《线性代数》练习题(附答案)

1 线性代数与解析几何练习题 行列式部分 一填空题： 1 若排列 1274i 56k 9 是偶排列，则 3 , 8 2 已知413251是 五 阶 行 列 式 中 的 一 项 ， 且 带 正 号 ， 其 中 （ )则3 , 4 , 2 3 设 是 n 阶可逆阵，且 5A ，则 52 2, 5 )( 63 5 1 （ k 为常数） 4 已知 410132213D 用 的元素 37 32232221 32 333231 行列式 37 22333231232221131211 5 设有四阶矩阵 ),(,),(4,3,24,3,2 中4,3,2, 均为 4维列向量，且已知行列式 1,4 则行列式 40|)|(|8 6设 则 160 )4( f 7设 2 0112520842111111154115212111111541132111111323232 3 , 2 , 1 x 8设 A 是 n 阶方阵，且 A 的行列式 0而 *A 是 A 的伴随矩阵，则* 1 9若齐次线性方程组000321321321 只有零解，则 应满足 1 条件。 二 计算题： 1 已知 5阶行列式 270513422111542131122254321求434241 和4544 ，其中 解 ：0)(227)(245444342414544434241 1894544434241 2 计算行列式9173130211221111D 。 解：14140019001520111112440152031401111D 2 8 091 4 0000190015201111 3 设 A 是 n 阶方阵， ，且 0A ，求 。 3 解： ()( 00 4 设 A 是 n 阶实对称矩阵， 022 若 )0()( ，求 。 解： ，是实对称矩阵 相似于对角阵 ， 20022 和的特征值为由 而 r(A) = k , 所以 重的特征值是 。 对于矩阵 A+3I , 有一个 1重的特征值k ，以及一个 3重的特征值 ， 33 5 计算),2,1,(321321321321解：0000001133112211321000000000)(3322322111 nk )( 矩阵部分 一 填空题： 4 1 设 三 阶 方 阵 A ， B 满足 61 ，且714131000000A ，则100020003)(6 11 2 设212221212111，其中 ),3,2,1(0,0 ，则矩阵 A 的秩 = 1 . 3 设 A 是 34 的矩阵，且 A 的秩为 2，而301020201B ，则 2 )( 2)()(,010 逆，） 4 已知 a=1 , 2 , 3 , b=3121,1 , 设 A= 则 131213 233231211 （ 3)()(3 ， ） 5 设矩阵 100010001,300041003则逆矩阵 1000001)2( 21211 6 设11334221 B 为三阶非零矩阵，且 ，则 3 t )302)(1)(;3)()(0( 7 设四阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 *A 的秩为 0 。 5 8 设 A， B 均为 n 阶矩阵， 3,2 则 32 2 121* 9 设 A 是三阶方阵， *A 是 A 的伴随矩阵，21A，则 16 10)31( *1 161)2(|53|311 10设 A ， C 分别为 r 阶和 s 阶的可逆矩阵，则分块矩阵 X 0的逆矩阵0 1 1111 A 11 设 n 阶方阵 A 满足方程 0232 则 A 的逆矩阵 )3(211 （ )3( ） 12 设101020101A ，而 2n 为正整数，则 0 2 1 A )22( 12 13 设 A ， B 是 n 阶矩阵，且 +B ，则 )( 1 （ )()()(） 二 选择题： 1 设 n 阶矩阵 A ， B ， ，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有（ D ） （ A） （ B） （ C） （ D） 2设 A 是 n 阶方阵 )3( n ， *A 是 A 的伴随矩阵，又 k 为常数，且 1,0 k ，则必有*)(（ B ） *1*1* )()()()( 3设 A是 n 阶可逆矩阵， *A 是 有（ A ） 1*1* )()()()( 6 101010001,100001010,21133312321131131211232221333231232221131211 C ） 21)( 122112 )()()( 5设 A ， n 阶方阵，则必有（ D ） （ A） （ B） （ C） 111)( （ D） 6.设 n 维向量 )21,0,0,21( ,矩阵 , ,其中 I 为 n 阶单位矩阵 ,则 C ) (A) 0 (B) I (C) I (D) 是 n 阶可逆矩阵 )2( n ， *A 是 则 ( C ) (A) n 1*)*( (B) n 1*)*( (C) n 2*)*( (D) n 2*)*( 3( 矩阵1111矩阵 n ,则 a 必为 ( B ) (A) 1 (B)n11(C) 1 (D)111, 为 n 阶可逆矩阵 ,则 111 )( 于 ( C ) (A) 11 (B) (C) )( (D) 1)( 三 计算题： 1 已知100110011A ，求 （ n 是自然数） 7 解：由归纳法， 100102)1(1n 2 已知 B ，其中 100000001B ， 112012001P 求： A 及 5A 。 解：1140120011P 1160020011P B 115515 )( 3已知 n 阶方阵 1000110011102222中所有元素的代数余子式之和。 解： 可逆 2 100010000110001211A 1)1()1(212 21,1* 3 已知矩阵 满足： ，其中321011324A ，求矩阵 B 。 8 解： )2(2 9122692683B 5设矩阵 ，满足 ,82* 其中 100420221A *A 是 矩阵 B 。 解： 200840642)(4)(44)(4)82(1111111*已知100110111A ，且 2 ，其中 I 为三阶单位矩阵，求矩阵 B 。 解： 00000012010011021110011011117 设 n 阶方阵111111111111，求 )( 解： 100001000010111111)1(11)1(11)1(1111故 1a 时， 1)( 1 时， r(A)= 当 a 1且 a 1 r(A)=n 四 证明题 ： 9 1 设 A 是 n 阶非零方阵， *A 是 A 的伴随矩阵， A 的转置矩阵，当 * 时，证明 0A 。 证明： 02*证（反证法）： 1)(0 00)( 1)()( * T 与题设矛盾。 2 设 A 是 n 阶方阵，若 0A ，证明： 0* A （其中 *A 是 证明： 3 设44)( 0,)4,3,2,1,(11 证： 1A 证明：10)1()()( 424* 1 0412141 11 jj 4 用矩阵秩和向量组秩的关系证明 )(),(mi n )( 证明：设，).(.).(1121121222211121121 即 列皆由 A 的列线性表示，故 ),()( 类似可证 行皆由 B 的行线行表示，所以 )()( 。 5 设 A 为 矩阵， B 为 矩阵，若 0证明 )()( 证明： )0.().(2121 0 所以 0. ., 21为齐次线性方程组 0解， 因此可由 0 基础解 系 线性表示 ，所以 ),.,( 21，即 )()( 。 6 设 A是 n 阶方阵， *A 是 明： 秩01*)( 1)(1)()(证明： (1) )( 可逆，而 *1* ,| 而 可逆， )( * （ 2） 0|1)( 1)()()(0| * 又 A 至少有一个 子式不为零， 1)( * 从而 1)( * （ 3） 1)( 的所有 子式全为零。故 0* A ，从而 0)( * 空间向量与线性方程组部分 一 填空题： 1. 设 ,2)( )()()( )(2 2. 点 )4,2,1( 在平面 0432 的投影点是 )724,72,71( （将其代入 0432 得 74t ） 4 过原点及点 )2,3,6( 且与平面 024 直的平面方程是 0322 5 面上的直线 绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面方程为 22 6 曲线22222222)( 面上的投影曲线为043 2227 已知向量组 ,)6,5,4,3(,)5,4,3,2(,)4,3,2,1(321 )7,6,5,4(4 ，则该向量组的秩 2 . 11 7设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 1n ，则 线性方程组 0通解为 )()1,1,1( 8已知向量组 )2,5,4,0(,)0,0,2(,)1,1,2,1(321 ，则3 t . 9若线性方程组 41434332121常数4321 , 足条件 04321 （4321100111000110001143213210000110001100011 10若向量组（ ）可由向量组（ ）线性表示，则秩（ ） 秩（ ）。 二选择题 1 设直线031020123:平面 0224: ，则（ B ） （ A） L 与 平行 （ B） L 与 垂直 （ C） L 在 上 （ D） L 与 斜交 2已知 21, 是非齐次线性方程 的两个不同的解，21,是对应的齐次线性方程组 0基础解系， 21,任意常数，则方程组 的通解必是（ B ） )(A 2)( 2121211 )(B 2)( 2121211 )(C 2)( 2121211 )(D 2)( 2121211 3. 使2011，1102都是线性方程组 0解，只要系数 A 为（ A ） 12 )(A 112 )(B 110102 )(C 110201 )(D110224110 4已知向量组4321 , 线性无关，则向量组（ C ）线性无关 )(A 14433221 , )(B 14433221 , )(C 14433221 , )(D 14433221 , 5设 A 是 矩阵， 0非齐次线性方程组 所 对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ） )(A 若 0有零解，则 有唯一解 )(B 若 0非零解，则 有无穷多个解 )(C 若 有无穷多个解，则 0有零解 )(D 若 有无穷多个解，则 0非零解 6设有向量组 4,2,1,11 ， 2,1,3,02 ， 14,7,0,33 ， 0,2,2,14 ， 10,5,1,25 则该向量组的极大线性无关组是（ B ） )(A 321 , )(B 421 , )(C 521 , )(D 5421 , 7非齐次线性方程组 中未知量个数为 n ， 方程个数为 m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则（ A ） )(A 时，方程组 有解 )(B 时，方程组 有唯一解 )(C 时，方程组 有唯一解 )(D 时，方程组 有无穷多解 8若向量组 , 线性无关； , 线性相关，则（ C ） )(A 必可由 , 线性表示 )(B 必不可由 , 线性表示 )(C 必可由 , 线性表示 )(D 必不可由 , 线性表示 9设向量 可由向量组m , 21 线性表示，但不能由向量组 )( ：121 , m 线性表示，记向量组 ( ) ： ,121 m，则（ B ） )(A m 不能由 )( 线性表示，也不能由 ( ) 线性表示 13 )(B m 不能由 )( 线性表示，但可由 ( ) 线性表示 )(C m 可由 )( 线性表示，也可由 ( ) 线性表示 )(D m 可由 )( 线性表示，但不能由 ( ) 线性表示 三计算题 1 求点 )1,3,2( 向直线11121 所作的垂线方程。 解：32 设所求直线为020112121求出由，得出513 34 2 求异面直线212 53 5 2296距离。 解： 7,212121 3 已知方程组000224214324321 的解空间的维数为 2，求方程组的通解。 解：22 )1()1(001022210110110212110)1(2)( 2 101001112143231 解为 4 设633422211A ，求一个秩为 2 的 3 阶矩阵 B 使 0。 14 解： 0100010211020110 的基础解系为 5 设三元非齐次方程组 的系数矩阵 A 的秩为 2，且它的三个解向量32,1 ,满足 ,)2,0,2(,)1,1,3(3121 求 的通解。 解： 111101)1,0,1(2)1,1,1()()(*31*31216 取何值时，线性方程组 223321321321 有唯一解，无解或有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 解： )1(3)1)(2(000110211211211311A 时且当 21 ， 方程组有唯一解 时当 2 ，方程组无解 时当 1 ，方程组有无穷多解 10101100221 已知 ,)1,2,1,1(,)5,3,1,1(,)3,2,0,1(321 a )8,4,2,1(4 a及)5,3,1,1( b ，问： （ 1） 为何值时， 不能由4321 , 线性表示。 （ 2） 为何值时， 有4321 , 的唯一线性表示？并写出该表示式。 15 解： 5815334232121101111143210100001001211011111 不能线性表示 时当 1a ， 321 11 112 a ba b 四证明题 1 已知 0 证明：向量 , 共面。 证明： 等式两边点乘向量 c , 得到 0)( 所以向量 a , b , c 共面。 2 证明：三个平面 , 经过同一条直线的充要条件是 12222 a 证明： 三平 面经过同一条直线000有非零解011101 222 1222 a b 3 已知 ,(,),(,),(321332123211 ，其中 022 ii 条直线 3,2,1,0 明三条直线相交与一点的充要条件为21, 线性无关， 321 , 线性相关。 证明： 三条直线交于一点331222111唯一解2)()( 其中 ),(,),(32121 性无关 32121 , 4已知向量组（ ）321 , ；（ ）4321 , ；（ ）5321 , 如果各向量组的秩分别为 R （ ） R （ ） =3 ， R （ ） =4 。 证明：向量组45321 , 的秩为 4 。 16 证明： 因为 r (I) = r (= 3 ，所以3322114 0)()()(0)(443433242214114454332211 ：代入设 由于5321 , 线性无关，得 0000043214433422411， 所以 r (= 4 4 设向量组t , 21 是齐次线性方程组 0一个基础解系，向量 不是方程组 0解，即 0A 。试证明：向量组t , 21 线性无关。 证明：设 0)()(11 两边左乘 A ，利用 0)(01 ti ti 从而有 ,0 211线性无关 0021 t相似矩阵及二次型部分 一 填空题 1） A 为 3 阶矩阵，若 A 有特征值 2,1,1 ，则 22)1(1 A 2）设 A 为 n 阶矩阵， 0A ， *A 为 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位阵，若 A 有特征值 ，则 2*)( 必有特 征值 12 A ； 22 的特征值 12 2 。 3） 为 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 n , 0 , 0 , ， 0。 4） 二次型3221232221321 22),( 是正定的，则 t 的取 值范围是22 t 。 5） 具有 与对角阵相似的 充要 条件。 6） 具有 与对角阵相似的 充分 条件。 7） 设 A 为 3 阶矩阵，已知 ,3, 均不可逆，则 A 一定相似于矩阵 17 3131。 8）已知12,10100002似，则 1 , 0 r Bt r 10二选择题 1设 2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 12)31( B ） （ A ）34（ B ）43（ C ）21（ D ）412若 是矩阵 A 的对应0的特征向量，则矩阵 对应0的特征向量（ A ） （ A ） 1P （ B ） )( 1 （ C ） P （ D ） 3设 B 是 的实矩阵， ,( 21 ，则方程组 0有零解是 定矩阵的（ C ）条件。 （ A ）充分 （ B ）必要 （ C ）充要 （ D ）既非充分也非必要 三计算题 1 已知 ,1 是 1A 的特征向量，其中211121112A ，求 k 及 所对应的特征值。 解 : 11 11111211121112，解出 k = 1 或 k = 1,1,2,1,241,1,1,1,12 设 A 是 n 阶方阵， 2 ， 4 ， 6 ， 2n 是 A 的 n 个特征值， I 是 n 阶单位阵，求 。 18 解 : 13)52)(32(3)2,6,4,2(3)2,6,4,2(111d i a i a 3 已知三阶实对称矩阵 A 的三个特征值为 1， 1， T)1,1,1( 是对应 2 的特征向量，求矩阵 A 。 解 : 设特征值 121 对应的特征向量是 ,(321，由 0),( X ，得 0321 解此线性方程组，求出基础解系 1,(,0,1,1 212121 316231612131612100111011102114 已知三阶矩阵 A 相似于对角阵211 ，试求)()(