第15章 分析力学基础-哈

理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 本章针对矢量力学所遇到的困难，采用 分析数学 的方法 来求解动力学问题，它利用 能量和功 来描述物体运动与 相互作用之间的关系，在达朗伯原理和虚位移原理的基 础上，导出 动力学普遍方程 和 拉格朗日第二类方程 （简 称拉格朗日方程）。成为研究动力学问题的有力手段， 在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、 规范。 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 第一节 自由度和广义坐标 一个自由质点在空间的位置由 x, y, z3个坐标可以 确定， 我们说该 自由质点有 3个自由度。一般质点运动会受到约束限制，则其自 由度数会减少，在 完整约束 条件下， 确定质点系位置的独立参数 的数目等于系统的自由度数 。 故该质点在空间的位置由 x,y就可确定，其自由度数为 2。 例如：一质点 M限制在球面的上半 部运动，则 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 一般讲，一个由 n个质点组成的质点系，若受到 s个完整约束 作 用，则其在空间的位置可由 N=3n-s个坐标完全确定下来，我们 把 描述质点系在空间中位置的 独立参数 ，称为 广义坐标 。对完 整系统，广义坐标数目等于系统的自由度数。 如上面的质点 M的位置由 x,y确定，则， x,y就是其一组广义坐标 ，此外，我们可以选取其它的一组独立参量来表达其位置： 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。考虑 n个质点组成的系 统受到 s个完整双侧约束 （ 15-3） 设 为系统的 一组广义坐标 ，我们可以将各 质点的坐标表示为 （ 15-4） 由虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到 （ 15-5） 其中 为广义坐标 qk的变分，称为 广义虚位移 。 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 第二节 以广义坐标表示的质点系平衡条件 设作用 在第 I个质点上的主动力的合力 Fi在三个坐标轴上的投影 分别为（ Fxi ,Fyi ,Fzi ），把 （ 15-5）代入虚功方程， 得到 （ 15-6） 理想约束 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 由于广义坐标的独立性， 可以任意选取，则若 （ 15-8）成立 ，必须有 （ 15-9） 上式说明， 质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。 这就是用 广义坐标表示的质点系的平衡条件 。 上式中 具有功的量纲， 所以 Qk成为 与 广义坐标 qk相对应 的广义力。 （ 15-7） 则 （ 15-6）可以写成 （ 15-8） 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 求广义力的方法有两种 ：一种方法是 直接从 （ 15-7）出发进行 计算 ； 从而 （ 15-10） 在解决实际问题时，往往采用第二种方法比较方便 （ 15-7） 另一种是 利用广义虚位移的任意性 ，令某一个 不等 于零，而其他 N-1个广义虚位移都等于零，代入 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 则虚功方程 （ 15-6）中各力的投影可以表达为 于是有 （ 15-12）这样，虚位移原理的表达式成为 上式说明： 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件 为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。 下面研究质点系在势力场中的情况，如果作用在质点系上的 主动力都是有势力，则势能应为各质点坐标的函数，为 （ 15-11） 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 如果用广义坐标 q1,q2, qN表示质点系的位置，则有 （ 15-13） 由广义力表达式 （ 15-7），在势力场中可将广义力 Qk表达为 则由广义坐标表示的平衡条件可写成下面形式 （ 15-14） 即： 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对 于每个广义坐标的偏导数分别等于零。 上面 （ 15-12）（ 15-14 ）对于求解弹性系统的平衡问题具有 重要 意义 。 （ 15-12） 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 如图示，给图 a、 b、 c所示的 球体一个小扰动，图 a中球会 回到原来位置，该平衡状态 该平衡状态称为稳定平衡；图 b中小球会在 周边任何 位置平衡， 该平衡称为随遇平衡；图 c中小球会滚下去，不会回到原来的平 衡位置，该平衡状态称为不稳平衡。 引用势能，还可分析保守系统的平衡稳定性问题，满足平 衡条件的保守系统可能处于不同的稳定状态。 上述 3种平衡状态都满足势能在平衡位置处 dV=0的平衡条件，但在稳定 平衡位置处，系统受到扰动后，新的位置系统的势能高于平衡位置处 的势能，因此，在稳定平衡位置处，系统的势能具有最小值，因而系 统可以回到低势能位置处；相反在不稳定平衡位置上，系统势能具有 最大值，在没有外力作用下，系统不能从低势能处回到高势能处；对 随遇平衡，系统在某位置附近的势能是不变的，所以其附近任何位置 都是平衡位置。 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 对于 一个自由度系统，只有一个广义坐标 q，则系统势能为 q的 一元函数，即 V=V(q)，当系统平衡时，在平衡位置处有 如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处，系统势能具 有最小值，即系统对广义坐标的二阶导数大于零 该式是一个自由度系统平衡的稳定性判据。 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 n个质点组成的系统，第 i个质点各参数为： 。若 系统 只受理想约束 ，由达郎贝尔原理和虚位移原理，有 写成解析式，有 上式表明， 在理想约束条件下，质点系在任一瞬时 所受的主 动力系 和 虚加的惯性力系 在虚位移上 所做 的 虚 功 的和 等于 零。该式称为 动力学普遍方程 。 第三节 动力学普遍方程 （ 15-15） （ 15-15a） 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 例 1 三棱柱 B沿三棱柱 A的光滑斜面滑动，三棱柱 A置于光滑水 平面上， A和 B的质量分别为 M和 m，斜面倾角为 。试求三棱柱 A的加速度。 解 ：研究两三棱柱组成的 系统。该系统受理想约束 ，具有两个自由度。 动力学普遍方程将达朗贝尔原理与虚位移原理结合，可求解质 点系的动力学问题， 特别适合求解非自由质点系的动力学问 题 。 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 由动力学普遍方程： 系统为二自由度，互不相关的 为独立虚位移，且 ，所以 解得： 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 第五节 第二类拉格朗日方程 对上式两边求变分，得到 把上面两式代入 （ 15-15）并注意交换求和次序，有 （ 15-20） 设 为系统的一组广义坐标，由 （ 15-4）式 对完整系统， 是任意的，上式恒成立，有 上式第二项与广义力 Qk相对应，称为广义惯性力。 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 式 （ 15-20）不便直接应用，可以做如下变换： （ 15-21） （ 15-22） (15-22)的简单证明 : 对时间求微分 （ 15-23） （ 15-24） 在式 (15-4)具有一阶和而阶连续偏导数下 ,有 (15-22)式成立 由式 (15-21) 和 (15-22),有 （ 15-25） 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 将式 (15-25)代入 (15-20),得到 （ 15-26） 上式称为 第二类拉格朗日方程 ,简称拉格朗日方程 ,其 方程式数 目等于质点系的自由度数 . （ 15-26a） 引入拉格朗日函数 (又称为动势 ) 注意到势能不是广义速度的函数 ,则拉格朗日方程又可以写成 （ 15-26b） 如果作用在质点系上的主动力都是有势力 (保守力 ),则广义力 Qk 可写成用质点系势能表达的形式 (式 (15-13),于是式 (15-26)为 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度 k，选取适宜的广义坐标。必须注意 ：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。 2. 计算质点系的动能 T，表示为广义速度和广义坐标的函 数。 3. 计算广义力 ，计算公式为： 或 若主动力为有势力，须将势能 U表示为广义坐标的函 数。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出 k个二阶常微分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 例 1 水平面内运动 的行星齿轮机构。均质杆 OA：重 P，可 绕 O点转动；均质小齿轮：重 Q，半径 r ，沿半径为 R的固定 大齿轮滚动。系统初始静止，系杆 OA位于图示 OA0位置。系 杆 OA受大小不变力偶 M作用后，求系杆 OA的运动方程。 所受约束皆为完整、理想、定常的 ，可取 OA杆转角 为广义坐标。 解 ：图示机构只有一个自由度 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 代入拉氏方程： 积分，得： 故： 代入初始条件， t =0 时， 得 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 例 2 与刚度为 k 的弹簧相连的滑块 A，质量为 m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块 A上又连一单摆，摆长 l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。 解 ：将弹簧力计入主动力 ，则系统成为具有完整、 理想约束的二自由度系 统。保守系统。取 x , 为广 义坐标， x 轴 原点位于弹 簧自然长度位置， 逆时 针转向为正。 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 系统动能： 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 系统势能 ：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块 A所在平面为 重力势能零点） 拉格朗日函数： 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 代入： 并适当化简得 ： 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 系统的运动微分方程。 上式为系统在平衡位置 (x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。 若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 1o, cos 1, sin ，略去二阶以上无穷小量，则 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 第六节 拉格朗日方程 的初积分 拉格朗日方程的求解需要对式 (15-26)进行积分 ,对于保守系统 ，在一定条件下 ,可以直接给出初积分的一般形式 . 1、能量积分 若系统所受到的约束均为定常约束 ,则式 (15-4)中不显含时间 t.有 (15-27) 其中 称为广义质量 .容易 证明： (15-28) 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 上式也称为关于 齐次函数的欧拉定理 .由于势能 V不含 项 ,有 这就是保守系统的 机械能守恒定律 ,也称为保守系统中 拉格朗 日方程的能量积分 . 将 (15-26a)对 k求和 (15-29) 积分上式 ,有 (15-30) 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 2、循环积分 如果拉格朗日函数 L中不显含某广义坐标 qk , 则该坐标称为 循 环坐标 。 此时 有 则 上式称为拉格朗日方程的 循环积分 . (15-31) 如果引入广义动量 则 (15-31a) 该式也称为 广义动量守恒 . 能量积分和循环积分都是由原来的二阶微分方程积分一次得到的 ,它们都是比 愿方程低一阶的微分方程 .因此在应用拉格朗日方程解题时 ,首先应分析有无 初积分存在 ,若存在上述积分 ,则可以直接写出其积分形式 ,使问题得到简化 . 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 例 3 楔形体重 G，斜面倾角 ，置于光滑水平面上。均质 圆柱体重 Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系 统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求： (1)系统的运动微 分方程； (2)楔形体的加速度； (3)系统的能量积分与循环积 分。 解： 研究楔形体与圆柱体组成 的系统。系统受理想、完整、 定常约束，具有两个自由度。 取广义坐标为 x, s ；各坐标原 点均在初始位置。 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 系统的动能 ： 系统的势能 ： 取水平面为重力势能零点。 拉格朗日函数： 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分 方程。 （ d） 解得楔形体的加速度为 拉格朗日函数 L中不显含 t ，故系统存在能量积分。 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 当 t =0时， ， x = s = 0 , 代入上式中，得 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 由于拉格朗日函数 L中不显含广义坐标 x，故 x 为系统循环坐 标，故有 循环积分 ： t = 0时 ，故上式中 C2 = 0 ，可得 （ f )， ( g ) 式即为系统的能量积分和循环积分。 ( f ) 式 实际上是系统的机械能守恒方程。 ( g )式实质上是系统的动 量在 x方向守恒。 理论力学电子教程 第十五章 分析力学基础 第四节 第一类拉格朗日方程 把约束方程 （ 15-3）代入动力学普遍方程 (15-15)，并引入符号 （ 15-16） 对式 （ 15-3）取变分 （ 15-17） 引入拉格朗日乘子 lk(k=1,2,3 ,s)，将上式两端乘 lk并对 k求和 （ 15-18） 把式（ 15-15） 与（ 15-18）式相减， 得： （ 15-15） 理论