Et E t E t 0 EZ2(t) E(t t)2 Et 2 2 t t t Et E2 2 t t Et t E 2 t 1E t E t E t E又 E D D 2 E D D2 EZ2(t) 2 t 2 t 2 (t t) 2 (2)由于 Z(t) t 1和 此它仍然服从正态分布，即它的 其中： EZ(t) 0 DZ(t) EZ2(t) Z(t) EZ2(t) 2 2e x p 2 1)( 22)( 3 所以得一维分布密度函数 f(Z)为： (3) B(t1, R(t1, E Z( E Z( R(t1, E Z(Z( E ( E t1 2t1 t1 t1 t1 2 2 t1 t1 t1 2 (t1 t1 2 ( 2 其中 3若随机过程 z(t) m(t) 0t )，其中 m(t)是宽 平稳随机过程，且自相关函数 )为 是服从均匀分布的随机变量，它与 m(t)彼此统计独立。 (1) 证明 z(t)是宽平稳的； (2) 绘出自相关函数 )的波形； (3) 求功率谱密度 )及功率 S。 2ex p 2 1)( 22 011)( R m其它,10,01, 4 解： (1) Ez(t) Em(t) 0t ) （ m(t)和彼此独立） Em(t) E 0t ) =0 ) RZ(t , t+ ) Ez(t) z(t+ ) Em(t) 0t ) m(t+ ) 0(t+ ) Em(t) m(t+ ) E 0t ) 0(t+ ) 由上可见： z(t)的均值 Ez(t)与时间 t 无关，相关函数 )只与时间有关 z(t)是宽平稳的随机过程 (2)由 )可知： ) 0c o s)(21 是由 )(21 在时域上相乘的结果，而 )(21 在时域上的图形分别如下： 所以 )的波形如下： ) 21 0 +1 )(21 的波形 1)c o s ()( 20 0 c o 2 12)2(c o s 21)( 20 020 0 m 0c o s)(21 5 (3)由 z(t) m(t) 0t )可以看出： z(t)是由 m(t)和 0t )在时域上的相乘结果，则在频域上有： ) ) * ) ，其中 )是 m(t)的频谱 )是 0t )的频谱 又因为 ) )42(21 2 )2(21 2 ) ()(21 ) 00 ) ) * ) )2(21 2 ()(21 ) 00 )2()2(41 0202 ) 0(21 1 ) 21 +1 21 ) 的波形 6 率谱密度为 的高斯白噪声加到一个中心角频率为 c、带宽为 图 (1) 求滤波器输出噪声的自相关函数； (2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解： (1)先求出频域上的输出噪声功率： HP n 200 2 ,0,20n 其它BB 再求时 域上的自相关函数，实际上就是频域 j 00 2 1 00 2 12 1 22 122 1 00 4 0 4 0 c o H( ) 2 B 2 B c 0 c 图 7 (2)高斯过程通过线性系统时仍 然是一个高斯过程，即输出噪声的一维概率密度函数也是一个高斯过程， 又 00)( 其中 表示输出噪声的时域表达式，i是表示输入噪声的均值 同时 0202 0co 0 输出噪声的一维概率密度函数为： Bn 20 2e x 3设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为 冲幅度取 1 的概率相等。现假设任一间隔 过程具有宽平稳性，试证： (1)自相关函数 , 0 , /b)( (2)功率谱密度 ) a( f 2 。 解： (1) )(，实际上就是求在时间t和 t+时， 乘积的均值。 当时， t 和 t 的取值互相独立，如图 (a)所示 A Tb t t+ t 图 (a) 8 于是有： ( 2112112112110 当时， t 和 t 的取值有两种情况： 第一种情况： t 和 t 都在同一个 就是说 t 和 t 的取值相同，这种情况的概率是 如图 (b)所示 设此时的自相关函数为 )(1 R,则有 (1 T 21112111 第二种情况： t 和 t 不在同一个 就是说 t 和 t 的取值分别是两个相邻的码元，这时 t 和 t 是相互独立的，如图 (c)所示 A Tb t t+ t 图 (b) A Tb t t+ t 图 (c) 9 设此时的自相关函数为 )(2 R,则有 (2 2112112112110 当时： 21)( 综上 所述，有 , 0 , /b)( (2) )(由 图 (d)所示： 3若 (t)是一个平稳随机过程，自相关函数为 )，试求