2017年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1已知复数 z 满足 zi=2 i（ i 为虚数单位），则 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 A=x|x 3 0， B=x|0 x 3，则 A B=（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 3） C（ 1， 1） D（ 1， 3） 3设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ） A若 m ， m ，则 B若 m ， ，则 m C若 m， m ，则 D若 m， ，则 m 4在区间 1， 1上随机取一个数 k，使直线 y=k（ x+3）与圆 x2+ 相交的概率为（ ） A B C D 5执行如图所示的程序框图，则输出的 s 的值是（ ） A 7 B 6 C 5 D 3 6在 ， | |= | |， | |=| |=3，则 =（ ） A 3 B 3 C D 7某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱 长等于（ ） A B C D 8已知 x， y 满足约束条件 ，且 z=2x+4y 的最小值为 2，则常数 k=（ ） A 2 B 2 C 6 D 3 9将函数 y=2x+ ）的图象向左平移 个单位后，得到 f（ x）的图象，则（ ） A f（ x） = f（ x）的图象关于 x= 对称 C f（ ） = D f（ x）的图象关于（ ， 0）对称 10已知函数 满足条件：对于 R，且 0， 唯一的R 且 得 f（ =f（ 当 f（ 2a） =f（ 3b）成 立时，则实数 a+b=（ ） A B C +3 D +3 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分） 11若双曲线 的渐近线为 ，则双曲线 C 的离心率为 12已知 为第四象限角， ，则 13观察下列等式： 13=12， 13+23=32， 13+23+33=62， 13+23+33+43=102， 根据上述规律，第 n 个等式为 14已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，若 g（ x） =f（ x+1） +5， g（ x）为 g（ x）的导函数，对 x R，总有 g（ x） 2x，则 g（ x） 的解集为 15以下命题： “x=1”是 “3x+2=0”的充分不必要条件； 命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x 1，则 3x+2 0” 对于命题 p： x 0，使得 x2+x+1 0，则 p： x 0，均有 x2+x+1 0 若 p q 为假命题，则 p， q 均为假命题 其中正确命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上） 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16（ 12 分）已知函数 f（ x） =4x+ ） +m（ m R），当 x 0， 时， f（ x）的最小值为 1 （ ）求 m 的值； （ ）在 ，已知 f（ C） =1， ，延长 D，使 D，且 ，求 面积 17（ 12 分）某大学高等数学老师这学期分别用 A、 B 两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为 60 人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）现随机抽取甲、乙两班各 20 名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图如图： （ 1）学校规定：成绩不得低于 85 分的为优秀，请填写如表的 2 2 列联表，并判断 “能否在犯 错误的概率不超过 前提下认为成绩优秀与教学方式有关？ ” 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考： P（ k） k 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d） （ 2）现从甲班高等数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为 86 分的同学至少有一个被抽中的概率 18（ 12 分）若数列 公差为 2 的等差数列，数列 足 ， 且bn= （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设数列 足 ，数列 前 n 项和为 4 19（ 12 分）如图，在四棱锥 P ，四边形 平行四边形， D 相交于点 O，点 E、 F、 G 分别为 中点， A， 求证：（ 1） 平面 （ 2）平面 平面 20（ 13 分）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）经过点（ ， 1），过点 A（ 0， 1）的动直线 l 与椭圆 C 交于 M、 N 两点，当直线 l 过椭圆 C 的左焦点时，直线 l 的斜率为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）是否存在与点 A 不同的定点 B，使得 成立？若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由 21（ 14 分）已知函数 f（ x） =， g（ x） = （ 1）求函数 f（ x）在 t， t+2（ t 0）上的最小值； （ 2）若存在 ， e使得 +g（ 2x0+m 成立，求实数 m 的取值范围 2017 年山东省 泰安市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1已知复数 z 满足 zi=2 i（ i 为虚数单位），则 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由 zi=2 i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求 【解答】 解：由 zi=2 i， 得 = ， 则 ， 则 在复平面内对应的点的坐标为：（ 1， 2），位于 第二象限 故选： B 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 2已知集合 A=x|x 3 0， B=x|0 x 3，则 A B=（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 3） C（ 1， 1） D（ 1， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：集合 A=x|x 3 0=（ 3， 1）， B=x|0 x 3=（ 0， 3），则 A B=（ 0， 1）， 故选： A 【点评】 此题考查了交集及其运 算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 3设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ） A若 m ， m ，则 B若 m ， ，则 m C若 m， m ，则 D若 m， ，则 m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 在 A 中， 与 相交或平行；在 B 中， m 或 m；在 C 中，由面面垂直的判定定理得 ；在 D 中， m 与 相交、平行或 m 【解答】 解：由 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，知： 在 A 中，若 m ， m ，则 与 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中，若 m ， ，则 m 或 m，故 B 错误； 在 C 中，若 m， m ，则由面面垂直的判定定理得 ，故 C 正确； 在 D 中，若 m， ，则 m 与 相交、平行或 m，故 D 错误 故选： C 【点评】 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用 4在区间 1， 1上随机取一个数 k，使直线 y=k（ x+3）与圆 x2+ 相交的概率为（ ） A B C D 【考点】 几 何概型 【分析】 利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的 k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求 【解答】 解：圆 x2+ 的圆心为（ 0， 0） 圆心到直线 y=k（ x+3）的距离为 要使直线 y=k（ x+3）与圆 x2+ 相交，则 1，解得 k 在区间 1， 1上随机取一个数 k，使 y=k（ x+3）与圆 x2+ 相交的概率为= 故选： C 【点评】 本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础 题 5执行如图所示的程序框图，则输出的 s 的值是（ ） A 7 B 6 C 5 D 3 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，根据流程图所示的顺序， 可知该程序的作用是累加并输出 S 5 时的值 【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是 累加 S=1+02+12+22+ +（ k 1） 2 的值 S=1+02+12+22=6 5 输出 S=6 故选： B 【点评】 本题考查了根据流程图写出程序运行结果的问题，是基础题 6在 ， | |= | |， | |=| |=3，则 =（ ） A 3 B 3 C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意，画出图形，利用向量的平行四边形法则得到对角线长度的关系，求出 到 形状即可求得 【解答】 解 ： 由 平 面 向 量 的 平 行 四 边 形 法 则 得 到 ， 在 ，| |= | |， | |=| |=3，如图，设 |x，则 | x，所以|+|=| 即 3x2+，解得 x= ， 所以 |3，所以 等边三角形，所以 =3 3 = ； 故选： C 【点评】 本题考查向量加法的平行四边形法则，向量数量积的计算公式；关键是正确判断三角形的形状 7某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为 5 的三棱锥，即可求得 【解答】 解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为 5 的三棱锥， 棱锥最长的棱长等于 = ， 故选 C 【点评】 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，比较基础 8已知 x， y 满足约束条件 ，且 z=2x+4y 的最小值为 2，则常数 k=（ ） A 2 B 2 C 6 D 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数后由 z 的值等于 2 求得 k 的值 【解答】 解：由约束条件 作可行域如图， 图中以 k=0 为例，可行域为 其内部区域， 当 k 0，边界 移，当 k 0 时，边界 移，均为 其内部区域 由 z=2x+4y，得直线方程 y= x+ ， 由图可知，当直线 y= x+ 过可行域内的点 A 时， z 最小 联立 ，得 A（ 3， k 3） 3+4（ k 3） = 4k 6=2，解得 k= 2 故选： B 【点评】 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题 9将函数 y=2x+ ）的图象向左平移 个单位后，得到 f（ x）的图象，则（ ） A f（ x） = f（ x）的图象关于 x= 对称 C f（ ） = D f（ x）的图象关于（ ， 0）对称 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用诱导公式、 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论 【解答】 解：将函数 y=2x+ ）的图象向左平移 个单位后，得到 f（ x）=（ x+ ） + =2x+ ） = 2x+ ）的图象，故排除 A； 当 x= 时， f（ x） =1，为最大值，故 f（ x）的图象关于 x= 对称，故 f（ ） = ，故排除 C； 当 x= 时， f（ x） = 0，故 f（ x）的图象不关于（ ， 0）对称，故 D 错误， 故选： B 【点评】 本题主要考查诱导公式的应用，利用了 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题 10已知函数 满足条件：对于 R，且 0， 唯一的R 且 得 f（ =f（ 当 f（ 2a） =f（ 3b）成立时，则实数 a+b=（ ） A B C +3 D +3 【考点】 分段函数的应用 【分析】 根据条件得到 f（ x）在（ ， 0）和（ 0， + ）上单调，得到 a， 系进行求解即可 【解答】 解：若对于 R，存在唯一的 R，使得 f（ =f（ f（ x）在（ ， 0）和（ 0， + ）上单调， 则 b=3，且 a 0， 由 f（ 2a） =f（ 3b）得 f（ 2a） =f（ 9）， 即 2= +3=3+3， 即 a= ， 则 a+b= +3， 故选： D 【点评】 本题主要考查分段函数的应用，根据条件得到 a， b 的关系是解决本题的关键 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分） 11若双曲线 的渐近线为 ，则双曲线 C 的离心率为 2 【考点】 双曲线的简单性 质 【分析】 先利用双曲线的几何性质，焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为，得 = ，在两边平方，利用双曲线离心率的定义求其离心率即可 【解答】 解： 双曲线 的渐近线为 ， = =3 即 1=3 e=2 故答案为 2 【点评】 本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，双曲线的渐近线定义及其应用，双曲线的离心率定义及求法，属基础题 12已知 为第四象限角， ，则 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 利用同角三角函数的基本关系，以 及三角函数在各个象限中的符号，求得 得 【解答】 解： 为第四象限角， ， 0， 0， 1+2， 2 ， = = ， 解得 ， ， 则 = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题 13观察下列等式： 13=12， 13+23=32， 13+23+33=62， 13+23+33+43=102， 根据上述规律，第 n 个等式为 13+23+33+ + 1+2+3+ +n） 2= 2 【考点】 归纳推理 【分析】 左边是从 1 开始连续自然数的立方的和，右边是左边的所有自然数的和的平方，根据此规律列式计算即可得解 【解答】 解： 13=12， 13+23=32， 13+23+33=62， 13+23+33+43=102， 13+23+33+ + 1+2+3+ +n） 2= 2 故答案为 13+23+33+ + 1+2+3+ +n） 2= 2 【点评 】 本题是对数字变化规律的考查，观察出等式右边的底数是等式左边的所有底数的和是解题的关键，也是本题的难点 14已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，若 g（ x） =f（ x+1） +5， g（ x）为 g（ x）的导函数，对 x R，总有 g（ x） 2x，则 g（ x） 的解集为 （ ， 1） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 求出 g（ x）的图象关于点（ 1， 5）对称，令 h（ x） =g（ x） 4，根据函数的单调性求出不等式的解集即可 【解答】 解：因为函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， 所以 函数 f（ x）关于原点对称， 又 g（ x） =f（ x+1） +5， 故 g（ x）的图象关于点（ 1， 5）对称， 令 h（ x） =g（ x） 4， h（ x） =g（ x） 2x， 对 x R， g（ x） 2x， h（ x）在 R 上是增函数， 又 h（ 1） =g（ 1）（ 1） 2 4=0， g（ x） 的解集是（ ， 1）， 故答案为：（ ， 1） 【点评】 本题考查了解不等式问题，考查函数的单调性以及导数的应用，考查对称性，是一道中档题 15以下命题： “x=1”是 “3x+2=0”的充分不 必要条件； 命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x 1，则 3x+2 0” 对于命题 p： x 0，使得 x2+x+1 0，则 p： x 0，均有 x2+x+1 0 若 p q 为假命题，则 p， q 均为假命题 其中正确命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 ， “x=1”时 “3x+2=0”成立， “3x+2=0”时， “x=1或 2，； ，命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x 1，则 3x+2 0”； ， 对于命题 p 的 p 只否定结论； ，若 p q 为假命题，则 p， q 中至少有一个为假命题； 【解答】 解：对于 ， “x=1”时 “3x+2=0”成立， “3x+2=0”时， “x=1或 2，故正确； 对于 ，命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x 1，则 3x+2 0”，正确； 对于 ，对于命题 p： x 0，使得 x2+x+1 0，则 p： x 0，均有 x2+x+1 0，故错； 对于 ，若 p q 为假命题，则 p， q 中至少有一个为假命题，故错； 故答案为： 【点评】 本题考查了命题真假的判定，属 于基础题 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16（ 12 分）（ 2017泰安一模）已知函数 f（ x） =4x+ ） +m（ m R），当 x 0， 时， f（ x）的最小值为 1 （ ）求 m 的值； （ ）在 ，已知 f（ C） =1， ，延长 D，使 D，且 ，求 面积 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（ x） =22x+ ） +m+1由 x 0， ，利用正弦函数的性质可求 22x+ ） 1，结合已知可求 m 的值 （ ）由（ ）可得 22C+ ） =1，结合范围 C （ 0， ），可求 C= ，设 C=x，则 x，在 ，由余弦定理可解得 x，进而由余弦定理可求 用同角三角函数基本关系式可求 用三角形面积公式即可计算得解 【解答】 解：（ ） f（ x） =4x+ ） +m =4 +m = m = +m =22x+ ） +m+1 x 0， ， 2x+ ， ，可得： 22x+ ） 1， f（ x） = 1= 1+m+1，解得： m= 1 （ ） 由（ ）可得： f（ x） =22x+ ）， 22C+ ） =1， C （ 0， ），可得： 2C+ （ ， ）， 2C+ = ，解得： C= ， 如图，设 C=x，则 x， 在 ，由余弦定理可得： = ，解得 x= ， = ，可得： = ， S D= 【点评】 本题主 要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 17（ 12 分）（ 2017泰安一模）某大学高等数学老师这学期分别用 A、 B 两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为 60 人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）现随机抽取甲、乙两班各 20 名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图如图： （ 1）学校规定：成绩不得低于 85 分的为优秀，请填写如表的 2 2 列联表，并判断 “能否在犯错误的 概率不超过 前提下认为成绩优秀与教学方式有关？ ” 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考： P（ k） k 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d） （ 2）现从甲班高等数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为 86 分的同学至少有一个被抽中的概率 【考点】 独立性 检验的应用 【分析】 （ 1）根据茎叶图，计算甲、乙两班不低于 85 分的学生数，填写列联表， 计算观测值 而得出概率结论； （ 2）用列举法计算从甲班成绩不得低于 80 分的 6 人中抽取 2 名的基本事件数，求出对应的概率值 【解答】 解：（ 1）根据茎叶图，计算甲班不低于 85 分的学生数是有 3 人，乙班不低于 85 分有 9 人， 填写列联表，如下； 甲班 乙班 合计 优秀 3 10 13 不优秀 17 10 27 合计 20 20 40 计算观测值 因此， “能在犯错误的概率不超过 前提下认为成绩优秀与教学方式有关 ” （ 2）甲班成绩不得低于 80 分的有 6 人，记为 A、 B、 C、 D、 E、 F， 其中 86 分有 2 人，记为 E、 F， 从这 6 人中随机抽取 2 名，基本事件是 15 种， 成绩为 86 分的同学至少有一个被抽中的基本事件为 9 种， 故所求的概率为 P= = 【点评】 本题考查了茎叶图、列联表以及独立性检验和列举法球概率的应用问题，是基础题目 18（ 12 分）（ 2017泰安一模）若数列 公差为 2 的等差数列，数列 足 ， 且 bn= （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设数列 足 ，数列 前 n 项和为 4 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1） ， 且 bn= n=1 时， =2，解得 用等差数列的通项公式可得 用等比数列的通项公式可得 （ 2） = = ，利用 “错位相减法 ”与等比数列的求 和公式即可得出 【解答】 解：（ 1） ， 且 bn= n=1 时， =2，解得 +2（ n 1） =2n 1 2，即 2bn=， 数列 等比数列，公比为 2 n 1 （ 2） = = ， 数列 前 n 项和为 + + + + ， = + + + ， + + = ， 4 【点评】 本题考查了 “错位相减法 ”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理 能力 与计算能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017泰安一模）如图，在四棱锥 P ，四边形 交于点 O，点 E、 F、 G 分别为 中点，A， 求证：（ 1） 平面 （ 2）平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）通过线线平行去证明线面平行即可只需证明 可 （ 2）面面垂直转化为线面垂直，只需证明 直平面 可 【解答】 解：（ 1） 点 E、 F、 G 分别为 中点，四边形 F 故得四边形 平行四边形 平面 面 平面 （ 2）由题意， 又 A，取 中点 Q，连接 则 ， 平面 平 面 故而平面 平面 【点评】 本题考查了线面、面面平行，线面、面面垂直等简单的立体几何知识，考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力，是中档题 20（ 13 分）（ 2017泰安一模）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）经过点（ ，1），过点 A（ 0， 1）的动直线 l 与椭圆 C 交于 M、 N 两点，当直线 l 过椭圆 线 l 的斜率为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）是否存在与点 A 不同的定点 B，使得 成立？若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）将点（ ， 1）代入椭圆方程，设左焦点为（ c， 0），再由斜率公式，可得 c 的值，结合 a， b， c 的关系，即可得到椭圆方程； （ 2）假设存在与点 A 不同的定点 B，使得 成立当直线 时，由对称性可得 B 在 y 轴上，设为 B（ 0， t），设直线 方程为 x=，代入椭圆方程，运用韦达定理，设 M（ N（ 由假设可得 ，化简整理，可得 t+2m=0，故不存在这样的定点 B 【解答】 解：（ 1）椭圆 C： + =1（ a b 0）经过点（ ， 1）， 可得 + =1，又设左焦点为（ c， 0），有 = ， 即 c= ， ，解得 a=2， b= ， 则椭圆方程为 + =1； （ 2）假设存在与点 A 不同的定点 B，使得 成立 当直线 斜率为 0 时，由对称性可得 B 在 y 轴上，设为 B（ 0， t）， 设直线 方程为 x=， 代入椭圆方程可得，（ 2+3=0， 设 M（ N（ 可得 y1+ ， ， 由假设可得 ， 即为 + =0， 即有 t（ x1+ 即 m（ ） ） y1=tm（ y1+2， 即有 2 y1+=tm（ y1+