陕西省咸阳市2017年高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 A=1， 2， 3， B=x|（ x+1）（ x 2） 0， x Z，则 A B=（ ） A 1 B 1， 2 C 0， 1， 2， 3 D 1， 0， 1， 2， 3 2复数 （ i 为虚数单位）的虚部是（ ） A 1 B 1 C i D i 3已知向量 =（ 5， m）， =（ 2， 2）且（ + ） ，则 m=（ ） A 9 B 9 C 6 D 6 4张丘建算经卷上一题为 “今有女 善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按 30 天计）共织布 390 尺，最后一天织布21 尺 ”，则该女第一天共织多少布？（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 5命题 p： x 0， 2x，则命题 p 为（ ） A 0， x 2 B 0， x 2 C 0， x 2 D 0， x 2 6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A B C D 7双曲线 （ m R）的离心率为 ，则 m 的值为（ ） A 1 B 1 C 1 D 2 8道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯 48 秒红灯 47 秒，黄灯 5 秒小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口的概率为（ ） A 执行如图程序语句，输入 a=2 b=2则输出 y 的值是（ ） A 3 B 4 C 6 D 1 10曲线 y 1） 2=1（ x 0）上的点到直线 x y 1=0 的距离最大值为 a，最小值为 b，则 a b 的值是（ ） A B 2 C +1 D 1 11已知正项数列 中， + + + = （ n N*），则数列 通项公式为（ ） A an=n B an= D 12已知定义在 R 上的函数 f（ x）的导函数为 f（ x），对任意 x R 满足 f（ x）+f（ x） 0，则下列结论正确的是（ ） A 2） 3） B 2） 3） C 2） 3） D 2） 3） 二、填空题（本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知 ，则 = 14观察下列式子： ， ， ，根据以上规律，第 n 个不等式是 15已知实数 x， y 满足 ，则 x 2y 的最大值为 16已知三棱锥的所有棱长均为 ，则该三棱锥的外接球的直径为 三、解答题（本题共 70 分） 17（ 12 分）已知 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 （ 1）求角 A； （ 2）若 b=2， 面积为 ，求 a 18（ 12 分）某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为 20 人）进行教学（两班的学生学习）（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性都一样）如图所示茎叶图如 （ 1）现从乙班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学，求至少有一名成绩为 90 分的同学被抽中的概率； （ 2）学校规定：成绩不低于 75 分的为优秀请填写下面的 2 2 表，并判断有多大把握认为 “成绩优秀与教学方式有关 ” 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计 附参考公式及数据： P（ k） k ） 19（ 12 分）如图，正三棱柱 所有棱长均为 2， D， E 分别是 中点 （ 1）证明： 平面 （ 2）求点 平面 距离 20（ 12 分）已知点 M 到定点 F（ 1， 0）和定直线 x=4 的距离之比为 ，设动点 M 的轨迹为曲线 C （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）设 P（ 4， 0），过点 F 作斜率不为 0 的直线 l 与曲线 C 交于两点 A， B，设直线 斜率分别是 k1+值 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =（ a R） （ 1）当 a=0 时，求曲线 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）求证：当 a 1， f（ x） 1 选修 4标系与参数方程选讲 22（ 10 分）在平面直角坐标系 ，以坐标原点为极轴， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为： = ， 直线 l 的参数方程是 （ t 为参数， 0 ） （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 交于两点 A， B，且线段 中点为 M（ 2， 2），求 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =m |x+4|（ m 0），且 f（ x 2） 0 的解集为 3，1 （ 1）求 m 的值； （ 2）若 a， b， c 都是正实数，且 ，求证： a+2b+3c 9 2017 年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 A=1， 2， 3， B=x|（ x+1）（ x 2） 0， x Z，则 A B=（ ） A 1 B 1， 2 C 0， 1， 2， 3 D 1， 0， 1， 2， 3 【考点】 并集及其运算 【分析】 先求出集合 A， B，由此利用并集的定义能求出 A B 的值 【解答】 解： 集合 A=1， 2， 3， B=x|（ x+1）（ x 2） 0， x Z=0， 1， A B=0， 1， 2， 3 故选： C 【点评】 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用 2复数 （ i 为虚数单位） 的虚部是（ ） A 1 B 1 C i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由复数代数形式的乘除运算化简复数 z 得答案 【解答】 解： = ， 则复数 （ i 为虚数单位）的虚部是： 1 故选： B 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的 j 基本概念，是基础题 3已知向量 =（ 5， m）， =（ 2， 2）且（ + ） ，则 m=（ ） A 9 B 9 C 6 D 6 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可先求出 的坐标，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即 可建立关于 m 的方程，解出 m 即可 【解答】 解： ； ； =（ 7， m 2） （ 2， 2） =14 2（ m 2） =0； m=9 故选 B 【点评】 考查向量坐标的概念，向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件 4张丘建算经卷上一题为 “今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按 30 天计）共织布 390 尺，最后一天织布21 尺 ”，则该女第一天共织多少布？（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 设数列 则数列 等差数列，且 90， 1，由此能求出结果 【解答】 解：设数列 则数列 等差数列， 且 90， 1， ， 即 390=15（ 1）， 解得 故选： C 【点评】 本题考查等差数列的首项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 5命题 p： x 0， 2x，则命题 p 为（ ） A 0， x 2 B 0， x 2 C 0， x 2 D 0， x 2 【考点】 命题的否 定 【分析】 根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定 【解答】 解：命题 p： x 0， 2x，则命题 p 为 0， x 2 ， 故选： C 【点评】 本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可 6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为球的 ，其半径为 1 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为球的 ，其半 径为 1 则体积 V= = 故选： D 【点评】 本题考查球的三视图及其体积计算公式，了考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7双曲线 （ m R）的离心率为 ，则 m 的值为（ ） A 1 B 1 C 1 D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 化双曲线方程为标准方程，求出 a， b， c，运用离心率公式可得 m 的方程，解方程即可得到 【解答】 解：双曲线 （ m 0）， 化为 =1， 即有 a=1， b= ， c= = ， 由题意可得 e= = = ， 解得 m= 1， 故选 ： B 【点评】 本题考查双曲线的方程和性质，注意运用双曲线的基本量 a， b， c 和离心率公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题 8道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯 48 秒红灯 47 秒，黄灯 5 秒小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口的概率为（ ） A 考点】 几何概型 【分析】 根据绿灯 48 秒红灯 47 秒，黄 灯 5 秒，即可求出绿灯的概率 【解答】 解： 绿灯 48 秒红灯 47 秒，黄灯 5 秒， 绿灯的概率 = = 故选 D 【点评】 本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 9执行如图程序语句，输入 a=2 b=2则输出 y 的值是（ ） A 3 B 4 C 6 D 1 【考点】 伪代码 【分析】 由题意，模拟执行程序可得程序运行后是计算 y= ， 求出 a、 b 的值，即可求出输出 y 的值 【解答】 解：根据条件语知程序运行后是计算 y= ， 且 a=221， b=222； a b， y=a（ a+b） =1 3=3， 即输出 y 的值是 3 故选： A 【点评】 本题主要考查了用条件语句表示分段函数的应用问题，属于基础题 10曲线 y 1） 2=1（ x 0）上的点到直线 x y 1=0 的距离最大值为 a，最小值为 b，则 a b 的值是（ ） A B 2 C +1 D 1 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 d，由 d+r 求出最大值，最小值为（ 0， 0）到直线的距离，确定出 a 与 b 的值，即可求出 a b 的值 【解答】 解：曲线 y 1） 2=1（ x 0），表示圆心为（ 0， 1），半径 r=1 的左半圆， 圆心到直线 x y 1=0 的距离 d= = ， 圆上的点到直线的最大距离 a= +1， 最小值为（ 0， 0）到直线的距离，即 b= 则 a b= +1 故选 C 【点评】 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，属于中档题 11已知正项数列 中， + + + = （ n N*），则数列 通项公式为（ ） A an=n B an= D 【考点】 数列递推式 【分析】 根据已知可得 + + + = ，与已知式子相减即可得出 【解答】 解： + + + = ， + + + = （ n 2）， 两式相减得 = =n， an= n 2） 又当 n=1 时， = ， an=n N* 故选 B 【点评】 本题考查了数列通项公式的求法，属于基础题 12已知定义在 R 上的函数 f（ x）的导函数为 f（ x），对任意 x R 满足 f（ x）+f（ x） 0，则下列结论正确的是（ ） A 2） 3） B 2） 3） C 2） 3） D 2） 3） 【考点】 导数的运算 【分析】 令 g（ x） =x），利用导数及已知可判断该函数的单调性，由单调性可得答案 【解答】 解：令 g（ x） =x）， 则 g（ x） =f（ x） +f（ x） 0， g（ x）递减， g（ 2） g（ 3）， 2） 3）， 故选： A 【点评】 该题考查利用导数研究函数的单调性，由选项恰当构造函数是解决该题的关键所在 二、填空题（本小题共 4 小题， 每小题 5 分，共 20 分） 13已知 ，则 = 1 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可 【解答】 解： ，则 = = =1 故答案为： 1 【点评】 本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力 14观察下列式子： ， ， ， 根 据 以 上 规 律 ， 第 n 个 不 等 式 是 【考点】 归纳推理 【分析】 根据所给不等式，即可得出结论 【解答】 解：根据所给不等式可得 故答案为： 【点评】 本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力， 属于基础题 15已知实数 x， y 满足 ，则 x 2y 的最大值为 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=x 2y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可 【解答】 解：实数 x， y 满足 ，作图： 易知可行域为一个三角形， 验证知在点 B（ 3， 0）时， x 2y 取得最大值 3， 故答案为： 3 【点评】 本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 16已知三棱锥的所有棱长均为 ， 则该三棱锥的外接球的直径为 【考点】 球内接多面体 【分析】 由正三棱锥 S 所有棱长均为 ，所以此三棱锥一定可以放在棱长为 1 的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的直径 【解答】 解： 正三棱锥的所有棱长均为 ， 此三棱锥一定可以放在正方体中， 我们可以在正方体中寻找此三棱锥 正方体的棱长为 1， 此四面体的外接球即为此正方体的外接球， 外接球的直径为正方体的对角线长 ， 故答案为： 【点评】 本题考查几何体的接体问题，考查了空间想象能力， 其解答的关键是根据几何体的结构特征，放在正方体中求解 三、解答题（本题共 70 分） 17（ 12 分）（ 2017咸阳二模）已知 ，角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c，且 （ 1）求角 A； （ 2）若 b=2， 面积为 ，求 a 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）根据正弦定理、商的关系化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出 A； （ 2）由条件和三角形的面积公式列出方程，求出 c 的值，由余弦定理列出方程化简后求出 a 的值 【解答】 解：（ 1）由题意知， 由正弦定理得， 0， ， 由 0 A 得 A= ； （ 2） b=2， A= ， 面积为 ， ，则 ，解得 c=2， 由余弦定理得， a2=b2+24+4 2 =4， 则 a=2 【点评】 本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系的应用，注意内角的范围，考查化简、变形能力 18（ 12 分）（ 2017咸阳二模）某中学数学老师分别用两种不同教学方式对 入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为 20 人）进行教学（两班的学生学习）（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性都一样）如图所示茎叶图如 （ 1）现从乙班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学，求至少有一名成绩为 90 分的同学被抽中的概率； （ 2）学校规定：成绩不低于 75 分的为优秀请填写下面的 2 2 表，并判断有多大把握认为 “成绩优秀与教学方式有关 ” 甲班 乙班 合计 优秀 14 8 22 不优秀 6 12 18 合计 20 20 40 附参考公式及数据： P（ k） k ） 【考点】 独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）先求得乙班数学成绩不低于 80 的人数及成绩为 90 分的同学人数，利用排列组合求得基本事件的个数，利用古典概型的概率公式计算； （ 2）根据茎叶图分别求出甲、乙班优秀的人数与不优秀的人数，列出列联表，利用相关指数公式 计算 观测值，比较与临界值的大小，判断成绩优秀与教学方式有关的可靠性程度 【解答】 解：（ 1）乙班数学成绩不低于 80 分的同学有 5 名，其中成绩为 90 分的同学有 2 名， 从 5 名同学中抽取 2 名，共有 0 种方法， 其中至少有一名同学 90 分的抽法有 21 种， 所求概率 P= ； （ 2） 2 2 列联表为： 甲班 乙班 合计 优秀 14 8 22 不优秀 6 12 18 合计 20 20 40 = 有 90%以上的把握认为成绩优秀与教学方式有关 【点评】 本 题考查了由茎叶图求分类变量的列联表，及根据列联表计算相关指数观测值，考查了古典概型的概率计算，综合性强，计算要细心，由公式计算相关指数 观测值并由观测值判断成绩优秀与教学方式有关的可靠性程度是解题的关键 19（ 12 分）（ 2017咸阳二模）如图，正三棱柱 所有棱长均为 2， D， E 分别是 中点 （ 1）证明： 平面 （ 2）求点 平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 （ 1）以 E 为原点， x 轴， y 轴，过 E 作平 面 垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 （ 2）求出 =（ 1， 0， 2），平面 法向量 =（ 2， 0， 1），利用向量法能求出点 平面 距离 【解答】 证明：（ 1）以 E 为原点， x 轴， y 轴， 过 E 作平面 垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ 1， 0， 0）， D（ 1， 0， 1）， 1， 0， 2）， E（ 0， 0， 0）， C（ 0， ， 0）， =（ 2， 0， 1）， =（ 1， 0， 2）， =（ 0， ， 0）， ， =0， ， 平面 解：（ 2） 1， 0， 2）， =（ 1， 0， 2）， 平面 平面 法向量 =（ 2， 0， 1）， 点 平面 距离 d= = 【点评】 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 20（ 12 分）（ 2017咸阳二模）已知点 M 到定点 F（ 1， 0）和定直线 x=4 的距离之比为 ，设动点 M 的轨迹为曲线 C （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）设 P（ 4， 0），过点 F 作斜率 不为 0 的直线 l 与曲线 C 交于两点 A， B，设直线 斜率分别是 k1+值 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）设点 M（ x， y），利用条件可得等式 = |x 4|，化简，可得曲线 C 的轨迹方程； （ 2）设直线 l 的方程为： x=， A（ B（ 联立得：（ 4+3 9=0. = = 【解答】 解：（ 1）设点 M（ x， y），则据题意有 = |x 4| 则 4（ x 1） 2+（ x 4） 2，即 32， 曲线 C 的方程： （ 2）设直线 l 的方程为： x=， A（ B（ 联立 得：（ 4+39=0， = = =0 k1+值为 0 【点评】 本题考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017咸阳二模）已知函数 f（ x） =（ a R） （ 1）当 a=0 时，求曲线 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）求证：当 a 1， f（ x） 1 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函 数 f（ x）的导数，计算 f（ 1）， f（ 1），求出切线方程即可； （ 2）求出函数 f（ x）的导数，根据函数的单调性求出 f（ x）的最小值是 f（ 1），证明结论即可 【解答】 解：（ 1） a=0 时， f（ x） = x 0）， f（ x） =， f（ 1） =0， f（ 1） =1， 故切线方程是： y=1； （ 2）证明： f（ x） =，（ x 0）， f（ x） = ， f（