单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计书

武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 3 单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计书 单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计 1 单级移动倒立摆的 线性数学模型 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入状态关 系。 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。在此次的课程设计中我采用其中的 控对象系统建模分析 在忽略了空气阻力和各种摩擦力后，可将倒立摆系统抽象成小车和均质杆组成的系统如下图 1小车系统总体分析图。 . 设输入作用力为 u，输出为摆角 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 4 图 1 小车总系统分析 小车质量 M=1 摆杆质量 m=车摩擦系数 b=0 摆杆转动轴心到杆质心的长度 l=杆惯量 I=在小车上的力 F 小车位置 x 摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正 ) 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正） 图 2 是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中， N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直分析的分量。 x 二武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 5 图 2 系统分隔分析图 应用 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 由摆杆水平方向所受的合力，可以得到以下方程： )s 2 s c o s 2 合并可得： s i n)(c o s)( 2 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析， 可以得到下面方程： )c o s(22 c o s)(s 2 合并得到力矩平衡方程如下： c o ss 方程中 ， 当 与 1（单位是弧度）相比很小时，可以进行近似处理： 1 、 0)( 2 用 u 来代替被控对象的输入力 F，线性化两个运动方程（即将上述等式带入 和 ） 如下： )()(2 对方程组 进行拉普拉斯变换，得到： 22222)()()()()()()()()( 注意：推导传递函数时假设初始条件为 0。 由于输出为角度 ， 求解方程组 的第二个方程，可以得到： )()( 22 把上式带入方程组 的第二个方程，得到输入到输出 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 6 qb m g g )()()()(223其中 )()( 22 根 据题目所给的条件得出原函数的传递函数为 )()( 2 立摆系统的串联超前校正装置校正分析 校正系统输出动态性能 原系统结构图如图 3 所示，设输入为单位阶跃响应 图 3 真 用 出单位阶跃响应曲线如下图 4 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 7 图 4 单位阶跃响应曲线 用 出传递函数的根轨迹图图 5,序如下 n=d=1 0 n,d） 图 5 根轨 迹 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 8 用 ， G=1 0 1),) 图 6 伯德图 图 5、图 6 分别为系统未校正前的闭环根轨迹和波特图，由这两张图也可看出系统处于非稳定状态。 统的串联超前装置校正 数修正 超前校正就是在前向通道中串联传递函数为11)( ， a1 的校正装置，其中参数 a、 T 为可调，如下图，从超前校正的零、极点可以位于 s 平面负实 轴上的任意位置，从而产生不同的校正效果。超前校正的基本原理就是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相位裕度，提高洗头膏稳定性等。 在串联超前装置11)( 后，)( 23 a T 以特征方程为 ( 23 (123 劳斯表 可以发现当原系统加入了超前校正装置之后，系统仍然为不稳定，则根据我的判定是题目的参数有偏差，所以我修改了数据改变了小车质量 M 和摆杆的质量 m，设 M=汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 9 m=得新的原传递函数为 915)( )()(2 图 8 用 出单位阶跃响应曲线，如下图 9 单位阶跃响应曲线 图 9 单位阶跃响应曲线 用 0， 序如下 n=15 d=1 0 n,d) 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 10 图 10 根轨迹图 用 1， 序如下 G=5,1 0 ;) 图 11 伯德图 联超前校正装置 串联超前校正装置99 1515)( 23 aT 动控制原理课程设计说明书 11 函数 60)1515(61)915(0123图 12 劳斯表 可得，新的传递函数可以通过改变变量的方法使其在串联超前校正装置后稳定 01515 0 10a 和 T 两个变量取以上范围的时候，可以是系统稳定。为了符合设计要中所需要达到的参数范围， 我进行了小范围的假设和调节设 a=2 的时候，同时使 G(s)的形式更加接近于典型的二阶系统，又因为99 1515)( 23 aT 以先进行几何化简 . 1 70)5315 115(*)1515(99 2 64222 正后系统的稳定性分析 图 13 真 用 出新的单位阶跃响应曲线如下图 14 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 12 图 14 由系统校 正后单位阶跃响应曲线（设在 t=1s 时输入单位阶跃信号）可得，设计要求st s 用 5， 序如下 n=256 d=1 864 n,d) 图 15 用 6， 序如下 G=56,1 8 64);) 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 13 图 16 分别为系统校正后的闭环根轨迹和波特图，由这两张图可看出系统已处于稳定状态。 3 校 正前系统与校正后系统的比较 通过在前通道串联超前校正装置，我得到了一个稳定的倒立摆系统，超前校正装置的串入，使得系统的动态过程的超调量下降由原来的不稳定时的无穷到校正后的 %同时调节时间缩短至 1s，前通道串联超前校正装置校正成功，满足设计所限制范围内。引入超前校正装置对原系统的稳态精度没有影响。 4 设计心得体会 起初看到这个题目，对倒立摆的认识不足，而且对如何对倒立摆系统进行建模毫无思路。 倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆 系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制。我的设计是用串联超前装置 ，起初认为很简单，但是当我建立新的校正后的系统是，利用劳斯判据得出新系统仍然为不稳定，于是就修改了参数，改参数的过程是非常的困难的过程，但是有 帮助，通过发现问题，解决问题的过程中，让我对软件 掌握以及对系统校正有了更 加深刻的认识 通过本次设计查阅各种书籍都是非常重要的，特 别是系统稳定性分析，系统各项动态性能指标，稳态误差，伯德图以及系统根轨迹等相关知识的理解。设计时借助 件进行控制系统分析，进一步熟悉了 设计完成时又加强了对 动控制原理课程设计说明书 14 软件的运用和了解 同时我在网上和图书馆查到很多相关的资料，在查阅了不少的资料后，开始设计就有很强的逻辑性，可以让我开始设计时更加得心应手。在自己的努力的时候，请教导师和同学也是必不可少的，导师会引导我把握住设计的中心思路，避免犯不必要的错误。同学们的新观 点也给了我不少灵感 总之，通过每一次课程设计，都为我今后的毕业设计打下了扎实的基础，让我明白自主学习的过程是痛苦的，但是结果往往是甜蜜的。让我领悟到做任何事“毅”字当头，我的这次设计就是在修改参数时费了很多的时间，如果我没有坚持下来的，也不会完成这次设计。最后，感谢老师对我不厌其烦的指导，热心的帮助我帮我解决问题，是我能更加从容的完成这次设计。 参考文献 1 胡寿松 . 自动控制原理 (第五版 ). 北京：科学出版社， 2007 2 王万良 . 自动控制原理 . 北京：高等教育出版社， 2008 3 王 晓元，廖红，赵黎，刘想宁 . 大学物理学（上） . 武汉：武汉理工大学出版社 2008 4 夏玮 . 北京：人民邮电出版社， 2008 5 周品，赵新芬 . 学建模与仿真 . 北京：国防工业出版社 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 15 本科生课程设计成绩评定表 姓 名 马田 性 别 男 专业、班级 自动化学院电气 0803 办 课程设计题目： 单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计 课程设计答辩或质疑记录： 问题 1： 915)( )()(2 示的的 答：所示的 问题 2：当原系统不稳定时，修改参数后，如何使超调量接近设定值？ 答：因为本系统的参数设定原因，我将放大增益进行微调，使其满足条件，让串联超前校正装置后的传递函数的超前量满足设定值。 问题 3：超前校正的基本原理是如何定义的？ 答：利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相位裕度，提高系统稳定性 武汉理工大学自动控制