广东省2017届高三联考数学试题（文科）含答案

2017届高三级联考 数学（文科） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4页，满分 150分，考试用时 120分钟。 注意事项： 1答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液 4考生必须保持答题卡的整洁。 第 卷（共 60分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分 , 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）设全集 ，若集合 1 | 0 4x， 2 2 则 （ A） | 4 （ B） | 4 （ C） 41| （ D） | 1 4 （ 2）平面向量 )2,1(a ， )2,4(b ， （ ），且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m （ A） 2 （ B） 1 （ C） 1 （ D） 2 （ 3）若复数 z 满足 ( 3 4 ) | 4 3 |i z i ,则 z 的虚部为 （ A） 4 （ B） 45（ C） 4 （ D） 45（ 4） 连续两次抛掷一枚骰子 ,记录向上的点数 ,则向上的点数之差的绝对值为 2的概率是 （ A）9（ B）29（ C）9（ D）3（ 5）如图，斜线段 所成的角为60， B 为斜足，平面 上的动点 P 满足030则点 P 的轨迹是 开始产生 0 1 之间的两个随机数分别赋给ii y, 2 ,（ A） 直线 （ B） 抛物线 （ C） 椭圆 （ D） 双曲线的一支 （ 6）一个四面体的三视图如右图所示，则该四面体的表面积是 （ A）13（ B）1 2 2（ C）23（ D）22（ 7） 若变量 , 4,0,0, 且 5z y x的最大值为 a ,最小值为 b ,则 值是 （ A） 48 （ B） 30 （ C） 24 （ D） 16 （ 8） 定义在 R 上的函数 () 6 ) ( )f x f x 1x 时 2( ) ( 2 )f x x ，当13x 时 , ()f x x 。则 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 0 1 2 )f f f f （ A） 335 （ B） 338 （ C） 1678 （ D） 2012 （ 9）已知两个等差数列 n 项和分别为 7 453 ，则使得整数的正整数 n 的个数是 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 （ 10）将函数( ) f x x的图像向右平移(0 )个单位后得到函数()对满足12( ) ( ) 2f x g x的1x，2，有12，则（ A）512（ B）3（ C）4（ D）6（ 11） 右图是用模拟方法估计圆周率 的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入 （ A）1000 （ B） 41000（ C）1000（ D） 41000 （ 12） 设函数 ,01)(为无理数，为有理数，下列结论错误的是 （ A） )(值域为 0,1 （ B） )(偶函数 （ C） )(是周期函数 （ D） )(是单调函数 第 卷（共 90分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 23题为选考题，考生根据要求作答。 二、 填空题：本小题共 4题，每小题 5分。 （ 13） 过点P（ ， ）作圆221的两条切线，切点分别为, . （ 14）在，4a，5b，6c，则 （ 15）设函数1s ()( 22 x ，最小值为 m ，则 =_. （ 16） 对于实数 a 和 b ，定义运算 “ ”：22 ， 设 )1()12()( 且关于 x 的方程 )()( 恰有三个互不相等的实数根321 , 实数 m 的取值范围是 _. 三、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12分） 某同学用 “五点法 ”画函数( ) ) ( 0 , | | )2x A x 在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： x0 2 32x 3 56 )0 5 50 （ ）请将上表数据补充完整， 填写在答题卡上相应位置 ，并直接写出函数()析式； （ ）将y f x图像上所有点向左平移( 0)个单位长度，得到()y 图像 . 若(), 0)12，求的最小值 . （ 18）（本小题满分 12分） 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝百合花，然后以每枝 10元的价格出售 下的百合花做垃圾处理 . （ ）若花店一天购进 17枝百合花，求当天的利润 y (单位：元 )关于当天需求量 n （单位：枝， ）的函数解析式 . （ ）花店记录了 100 天百合花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (i)假设花店在这 100 天内每天购进 17枝百合花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数； (花店一天购进 17枝百合花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75元的概率 . （ 19）（本小题满分 12分） 如图，在三棱锥 中，平面 面 为等边三角形， 2 分别为 的中点 （ I）求证： /面 （ 证：平面 面 （ 三棱锥 的体积 （ 20）（本小题满分 12分） 设 A 是单位圆 221上的任意一点， l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线， D 是直线 l 与 x 轴的交点，点 M 在直线 l 上，且满足 | | | | ( 0 , 1 )D M m D A m m 且. 当点 A 在圆上运动时，记点 （ ）求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （ ）过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P ， Q 两点，其中 P 在第一象限，它在 y 轴上的射影为点 N ，直线 曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ，使得对任意的0k ，都有 H ？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 . （ 21）（ 本小题满分 12分） 已知函数 ( ) e ,xf x x R . ( ) l n , ( 0 , )g x x x ( ) 若直线 2 )(图像相切 , 求实数 k 的值 ; ( ) 设 0x , 讨论曲线 )(与曲线 2 ( 0)y m x m 公共点的个数 . ( ) 设 , 比较 ( ) ( )2f a f b与 ( ) ( )f b f 的大小 , 并说明理由 . 请考生在第 22 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （ 22）（本小题满分 10分）选修 4标系与参数方程 在直角坐标系，直线 （以原点为极点， C 的极坐标方程为2 3 （ I）写出圆 C 的直角坐标方程； （ P 为直线 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标 （ 23）（本小题满分 10分）选修 4等式选讲 设常数 0a ,若 291 对一切正实数 x 成立 ,求 a 的取值范围 . 数学 （ 文科 ） 参考答案 一、选择题 （ 1） C （ 2） D （ 3） D （ 4） B （ 5） C （ 6） C （ 7） C （ 8） B （ 9） D （ 10） D （ 11） D （ 12） C 二、填空题 （ 13）23（ 14） 1 （ 15） 2 （ 16）410 答题 （ 17）解：（ ）数据补全如下表： x0 2 322)0 5 0 50 4 分 根据表中已知数据，解得5, 2, 6A . 故函数表达式为( ) 5 2 )6f x x. 6 分 （ ）由（ ）知 ( ) 5 2 )6f x x，得( ) 5 2 2 )6g x x .7 分 因为对称中心为(,0)k，Z. 8 分 令22 6 ，解得2 12 ，k. 9 分 由于函数()y 图像关于点, 0)12成中心对称，令 52 12 12k ， 10 分 解得 23k，kZ. 11 分 由0可知，当1k时，取得最小值6. 12 分 （ 18）解： （ ）当日需求量 17n 时，利润 85y ； 2 分 当日需求量 17n 时，利润 10 85， 4 分 y 关于 n 的解析式为 8 5 , 1 71 0 8 5 , 1 7 ； 6 分 （ ） (i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元， 20 天的日利润为 65 元， 16 天的日利润为75元， 54天的日利润为 85元， 8 分 所以这 100天的平均利润为 1 ( 5 5 1 0 6 5 2 0 7 5 1 6 8 5 5 4 )100 = 9 分 (润不低于 75元当且仅当日需求不少于 16枝， 10 分 故当天的利润不少于 75元的概率为 0 . 1 6 0 . 1 6 0 . 1 5 0 . 1 3 0 . 1 0 . 7p 12 分 （ 19） （ ） 证明：因为 分别为 的中点 ， 所以 1 分 又因为 面 面 所以 /面 4 分 （ ）因为C，B 的中点，所以B. 5分 又因为平面 平面 平面 平面 ，且面 所以面 7 分 又 面 所以平面 面 8 分 （ ）在等腰直角三角形C， 所以2, 1C. 9 分 所以等边三角形 面积为3. 10 分 又因为面 所以三棱锥 的体积为 S . 11 分 又因为三棱锥 的体积与三棱锥 的体积相等， 所以三棱锥 的体积为33. 12 分 （ 20） 解： （ ）如图 1，设 ( , )M x y ，00( , )A x y，则由 | | | | ( 0 , 1 )D M m D A m m 且， 可得00| | | |y m y，所以00 1| | | | 1 分 因为 A 点在单位圆上运动，所以 22001. 将 式代入 式即得所求曲线 C 的方程为 22 2 1 ( 0 , 1 )yx m 且. 2分 0 , 1) (1, )m ，所以 当 01m时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 3 分 两焦点坐标分别为 2( 1 , 0)m ， 2( 1 , 0)m ； 4分 当 1m 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 5分 两焦点坐标分别为 2(0, 1 )m， 2(0, 1)m . 6分 （ ） 解法 1： 如图 2、 3， 0k，设11( , )P x 2( , )H x y，则11( , )Q x ，1(0, )N 直线 方程为12y kx ， 将其代入椭圆 C 的方程并整理可得 2 2 2 2 2 2 211( 4 ) 4 0m k x k x x k x m . 7分 依题意可知此方程的两根为1x，2x，于是由韦达定理可得 2 112 224 4 ，即 212 224. 8分 因为点 以 212 1 2 2222 4k m xy k x k x . 9分 于是11( 2 , 2 )P Q x k x ， 22112 1 2 1 2 2 2 242( , ) ( , )44k x k m x x y k x m k m k . 10 分而 H 等价于 2 2 21224 ( 2 ) 04m k P H ， 11 分 即 220m，又 0m ，得 2m ，故存在 2m ，使得在其对应的椭圆 22 12上，对任意的 0k ，都有 H . 12分 P O x y N Q 图 2 (0 1)m H P O x y N Q 图 3 ( 1)m H 图 1 O D x y A M 第 20题解答图 解法 2： 如图 2、 3，1 (0, 1)x，设11( , )P x y，22( , )H x y，则11( , )Q x y，1(0, ) 因为 P ， H 两点在椭圆 C 上，所以 2 2 2 2112 2 2 222,m x y mm x y m 两式相减可得 2 2 2 2 21 2 1 2( ) ( ) 0m x x y y . 7分 依题意，由点 P 在第一象限可知，点 H 也在第一象限，且 P ， H 不重合， 故1 2 1 2( ) ( ) 0x x x x . 于是由 式可得 21 2 1 21 2 1 2( ) ( )( ) ( )y y y y mx x x x . 8分 又 Q ， N ， H 三点共线，所以即1 1 21 1 22 y y yx x x . 9 分 于是由 式可得 21 1 2 1 2 1 21 1 2 1 2 1 2( ) ( )12 ( ) ( ) 2P Q P H y y y y y y y x x x x x x x . 10 分 而 H 等价于 1 ，即 2 12m ， 又 0m ，得 2m ， 故存在 2m ，使得在其对应的椭圆 22 12上，对任意的 0k ，都有H . 12 分 （ 21） 解： （ ） 设直线 2 相切与点 ),(00 则有00001)( 2 分 解得330 , 所以34 分 （ ） 当 0,0 时 , 曲线 )(与曲线 2 ( 0)y m x m 的公共点个数即方程2)( 根的个数 . 由 ,)(22 x 5 分 令 22)2()()( , 6 分 则当 )2,0(x 时 0)( 即 )( )2,0( 上单调递减，有 ),2()( 当 ),2( x 时 0)( 即 )( )2,0( 上单调递增，也有 ),2()( 故4)2(2 是 )(极小值同时也为最小值 . 7 分 所以对曲线 )(与曲线 2 ( 0)y m x m 公共点的个数 ,讨论如下 : 当 m )4,0(2e 时 ,有 0个公共点； 当 m 42e ,有 1个公共点； 当 m ），（ 42e 有 2个