一阶倒立摆PID控制系统毕业设计方案

1 一阶倒立摆 制系统毕业设计方案 倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。由于在实际中有很多这样的系统，因此对它的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。本文具体研究的是一阶倒立摆 对比了不同方法对一阶倒立摆控制的效果。 由于 各参数物理意义明确 , 在工程上易于实现 , 即使在控制理论日新月异发展的今天在工业过程控制中 , 90 %以上的控制器仍然是 1。 对于一阶的倒立摆系统， 到期望的应用效果。 本文 主要内容分四章进行阐述。各章节主要内容如下： 第一章 简单的 介绍 了倒立摆系统的特点及其原理 ； 第二章 阐述了不同的对倒立摆的控制方法及其 原理、特点与相关研究情况 ，并确定采用 第三章 对一阶倒立摆 进行了 数学 研究 ， 建立 起其 数学模型，并求出其状态空间描述； 第四章 根据一阶倒立摆的数学模型，对其进行 用 比较，得出 第五章 对一阶倒立摆 总结了全文的研究工作，给出了存在的问题和进一步研究的方向。 2 立摆系统概述 概述 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台 1。倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）1。 对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等 1。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法 在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等 1。 立摆系统组成与结构 以小车的位移和摆棍的倾斜位置作为倒立摆系统的输入，在每一个采样周期中，传感器采集小车的位置和摆棍的角度信息，与设定值进行对比，采用控制算法算出控制量，然后通过数电模电转换电机进行摆棍的立即控制。皮带由直流电机带动，小车在皮带上一起运动，以一点为轴心小车上安装摆棍，让摆棍能在竖直的平面上自在的摇摆，须要一个作用力给小车，让 摆棍摇摆达到稳定的 竖直向上。 3 立摆系统的 特性 复杂、不平衡、非线性是倒立摆系统最基本的特性，通过对倒立摆系统可以展开各种控制实验，和制定非线性控制理论的学习。可以根据对倒立摆的控制，检验其对应的控制系统是否有处理非线性和抗扰动的能力。 倒立摆的最大难度就是使摆杆以最快的速度达到一个稳定的位置，而且让它没有出现大的振荡角度和运动速度。当摆棍得到设定的设定值位置后，控制系统能克服扰动而且保持稳定。 图 2立摆系统原理图 虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性 : 非线性 倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制，也可以利用非线性控制理论对其进行控制，倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点 2。 不确定性 主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差， 利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素 2。 耦合性 倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量 2。 开环不稳定性 倒立摆的稳定状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点 ， 垂直向下为稳定的平衡点 2。 4 约束限制 由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对于倒立摆的摆起尤为突出，容易出 现小车的撞边现象 2。 3 倒立摆系统的控制方法 立摆的 3 种控制方法 对倒立摆的控制有很多种方法。倒立摆作为一个非常经典的控制对象常被做研究，有着理论上和实践上的最要意义。增加倒立摆的级数产生的控制难度是挑战人类控制能力的升级，并且能在挑战的过程中学习新的控制方法和理论，让科技为人类应用，让我们的生活更精彩。目前，对倒立摆的控制有以下几类方法。 典控制理论 制方法 制就是由线性组合方式把偏差的比例 P、积分 I、微分 D 组合构成的控制量， 对被控对象展开控制的控制方法。 制规律在普通常见控制中最为广泛运用的控制系统规律，通过理论分析和实践证明这种控制规律对众多的被控对象都是能取得不错的效果。并且，其控制方法在军事、飞机、机械和普通工业控制过程领域中都有着非一般的作用，例如机械人在漫步过程中的平衡控制，卫星发射中的火箭与地面的垂直角度的控制和形态控制等等。 个无法消除余差，因此再加上积分，积分是按偏差累积的，只要有偏差就有大于（或小于） 0的积分值（就是不会为 0）。仅仅这样还不够，因为偏差变化 有快慢之分，因此要用微分，微分就是计算偏差变化的速率。同时使用者三种控制规律来控制被控变量就是 并不表示某一个控制规律 ,而是同时使用三种控制规律的综合 。 在实际工程里，最为广泛被使用的有比例、积分、微分、 没有确定被控对象的结构、参数的时候，或者没有确定数学模型的时候，是很难使用其他控 5 制理论技术的。必须通过大量的实践还有现场的测试才能确定系统控制器的结构和参数，此时， 实其中也包含 是利用比例、积分、微分还得根据被控系统中 的误差进行计算得出控制量进行系统控制的。 根据给定值 )(实际输出值 ()成控制偏差)( ) ( ) ( )e t r t y t （ 3 将偏差的比例 (P)、积分 (I)和微分 (D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称 制器 3。其控制规律为 dt )(1)()(0（ 3 图 3 优控制理论 制 文全称为： 的控制对象为现代控制理论里的线性系统，控制对象的状态与控制输入的二级型函数是 设计出的状态反馈控制器 取最小值 ,而 和 R 共同 决定 ，这就是 6 状态空间设计中 且由 于现代计算机的仿真效果，大大的为 于 线性系统二次型性能指标的最优控制问题 就是在线性系统控制器设计中，其性能指标成为状态变量和控制变量的二次函数的积分，这就是最优控制问题。对于线性二次型问题的最优解可以列出统一规范化的表达式，而且可以采用闭环控制系统，已经有一套 成熟的设计方案，还能达到控制多项性能指标，所以被认为很重要的控制理论系统，而且迅速发展成现代控制理论中比较优越不可或缺的一部分内容。 线性控制一般都会使用线性调节器，线性调节器可以让系统状态和变量在控制范围内的给定二次时间积分达到最优合适值，所以又被称为最优线性调节器。当然，它的反馈环节的规律也是与之线性规律有关。线性调节器会与它的控制对象一齐组成最优调节系统。 糊变结构控制方法 模糊变结构控制系统是通过利用模糊数学的根本思想和基本理论进行控制的控制系 统。在传统的被控领域内，通过大量的实践，已证明影响控制质量好坏的最主要最关键的因素就是控制系统中的动态模式是否足够精准和正确。那就说明控制系统中的动态信息越为详细越为准确，则控制效果越为优越，控制能力越强。 但是，某些系统的变量太多，系统过于复杂，往往难以得到系统详细准确的动态信息，所以技术人员就开始尝试使用各种方案去简化系统动态信息，便于达到控制的效果，不过并不理想。那就说明传统控制理论不能满足处理过于复杂、变量多的系统，于是便尝试利用模糊数学来实现控制目的。 模糊控制具有自学习能力， 对于一些系统的干扰方面可以用模糊控制的自学习能力来抗干扰。 7 模糊 变结构控制是一种 结合模糊理论和变结构 控制 的控制 系统设计方法， 能有效的用于 线线性 及非线性结构的控制系统，例如 调节 系统、 跟踪 系统 ，自适应及不确定性强的控制 系统。 模糊 变结构控制它具有 优良的抗干忧能力和较强的自适应性。通过近年的快速发展 ，这种设计方法 已经得到国内外顶尖专家的认可和大力支持 。 制方式对比与分析 通过理论分析，这 3 种控制方案都能对倒立摆实施很好的控制，都能达到稳定状态 和完成控制指标要求。 制方式 制方式 由比例 ,积分 ,微分 三种作用组成在一起体现出来的 。 P 的优点 :响应该速度快 ,调节动作迅速 。 I 的优点 :消除余差 。 D 的优点 :根据偏差信号的变化 ,趋势提前动作。先把微分作用取消掉 ,只保留 调比例 ,再调积分 ,最后加上微分再调。如果振荡过快 ,加大 P。如果 振荡后过很久才稳定 ,减小 P，减少积分时间。如果振荡的周期太长 ,加大积分时间。如果对调节对象变化反应过慢 ,增大 D。所以采用 制方式能很有效的实现倒立摆控制，减少超调量，有效控制小车的运动和摆棍的摆动，实现倒立摆的控制。 制方式 线性二次型调节器的特点有： 1、较大的稳定裕度 2、对系统模型的误差有较强的鲁棒性 3、广泛用于生产过程的控制 4、成本低廉，方法易于实现，可利用真。它能够准确地跟踪小车的位置，摆棍的超调量小、上升时间、峰值时间、最大超调量也 基本达到控制要求。 8 糊变结构控制 它 是一种 结合模糊理论和变结构 控制 的控制 系统设计方法 ，它的控制方式是 根据控制器的参数与偏差和偏差的变化之间的模糊关系，在运行时不断检测 偏差量等 ，通过事先确定的关系，利用模糊推理的方法，在线修改控制器的三个参数，让参数可自整定。因为参数可自动调整的缘故，所以也能解决不少一般的非线性问题，但是假如系统的非线性、不确定性很严重时，那模糊 控制效果就会不理想。而且模糊 变结构 控制的规则还是较复杂的，隶属度函数的选定也得靠经验。 控制方法的采用与小结 总体而言，这三种控制方法都能很有效的控制一阶倒立摆系统。 不过 制方式比 制方式略差，模糊变结构控制略比 ，但对于一阶倒立摆来言，三种控制方法都能满足控制指标，达到理想的状态。但由于 制算法需要调整两个矩阵，算法比较复杂，计算代价较高，也不能容易被技术人员所理解和操作，模糊变结构控制就更为复杂麻烦了， 制是最早发展起来的控制理论，虽然是经典理论，不过它的原理简单易懂，操作便利，能被操作者容易接受，所以在实际应用的控制系统中依然占大部分。 糊变结构控制方法更适用于更高级数的倒立摆控制系统。 用中不需精确的系统模型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器 ，经过比较和辩证分析最终决定采用 9 4一阶 倒立摆的数学模型 阶倒立摆的物理模型 倒立摆物理 模型的 构成 由 光滑的导轨 、 自由移动的小车和一个 固定在小车上可以只可以在 竖直 平面内自由摆动的 摆 棍 。 以一点为轴心小车上安装摆棍，让摆棍能在竖直的平面上自在的摇摆，须要一个作用力 摆棍摇摆达到稳定 的 竖直向上，从而达到倒立摆系统的平衡。 该系统的被控变量 有 ：摆 棍 偏离角度 1 、 小车的位移 x 、 摆 棍 的中心坐标为 ( 11, 图 4阶 倒立摆的物理模型 图 阶倒立摆的数学模型 10 阶倒立摆的运动方程式 根据以上一阶倒立摆的物理模型建立该 系统的数学模型。 为简化系统 ，在建立实际的 数学模型时，我们要 忽略了空气阻力和 导轨的 各种摩擦 ， 将 一阶 倒立摆系统 抽象 成小车和匀质杆组成的系统，如 上图 所示。 定义系统的相关参数 为： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数 l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆 惯 量 F：小车上 的作用 力 x：小车 的位移 ：摆 棍 垂直 向上 的夹角 ：摆 棍 垂直向下的夹角 图 4小车和摆杆受力分析图 根据系统 小车 的受力分析 ， 可得 ： M x F b x N （ 4 根据系统摆棍的受力分析 ， 可得 ： 22 ( s i n )dN m x （ 4 联立上式两式 ，可以得到系统的 第一个 运动方程： 2( ) c o s s i nM m x b x m l m l F （ 4 11 再 对摆 棍 垂直方向上的 受力状况，可得 ： 22 ( c o s )dP m g m （ 4 力矩平衡方程如下： s i n c o sP l N l I （ 4 因为： c o s c o ss in s （ 4 联立以上两式 ，得到 系统的 第二个运动方程： 2( ) s i n c o sI m l m g l m l x （ 4 一阶倒立摆的微分方程及传递函数 微分方程模型 设 = + ， 当 1 时， 可得 ： 2) 0（ 4 将上式线性化可 得微分方程表达式： 2()()I m l m g l m l xM m x b x m l u （ 4 传递函数模型 将以上 方程组 （ 4进行拉氏变换： 12 2 2 222( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )I m l s s m g l s m l X s sM m X s s b X s m l s s U s （ 4 输出角度为 ， 由 解方程组（ 4第一个方程， 可以得到： )()()( 22 (4或 m l 222)()()( (4若 令 ，则有： m g s 22 )()( )(4将 上式代入方程组（ 4第二个方程， 可以得到： )()()()()()()( 222222 (4整理后得到以输入力 u 为输入量， 以摆杆摆角 为输出量的传递函数： mg 23242)()()()( . (4其中 22 )()( 由牛顿力学可知：小车位置的传递函数为： 2( ) 1()s s 13 阶倒立摆的实际模型 由实验室中的数据可得实际系统参数： 小车质量 M 克 摆杆质量 m 克 小车摩擦系数 b 每立方； 摆棍质心的长度 l ; 摆杆转动惯量 I 克 *米 *米 输入系统参数可 得实际模型 把参数代入式 (4得摆杆 角度和小车位移的传递函数 为 ： 22( ) 0 . 0 2 7 2 5( ) 0 . 0 1 0 2 1 2 5 0 . 2 6 7 0 5s s (4把参数代入式 (4得摆杆 角度和小车加速度的传递函数 为 ： 2( ) 0 . 0 2 7 2 5( ) 0 . 0 1 0 2 1 2 5 0 . 2 6 7 0 5sV s s (4把参数代入式 (4得 摆杆角度和小车所受作用力 F 的传递函数： 32( ) 2 . 3 5 6 5 5( ) 0 . 0 8 8 3 1 6 7 2 7 . 9 1 6 9 2 . 3 0 9 4 2s s s s (4另外 小车位置和加速度的传递函数： 2( ) 1()s s (4 14 5 一阶 倒立摆的 制器设计与 真 制原 理 在模拟控制系统中， 制规律是 控制器最常用的控制规律。 图中 )： 制器传递函数 ； G(S)： 被控对象传递函数 图 5常规 制系统图 它的 控制规律 是： dt )(1)()(0(5传递函数的形式 为： 1)( )()(5也 可以将 传递函数写成 以下形式以便系统仿真模拟： )( )()( (5例系数； 分系数； 分时间常数。 制器各 个 环节的作用： （ 1） 比例环节：反映控制系统的偏差信号，以减少偏差 ，提高系统响应速度。 （ 2） 积分环节： 减少 消除 比例环节造成的 稳态误差 ，提高系统的 精确度 。 15 （ 3） 微分环节： 减少消除比例环节后的过冲量， 反映偏差信号的变化趋势，引入一个有效的早期修正信号，加快 系统的速度，减小调节时间。 制器设计 与仿真 将 输出量 设 为摆杆的位置，初始位置为垂直向上， 若 给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。 系统框图如下： 图 5直线一阶倒立摆闭环系统图 )( 控制器传递函数 ； )( 被控对象 摆杆的 传递函数 在我们对摆杆角度的控制过程中，再考虑小车位置，改进系统框图得以下框图： 图 5入位置输出的 直线一阶倒立摆系统结构框图 置的 传递函数 16 根据 制器各 个 环节的作用 ， 我们采用以下的 试凑法来 设定 制参数。 步骤如下： 确定比例系数。 定 积分环节。若只调节比例调节器的参数时，还不满足系统的静差设计要求，则加入积分环节。 定定微分时间。如果动态过程在反复调节比例调节器后仍达设计不到要求时，则加入微分环节。 系统的实际物理模型： 2 6 7 0 0 2 1 2 2 7 2 )( 2 s 2( ) 1()s s 在 软件 建立 以下一阶 倒立摆 制 模型： 图 5 一阶 倒立摆 制 真模型 图中的 封装（ 的 制器，双击 它便可 打开 设置 参数 。 17 图 5 数的窗口设置 先 调节 制器 的 P 参数 ，令 0,0,9 有 以下仿真结果： 图 5阶 倒立摆 P 控制仿真结果图（ 9） 由仿真图 可 知 ，控制曲线 发散 不收敛， 所以 增大 P 控制量， 令0,0,40 有 以下仿真结果： 图 5一阶 倒立摆 P 控制仿真结果图（ 40） 18 由仿真 图 可 知 ， 可知 控制系统持续振荡， 震荡 周期约为 。为 了 消除系统的振荡， 需要加入 微分控制参数 当 4,0,40 有以下的 仿真结果： 图 5一阶 倒立摆 制仿真结果图（ 40， 4） 由仿真图 可 知 ，稳定时间大约为 4 秒， 而且稳定 在两个振荡周期后， 所以 再 加大微分控制参数 增大微分控制为 ： 10,0,40 得到以下的仿真结果图 ： 图 5一阶 倒立摆 制仿真结果图（ 40， 10） 根据以上的仿真结果 图可以看出，系统 大约 在 后 达到 平衡 状态 ，但 依然 存在稳态误差。 为了 消除稳态误差， 所以 我们 再 增加积分参数 令： 10,20,40 有 以下仿真结果 图 ： 19 图 5 一阶 倒立摆 制仿真结果图（ 40， 20， 4） 根据以上的仿真结果 图可 知 ，系统可以 比较好 的稳定， 不过因为加入了 积分 环节的 因素影响 下 ， 系统 稳定时 大幅增 加 。 双击 模块 “ 得到 以下的 小车位置输出曲线： 图 5 一阶 倒立摆 制仿真结果图（小车位置曲线） 由以上的仿真结果 图可 知 ， 因为 制器为单输入单输出 的控制 系统，所以 在控制摆杆的角度 时 ，并不能 同时 控制小车的位置，小车会 向 一个方向 偏移 。 20 阶倒立摆的 时控制 在 进行 一阶倒立摆的 实时控制实验，在 建立如图 5示的直线一级倒立摆模型。 图 5 一阶 倒立摆 时控制界面 根据上一节得到 的控制参数， 设置一阶 倒立摆 时控制 实验的 参数 ，令参数 0、 0、 1 进行 一阶 倒立摆 时控制。 在控制过程中，提起 摆杆 到 竖直向上的位置， 当 程序进入自动控制后松开 摆棍 ， 然后让小车自动运动，再 用工具挡一下摆杆，使小车反向运动。 便可 得到 以下仿真图 5 图 5线一级倒立摆 制实验结果 1 由 图 5可以看出， 系统可以 很好并快速的 稳定 下来， 摆杆角度 约 在 度 （图 5下图） 。 和上节的 仿真结果 一样， 制器不能 控制 对小车的位置，（图 5上图） 小车会 朝着摆 杆有稍微的移动。 21 当施加 干扰的 时候 ， 得到以下的 小车位置和摆杆角度的变化曲线 5 图 5一阶倒立摆 制实验结果 2（给定干扰） 由 图 5可以看出 ， 系统 在干扰停止后，能快速的回复稳定，系统有 较好的 抵抗 外界干扰 的能力。 22 结论 从一阶倒立摆 制 实验结果图 可以分析得 出系统 平缓 稳定 。 调节过程比较平稳， 在 干扰作用下，系统可以 很好快速的 稳定 下来，响应结果好，超调量小，符合要求，证明 这组 数 与设定的 制器 具有 良好 的控制 作用与 效果。 若要使用 传统的非线性系统分析方法 必须得得到 非线性系统的精确模型， 但是现实 中 的非线性系统则 存在 着 大量复杂的多变量 、不确定性的 参数 和 结构。本文 采用制 技术 对 一阶 倒立摆控制进行了 详细的 分析 与试验 ， 而且使 用 计算机软件 进行了 一阶 倒立摆 控制 系统 的 仿真。 通过实验，得到 以下的 结论： (1) 分析非线性、多变量的控制系 统，如倒立摆系统的时候，对于某些次要的非线性的因素，必须在误差允许范围内将其线性化。 (2) 制 理论 能 很好的 实现 一阶 倒立摆的控制 ，系统响应速度快，超调量小，在干扰的作用下能快速的平稳下来 。 (3) 寻找 制参数中起了非常便利的作用， 大大节省调试时间 ，