吉林省长春市2017届高三第二次模拟考试数学试题（文）含答案

长春市普通高中 2017 届高三质量检测（二） 数学试卷（文科） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 0 , 1 , 2 , | 2 , y y x A ，则 A. 0,1,2 B. 1,2 C. 1,2,4 D. 1,4 ，则下列命题中正确的是 . 2z ； 1 ； . z 的虚部为 i ； z 在复平面上对应的点位于第一象限 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 是奇函数又在 0, 上单调递增的函数是 A. e e B. C. . 1 2 224 关于直线 33称的圆的方程是 A. 2 23 1 4 B. 222 2 4 C. 22 24 D. 221 3 4 国古代数学名词，其三视图如图所示 .九章算术中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为 2丈，长为 18 丈 6 尺 ，高为 2 丈 5 尺，问它的体积是多少？”（注：一丈 =十尺），答案是 A. 25500 立方尺 B. 34300 立方尺 C. 46500 立方尺 D. 48100 立方尺 中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为，则向该标靶内投点，则该点落在区域二内的概率为 A. 14B. 13C. 27D. 387. 在 中， D 为 三 角 形 所 在 平 面 内 一 点 ， 且1132A D A B A C，则 A. 16B. 13C. 输出结果为 A. 1008 B. 1009 C. 2016 D. 2017 9. 关于函数 2 s i n 3 14 ，下列叙述有误的是 A. 其图象关于直线4x 对称 B. 其图像可由 2 s i n 14 图象上所有点横坐标变为原来的 13倍得到 C. 其图像关于点 11 ,012对称 1,3 10. 右图是民航部门统计的 2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是 A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降 C. 平均价格从高到低居 于前三位的城市为北京、深圳、广州 D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 的渐近线方程为 233，一个焦点为 0, 7F ，点 2, 0A ，点 P 为双曲线第一象限内的点，则当点 P 的位置变化时， 周长的最小值为 A. 8 B. 10 C. 4 3 7 D. 3 3 17 的函数 1,1 ，且对任意实数12都有 21212f x f ，则不等式 2l o g 2 3 1 3 l o g 3 1 的解集为 A. , 0 0,1 B. 0, C. 1, 0 0, 3 D. ,1 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 2 1co s 1 52. 14. 已知实数 ,0 ，则2的最大值为 . 15. 将 1,2,3,4正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第 10 行左数第 10 个数为 . 16. 已知四棱锥 P 的底面为矩形，平面 平面 C 于点 E ，1 , 6 , 3 , 2E C A B B C P E ，则四棱锥 P 的外接球半径为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 算过程 . 17.（本题满分 12 分） 已知数列 113 , 3 1 .2 a a n N （ 1）若数列 2，求证： （ 2）求数列 本题满分 12 分） 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支 得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于 180 厘米的玉米为高茎 玉米，否则为矮茎玉米 . （ 1）完成列 22 联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？ （ 2） 为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出 5 株，再从这 5 株玉米中选取 2 株进行杂交试验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？ 19.（本题满分 12 分） 已知三棱锥 A 中， 是等腰直角三角形，且 , 2 ,A C B C B C A D 平面, D （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 E 为 中点，求点 A 到平面 距离 . 20.（本题满分 12 分） 已知抛物线 2: 2 0C y p x p与直线 2 4 0 相切 . （ 1）求该抛物线的方程； （ 2）在 x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点 M,过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A,得2211M为定值 出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由 . 21.（本题满分 12 分） 已知函数 21 1 l n , x x a x a x a R （ 1）若 ，求 a 的值； （ 2）若 证：2 e 为自然对数的底数， ） 请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分 . 22.（本题满分 10 分）选修 4坐标与参数 方程 在平面直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 223 s i n 1 2，曲线2 c o （ t 为参数） , 0, （ 1）求曲线1判断该曲线是什么曲线； （ 2）设曲线2,B， 1,0P ,当 72B时，求 的值 . 23.（本题满分 10 分）选修 4等式选讲 （ 1）如果关 于 x 的不等式 15x x m 的解集不是空集，求实数 m 的取值范围； （ 2）若 ,证： a b b aa b a b . 长春市普通高中 2017 届高三质量监测（ 二 ） 数学（ 文 科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. B 2. C 3. D 4. D 5. C 6. B 7. D 8. A 9. C 11. B 12. A 简答与提示： 1. 【命题意图】 本题考查集合中元素的计算与交集的运算 . 【试题解析】 B 题意可知， | 0B y y， 1, 2. 故选 B. 2. 【命题意图】 本题考查复数的 模、共轭复数、 虚部与复数与平面内点的对应关系 . 【试题解析】 C 由已知， 正确， 错误 . 3. 【命题意图】 本题考查函数的单调性与奇偶性知识 . 【试题解析】 D A、 B 选项为偶函数，排除， C 选项是奇函数，但在 (0, ) 上不是单调递增函数 . 4. 【命题意图】 本题考查 直线与圆的相关知识 . 【试题解析】 D 圆 22( 2 ) 4 31, 3) ，从而所求圆的方程为 22( 1 ) ( 3 ) 4 故选 D. 5. 【命题意图】 本题主要 考查空间几何体的体积 . 【试题解析】 C 由已知 ， 堑堵的体积为 1 2 0 1 8 6 2 5 4 6 5 0 02 . 故选 C. 6. 【命题意图】 本题 主要考查几何概型 . 【试题解析】 B 设三个区域圆心角比值为 3:4:5 ，故区域二所占面积比 4112 37. 【命题意图】 本题 主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几 问题 . 【试题解析】 D 由已知， 点 D 在 的中位线上，且为靠近 的三等分点处，从而有 12. 8. 【命题意图】 本题考查直到型循环结构程序框图运算 . 【试题解析】 A 有已知， 0 1 2 3 4 2 0 1 5 2 0 1 6 1 0 0 8 S . 9. 【命题意图】 本题考查 三角函数的有关性质 . 【试题解析】 C 由已 知， 该函数关于点 11( ,1)12对称 . 10. 【命题意图】 本题主要考查 考试对统计图表的识别 . 【试题解析】 D 由 图可知 D 错误 . 11. 【命题意图】 本题考查双曲线定义的相关知识 . 【试题解析】 B 由已知 双曲线方程为 22143设双曲线的上焦点为 F ，则| | | | 4P F P F ， 周长为 | | | | | | | | 4 | | 3 P F P A A F P F P A，当 P 点在第一象限时， | | | | A 的最小值为 | | 3 故 周长的最小值为 12. 【命题意图】 本题是考查导数 在研究函数单调性上的应用 . 【试题解析】 A 令 ( ) ( ) 2F x f x x，由任意 ( ) ( ) 2 f x f ) 2 ( ) 2f x x f y y ，所以 () 1)1( f ，得(1 ) (1 ) 2 3 因为 2 2( l o g | 3 1 | ) 3 l o g | 3 1 | 价于22( l o g | 3 1 | ) 2 l o g | 3 1 | 3 令2lo g | 3 1 | ( ) 2 3f t t ， 则 有 1t ，即2lo g | 3 1 | 1x， 从而 | 3 1| 2x ，解得 1,x 且 0x . 故选 A. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 3414. 7 15. 91 16. 322简答与提示： 13. 【命题意图】 本题考查同角基本关系式和二倍角公式 . 【试题解析】 221 1 1 3c o s 1 5 ( 2 c o s 1 5 1 ) c o s 3 02 2 2 4 . 14. 【命题意图】 本题主要考查 线性规划 . 【试题解析】 通过画可行域可以确定，使目标函数2取最大值的最优解为(4,6) ，故 2 的最大值为 7 . 15. 【命题意图】 本题考查考生有关数列归纳的相关能力 . 【试题解析】 由三角形数组可推断出，第 n 行共有 21n 项，且最后一项为 2n ，所以第 10 行共 19 项，最后一项为 100， 左数第 10 个数是 91. 16. 【命题意图】 本题考查 四 棱锥的外接球问题 . 【试题解析】 由已知， 设 三角形 接圆圆心为1O， F 为 中点，进而求出132，设四 棱锥的外接球 球心为 O ，外接球半径的平方为 221 9()F，所以四 棱锥外接球 半径为 322. 三、解答题 17. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本题考查 等比 数列及数列前 . 【试题解析】 (1) 由题可知 *1 113 ( ) ( )22 N a n， 从而有1 3 11 12 以 为首项， 3为公比的等比数列 . （ 6分） (2) 由 (1)知 13 而 1 132 有 11 1 1 3 11 3 32 2 2 2 （ 12 分） 18. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本小题主要考查学生对概率 统计 知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力 . 【试题解析】 解： (1) 根据统计数据做出 22 列联表如下： 抗倒伏 易倒伏 合计 矮茎 15 4 19 高茎 10 16 26 合计 25 20 45 经计算 7 7 6 5k ，因此 可以在 犯错误概率不超过 1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关 . （ 6 分） (2) 分层抽样后，高茎玉米有 2 株，设为 ,茎玉米有 3 株，设为 ,中取出 2 株的取法有 , , , , , , , , ,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c，共 10 种，其中均为矮茎的选取方式有 ,ab ac 3 种，因此选取的植株均为矮茎的概率是 310. （ 12 分） 19. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本题以三 棱锥 为载体，考查 平面与平面垂直，求点到平面距离问题等 . 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 . 【试题解析】 （ 1） 证明：因为 平 面 ,面 所以 C ，又因为 ,A C B C A C A D A，所以 面 ,面 所以平面平面 （ 6 分） （ 2） 由已知可得 3取 点为 F ，连结 由于 1 22E D E C A B ，所以 为等腰三角形，从而 52 154，由（ 1）知 面 ,以 E 到平面 距离为 1， 32，令 A 到平面 距离为 d ，有11 133A E C D E C D E A C D A C d V S ，解得 255d . （ 12 分） 20. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本小题考查 直线与抛物线 的 位置关系及 标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力 . 【试题解析】 (1) 联立方程有 ，22 4 02 p x，有 2 2 2 8 0 y p y p，由于直线与抛物线相切，得 28 3 2 0 , 4 p p p，所以 2 8 （ 4 分） (2) 假设存在满足条件的点 ( , 0 )( 0 )M m m ，直线 : l x ty m ，有2 8x ty 8 8 0 y ty m ，设 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，有 1 2 1 28 , 8 y y t y y m，2 2 2 2 21 1 1| | ( ) ( 1 )A M x m y t y ， 2 2 2 2 22 2 2| | ( ) ( 1 )B M x m y t y ，22 2122 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 21 1 1 1 1 1 4( ) ( )| | | | ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4yy B M t y t y t y y t m ，当 4m 时，2211| | | |A M B M 为定值，所以 (4,0)M . （ 12 分） 21. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力 . 【试题解析】 (1) ( ) 1 af x x 为 ()，所以 (1) 0 f ，即 2 2 0 , 1 检验符合题意，所以 1a . （ 4 分） (2) ( ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) x x a x 当 0a 时， ( ) 0 成立，所以 ()0, ) 上为增函数，不符合题意； 当 0a 时，由 ( ) 0 当 ( ) 0 所以 () 当 0( ) 0 所 () 所以当 ()又因为 ()所以 ( ) 0即 21 ( 1 ) l n 02 a a a a 2 1( ) l n 12h a a a ， 11( ) 02ha a ， ()定义域内单 调 递 增 ， ( ) ( ) ( l n 1 ) ( l n 1 ) ( l n 2 )2 2 4 2 2 4e e e e e eh h e e ，由l n 2 0 . 6 9 3 1 , 2 . 7 1 8 2 8e知 04e ，故 2成立 . （ 12 分） 22. (本小题满分 10 分 ) 【命题意图】 本小题主