2017年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若复数 z 满足（ 1+i） z=2 i（ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A B C 2 D 2已知集合 A=x|（ x+1）（ x 2） 0， B=x|2 x） 1，则 A （ =（ ） A B x|x 1， x 2 C x|x 1 D x|x 1， x 2 3函数 y=1 2x ）是（ ） A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 4执行如图所示的程序框图，则输出 S 的结果为（ ） A 2 B 1 C D 5若正数 x， y 满足 ，则 3x+4y 的最小值是（ ） A 24 B 28 C 25 D 26 6为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了 “家庭每月日常消费额 ”的调查他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为 它们的大小关系为（ ） A 在 ， 的值为（ ） A B C D 8不等式组 表示的点集 M，不等式组 表示的点集记为 N，在 M 中任取一点 P，则 P N 的概率为（ ） A B C D 9已知 a R，则 “a 0”是 “函数 f（ x） =|x（ ） |在（ ， 0）上是减函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 10 九章算术是我国数学史上堪与欧几里得几何原本相媲美的数学名著其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈已知直三棱柱 ， B=3， ，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11在 的展开式中， x 的系数为 （用数字作答） 12已知双曲线 C 的中心为坐标原点 ，它的焦点 F（ 2， 0）到它的一条渐近线的距离为 ，则 C 的离心率为 13若 “ R， |+|1| m”是真命题，则实数 m 的最小值是 14某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是 15已知函数 f（ x） =|x g（ x） =x） +f（ x），若方程 g（ x） = 1 有且仅有 4 个不同的实数解，则实数 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（ 12 分）将函 数 的图象上每点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 y=f（ x）的图象 （ 1）求函数 f（ x）的解析式及其图象的对称轴方程； （ 2）在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 ，求 值 17（ 12 分）在队内羽毛球选拔赛中，选手 M 与 位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计， M 获胜的概率分别为 ，且各场比赛互不影响 （ 1）若 M 至少获胜两场的概率大于 ，则 M 入选下一轮，否则不予入选，问M 是否会入选下一轮？ （ 2）求 M 获胜场数 X 的分布列和数学期望 18（ 12 分）已知等差数列 前 n 项和为 ， 4 （ 1）求 （ 2）将 掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列 前三项，求数列 前 n 项和 19（ 12 分）在四边形 （如图 ）， G 为 一点，且 G=1， D=2， M 为 中点，点 P 为边 的点，且满足 沿 叠使平面 平面 图 ） （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 20（ 13 分）已知函数 f（ x） =x1 a（ x+ a R （ 1）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线为 x 轴，求 a 的值： （ 2）在（ 1）的条件下，求 f（ x）的单调区间； （ 3）若 x 0， f（ x） f（ m）恒成立，且 f（ m） 0，求证： f（ m） 2（ 21（ 14 分）在平面直角坐标系 ，抛物线 E： y 的焦点 F 是椭圆（ a b 0）的一个顶点过点 F 且斜率为 k（ k 0）的直线 l 交椭圆 C 于另一点 D，交抛物线 E 于 A、 B 两点，线段 中 点为 M，直线 椭圆 C 于 P、 Q 两点，记直线 斜率为 k，满足 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）记 面积为 面积为 ，求实数 的最大值及取得最大值时直线 l 的方程 2017 年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若复数 z 满足（ 1+i） z=2 i（ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A B C 2 D 【考点】 复数代数 形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 【解答】 解：由（ 1+i） z=2 i，得 |z|= 故选： B 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 2已知集合 A=x|（ x+1）（ x 2） 0， B=x|2 x） 1，则 A （ =（ ） A B x|x 1， x 2 C x|x 1 D x|x 1， x 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 先分别求出集合 A 和 B，再求出 此能求出 A （ 【解答】 解： 集合 A=x|（ x+1）（ x 2） 0=x|x 2 或 x 1， B=x|2 x） 1=x| 1 x 2， x|x 2，或 x 1， 则 A （ =x|x 2，或 x 1 故选： D 【点评】 本题考查交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用 3函数 y=1 2x ）是（ ） A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小 正周期为 的偶函数 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 利用二倍角公式化简函数的解析式为 y= 而得出结论 【解答】 解： =2x ） = 2x） = 故函数 y 是最小正周期为 的奇函数， 故选： A 【点评】 本题主要考查二倍角公式的应用，正弦函数的周期性和奇偶性，属于中档题 4执行如图所示的程序框图，则输出 S 的结果为（ ） A 2 B 1 C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，可得程序框图的功能计算即可 【解答】 解 ： S=2， k=1 5， 则 S=1 = ， k=2 5， 则 S=1 2= 1， k=3 5， 则 S=1（ 1） =2， k=4 5 则 S=1 = ， k=5，不小于 5，输出 S= ， 故选： C 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图得程序框图的功能是解题的关键，属于基础题 5若正数 x， y 满足 ，则 3x+4y 的最小值是（ ） A 24 B 28 C 25 D 26 【考点】 基本不等式 【分析】 利用 “乘 1 法 ”与基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： 正数 x， y 满足 ， 则 3x+4y=（ 3x+4y） =13+ 13+3 =25，当且仅当x=2y=5 时取等号 3x+4y 的最小值是 25 故选： C 【点评】 本题考查了 “乘 1 法 ”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了 “家庭每月日常消费额 ”的调查他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为 它们的大小关系为（ ） A 考点】 极差、方差与标准差 【分析】 根据题意，分析 3 个频率分布直方图：第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字数据较分散，各个段内分布均匀，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端最分散，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，是集中，由此得到结果 【解答】 解：根据三个频率分步直方图知， 第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差、标准差最大； 第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数 据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差、标准差小， 而第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差、标准差最小， 总上可知 故选： B 【点评】 本题考查频率直方图的应用，涉及标准差的意义，需要从频率直方图分析波动的大小 7在 ， 的值为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据题意画出图形，结合平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出运算结果 【解答】 解：如图所示， ， ， ， = ， D 为 中点， = （ + ）； 又 = = （ ）， = （ + ） （ ） = （ ） = （ 32 22） = 故选： C 【点评】 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题目 8不等式组 表示的点集 M，不等式组 表示的点集记为 N，在 M 中任取一点 P，则 P N 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 求出面积，利用几何概型的公式解答 【解答】 解：不等式组 表示的点集 M，对应的区域面积为 2 2=4， 区域面积为 （ x+1 2 x2+x | = ， 由几何概型公式得，在 M 中任取一点 P，则 P N 的概率为 故选： B 【点评】 本题考查了几何概型的公式的运用，关键是求出区域面积，利用几何概型公式求值 9已知 a R，则 “a 0”是 “函数 f（ x） =|x（ ） |在（ ， 0）上是减函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 对 a 分类讨论，利用二次函数的单调性、绝对值函数的意 义即可得出 【解答】 解： a=0 时，函数 f（ x） =|x（ ） |=|x|在（ ， 0）上是减函数 a 0 时， f（ x） =|a |，若函数 f（ x） =|x（ ） |在（ ， 0）上是减函数，则 0，解得 a 0 因此 “a 0”是 “函数 f（ x） =|x（ ） |在（ ， 0）上是减函数 ”的充分不必要条件 故选： A 【点评】 本题考查了简易逻辑的判定方法、二次函数的单调性、绝对值函数的意义、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10九章算术是我国数学史上堪与欧几里得几 何原本相媲美的数学名著其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈已知直三棱柱 ， B=3， ，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为（ ） A B C D 【考点】 球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 分别求出鳖膈的体积与其外接球的体积，即可得出结论 【解答】 解：由题意，鳖膈的体积 = =10 ， 其外接球的半径为 =5，体 积为 = ， 鳖膈的体积与其外接球的体积之比为 10 ： =3 ： 50， 故选 C 【点评】 本题考查鳖膈的体积与其外接球的体积，考查学生的计算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11在 的展开式中， x 的系数为 24 （用数字作答） 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，令展开式中 x 的指数为 1，即可求出 【解答】 解：在 的展开式中， 通项公式为 = r = 2r， 令 4 r=1，解得 r=2； 展开式中 x 的系数为： 22 =24 故答案为： 24 【点评】 本题考查了二项式定理的应用问题，着重考查了二项展开式的通项公式，是基础题 12已知双曲线 C 的中心为坐标原点，它的焦点 F（ 2， 0）到它的一条渐近线的距离为 ，则 C 的离心率为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用点到直线的距离，结合已知条件列式，利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率 【解答】 解：双曲线的一条渐近线方程为 bx+， 焦点 F（ 2， 0）到它的一条渐近线的距离为 ， = ， b= c， a= c， e= =2 故答案为 2 【点评】 本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与焦距的关系，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题 13若 “ R， |+|1| m”是真命题，则实数 m 的最小值是 2 【考点】 特称命题 【分析】 写出该命题的否定命题，根据否定命题求出 m 的取值范围，即可得出结论 【解答】 解：若 “ R， |+|1| m”是真命题， 它的否定命题是 “ x R，有 |x+1|+|x 1| m”，是假命题， |x+1|+|x 1| 2 恒成立， m 的最小值是 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了函数的最值以及命题的真假的应用问题，是基础题 14某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图得出该几何体是正方体的内接正三棱锥，画出图形求出三棱锥的棱长， 利用面积公式求出几何体的表面积 【解答】 解：如图所示， 该几何体是正方体的内接正三棱锥； 设正方体的棱长为 a， 则几何体的体积是 V=4 a2a= ， a=1， 三棱锥的棱长为 ， 因此该三棱锥的表面积为 S=4 =2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了正方体的内接正三棱锥表面积的计算问题，关键是根据三视图得出几何体的结构特征 15已知函数 f（ x） =|x g（ x） =x） +f（ x），若方程 g（ x） = 1 有且仅有 4 个不同的实数解，则实数 的取值范围是 （ ， e ） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 设 f（ x） =t，研究 f（ x）的单调性和极值，得出 f（ x） =t 的解的情况，从而确定关 于 t 的方程 t+1=0 的解的分布情况，利用二次函数的性质得出 的范围 【解答】 解： f（ x） = ， 当 x 0 时， f（ x） =ex+ 1+x） 0， f（ x）在 0， + ）上是增函数， 当 x 0 时， f（ x） = 1 x） 当 x 1 时， f（ x） 0，当 1 x 0 时， f（ x） 0， f（ x）在（ ， 1上是增函数，在（ 1， 0）上是减函数 当 x= 1 时， f（ x）取得极大值 f（ 1） = 令 f（ x） =t， 又 f（ x） 0， f（ 0） =0， 则当 t 0 时， 方程 f（ x） =t 无解； 当 t=0 或 t 时，方程 f（ x） =t 有一解； 当 t= 时，方程 f（ x） =t 有两解； 当 0 时，方程 f（ x） =t 有三解 g（ x） =x） +f（ x） = 1 有四个不同的实数解， 关于 t 的方程 t+1=0 在（ 0， ）和（ ， + ）上各有一解， ，解得： e 故答案为（ ， e ） 【点评】 本题考查了函数的零点个数与单调性和极值的关系，二次函数的性质，换元法解题思想，属于中档题 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 16（ 12 分）（ 2017枣庄一模）将函数 的图象上每点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 y=f（ x）的图象 （ 1）求函数 f（ x）的解析式及其图象的对称轴方程； （ 2）在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 ，求 值 【考点】 三角形中的几何计算；函数 y=x+）的图象变换 【分析】 （ 1）由题意和图象平移变换法则求出 f（ x）的解析式，由整体思想和正弦函数的对称轴方程求出其图象的对称轴方程； （ 2）由（ 1）化简 ，由内角的范围和特殊角的三角函数值 求出 A，由条件和正弦定理求出 值 【解答】 解：（ 1）由题意得， f（ x） = ， 令 得， ， 所以 f（ x）的图象的对称轴方程是 ； （ 2）由（ 1）得， ， 因 0 A ，所以 ， 则 或 = ，解得 A= 或 A= ， 当 A= 时，因为 ， 所以由正弦定理得 ， 则 = = ； 当 A= 时，因为 ， 所以由正弦定理得 ， 则 = = 【点评】 本题考查正弦定理，三角函数图象平移变换法则，以及正弦函数的对称轴方程的应用，考查整体思想，化简、计算能力 17（ 12 分）（ 2017枣庄一模）在队内羽毛 球选拔赛中，选手 M 与 3 三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计， M 获胜的概率分别为 ，且各场比赛互不影响 （ 1）若 M 至少获胜两场的概率大于 ，则 M 入选下一轮，否则不予入选，问M 是否会入选下一轮？ （ 2）求 M 获胜场数 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出 （ 2）利用相互独立事件与互斥事件的概率计算公式及其分布列与数学期望计算公式即可得出 【解答】 解：（ 1） M 与 行对抗赛获胜的事件分别为 A， B， C，M 至少获胜两场的事件为 D， 则 P（ A） = ， P（ B） = ， P（ C） = 由于事件 A， B， C 相互独立， 所以 P（ D） =P（ +P + +P（ ） = +（ 1 ） + （ 1 ） + （ 1 ） = ， 由于 = ，所以 M 会入选下一轮 （ 2） M 获胜场数 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，则 P（ X=0） =（ 1 ） （ 1 ） （ 1 ） = ， P（ X=1） =（ 1 ） （ 1 ） +（ 1 ） （ 1 ） + （ 1 ） （ 1 ） = ， P（ X=2） =（ 1 ） + （ 1 ） + （ 1 ） = ， P（ X=3） = = X 0 1 2 3 P 数学期望 E（ X） =0 +1 +2 +3 = 【点评】 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017枣庄一模）已知等差数列 前 n 项和为 ，4 （ 1）求 （ 2）将 掉一项后， 剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列 前三项，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式结合已知列式求得首项和公差，则 求； （ 2）由（ 1）知数列 前 5 项为 5， 4， 3， 2， 1，可知：等比数列 前3 项为 4， 2， 1首项为 4，公比为 ，可得 用 “错位相减法 ”可得 【解答】 解：（ 1）设等差数列 首项为 差为 d， 由 ， 4，得 ，解得 ， d= 1 （ n 1） =6 n； （ 2）由（ 1）知数列 前 5 项为 5， 4， 3， 2， 1， 等比数列 前 3 项为 4， 2， 1， 首项为 4，公比为 ， ， 数列 前 n 项和 则 （ 6 n） ， =5 +4 + +（ 7 n） +（ 6 n） ， =5 （ 6 n） =5 =4+（ n 4） 【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017枣庄一模）在四边形 （如图 ）， G 为 一点，且 G=1， D=2， M 为 中点，点 P 为边 的点，且满足 沿 叠使平面 平面 图 ） （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）利用勾股定理，证明 据平面与平面垂直的性质，证明 平面 可证明平面 平面 （ 2）取 中 点 H，连接 平面 接 直线 平面 成的角，即直线 平面 成角 【解答】 （ 1）证明：在直角梯形 ， G=1， D=2， ， = ， ， 平面 平面 面 平面 C， 平面 平面 平面 平面 （ 2）解：取 中点 H，连接 平面 接 直线 平面 成的角，即直线 平面 成角 由（ 1），作 平面 平面 = = ， ， ， ， 由 N=M，得 ， ， 直角梯形 ， ， = ， 直线 平面 成角的正弦值为 【点评】 本题考查平面与平面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 20（ 13 分 ）（ 2017枣庄一模）已知函数 f（ x） =x1 a（ x+ a R （ 1）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线为 x 轴，求 a 的值： （ 2）在（ 1）的条件下，求 f（ x）的单调区间； （ 3）若 x 0， f（ x） f（ m）恒成立，且 f（ m） 0，求证： f（ m） 2（ 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数 f（ x）的对数，计算 f（ 1）， f（ 1），求出切线方程即可； （ 2）求出函数 f（ x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数 的单调区间即可； （ 3）求出函数 f（ x）的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间，从而证明不等式即可 【解答】 解：（ 1） f（ x）的定义域是（ 0， + ）， f（ x） =1+x1 a（ 1+ ）， 故 f（ 1） =1 a， f（ 1） =2 2a， 故切线方程是： y（ 1 a） =（ 2 2a）（ x 1）， 即 y=（ 2 2a） x+a 1； 由 2 2a=0，且 a 1=0，解得： a=1； （ 2）由（ 1）得 a=1， f（ x） =（ x+1）（ 1 ）， 令 g（ x） =1 ， x （ 0， + ）， g（ x） =1+ 0，故 g（ x）在（ 0， + ）递增， 又 g（ 1） =0， x （ 0， 1）时， g（ x） g（ 1） =0， 此时 f（ x） 0， f（ x）递减， x （ 1， + ）时， g（ x） g（ 1） =0，此时 f（ x） 0， f（ x）递增， 故 f（ x）在（ 0， 1）递减，在（ 1， + ）递增； （ 3） f（ x） =（ x+1）（ 1 ）， 令 h（ x） =1 ， x （ 0， + ）， a 0 时， h（ x） 0，此时 f（ x） 0， f（ x）递增，无最小值， 故 a 0 不合题意； a 0 时， h（ x） 0， h（ x）在（ 0， + ）递增， 取实数 b，满足 0 b ， ， 则 1 = ， 2， 故 h（ b） =1 2 0， 又 h（ a+1） = 1 = 0， 存在唯一的 （ b， a+1），使得 h（ =0，即 a= x （ 0， ， h（ x） h（ =0，此时 f（ x） 0， f（ x）递减， x （ + ）时， h（ x） h（ =0，此时 f（ x） 0， f（ x）递增， 故 x=， f（ x）取最小值， 由题设， x0=m，故 a=m1， m 1， f（ m） =1（ 1 m 由 f（ m） 0，得 1 m 0， 令 （ m） =1 m 然 （ x）在（ 0， + ）递减， （ 1） =0， ， 1 m 0，故 0 m 1， 下面证明 1 m，令 n（ x） =1 m