湖南省2017届高三阶段性诊断考试数学试题(理)含答案解析

一、选择题（本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60分 有一项是符合题目要求的 .） | 9 0 A x x ， | 2 B x x N，则 ） A 3 B 4 C 5 D 6 【答案】 D 考点：集合的定义与运算 . 【易错点睛】 (1)认清元素的属性，解决集合问题时 ，认清集合中元素的属性 (是点集、数集或其他情形 )和化简集合是正确求解的两个先决条件 .(2)注意元素的互异性 注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误 .(3)防范空集 , 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解 . 示以为自变量的奇函数的图象是 （ ） A B C D 【答案】 B 【解析】 试题分析： A,属于函数图象， 足奇函数的条件，故选 B. 考点：函数的定义域奇偶性 . 是互相垂直的两个单位向量，且 | 3 | | |a b m a b ，则实数 m 的值为 （ ） A 2 B 22 C 5 D 25 【答案】 C 【解析】 试题分析： | 3 | | |a b m a b 两边平方可得：5)11(91)()3( 22222 ，根据条件可知 0m ，所以5m 故选 C. 考点：向量的运算 . 2 3a 且1 2，则4 ） A 6 B 12 D 24 【答案】 B 【解析】 试题分析：由 ,322 121112 31 a ， ,12)(222123 42 34434 故选 B. 考点：数列的递推求通项 . ) s i n ( ) ( 0 )6f x x 的部分图象如图所示，则下列选项判断错误的是 （ ） A | B 7( ) 23f C. ( ) ( ) 13f x f x D ( ) ( )33f x f x 【答案】 C 考点：三角函 数的图象和性质 . 2 4 , 0 1 0()2 1 2 6 , 1 0 2 0 的零点不可能在下列哪个区间上 （ ） A (1,4) B (3,7) C.(8,13) D (11,18) 【答案】 B 考点：函数的零点 . , ，其中 4 4 0 的长度相等，则 1 的最小值为 （ ） A 32e B 322e 或 32e C. 322e D 322e 或 22e 【答案】 A 【解析】 试题分析：根据题意可得： , 化简得0)5) ( 当 2 24 不成立，所以 5m ，5， 61 1 5 11x x x x x m e e e e e 6322，故选 A. 考点：函数与方程 . 除以正整数 m 后的余数为，则记为 (m o d )N n m ，例如 10 2(m ) 国剩余定理 则输出的等于 （ ） A 4 B 8 C. 16 D 32 【答案】 C 考点：程序框图 . 【方法点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查 括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项 余 和 被除余 时的值 . B C D、 、 、 四点共线， ( , )2，且向量 (ta n ,1) ，( 3 t a n 2 , 2 )，则 )4 等于 （ ） A 17B 17C. D 7 【答案】 B 【解析】 试题分析：因为 A B C D、 、 、 四点共线， (ta n ,1) ， ( 3 t a n 2 , 2 )，所以 2 ，又 t a a n1 t a a n 2 ， 因 为 ( , )2， 所 以0 ，得 2 ，342， 2 )4 7122 ，故选 B. 考点：向量共线，倍角公式 . 0 ,0,2 2 0 , ，且 ( 6,3) ，则 仅在点1( 1, )2A 处取得最大值的概率为 （ ） A 19B 49【答案】 A 考点：简单的线性规划；几何概型 . 该几何体的体积为 （ ） A 43 B 53 C. 63 D 83 【答案】 A 考点：三视图求体积 . 【方法点睛】三视图问题的常见类型及解题策略： (1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示 (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合 (3)由几何体的三视图还原几 何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图 1 ) l o g ( 2 1 )f x a x x ， 2 2 s i n ( 2 )6()s i n 3 c o ，若不论 2x 取何值，12( ) ( )f x g x对任意1 73 , 10 2x 总是恒成立，则的取值范围为 （ ） A 7( , )10 B 4( , )5 C. 63( , )80 D 40 4( , )49 5【答案】 D 【解析】 试题分析：2 2 s i n ( 2 )6() s i n 3 c o )3s i n (2)3s i n ()3(s i s i n (2)322c o s (22 2 故当 23 ，即 )(),(26 取得最大值，由题意可知， 2)( 41120 2 3 , 10 2x 总是恒成立，即2224521x 对任意1 73 , 10 2x 总是恒成立，设54)541(45245)(,1)11(21)( 2222 7 3 1 2 1 0 , , , 1 0 2 3 7x x ， 2m a x m i 4 0 4 4 0 4( ) 1 1 , ( ) , ( , )7 4 9 5 4 9 5p x q x a . 考点：函数的恒成立问题 . 第 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4小题，每题 5分，满分 20分） 00名大学生 每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 0 ，样本数据分组为 1 7 . 5 , 2 0 ) , 2 0 , 2 2 . 5 ) , 2 2 . 5 , 2 5 ) 2 5 , 2 7 . 5 ) , 2 7 . 5 , 3 0 400名大学生中每周的自习时间不少于 25小时的人数是 _. 【答案】 120 【解析】 试 题 分 析 ： 这 40 名 大 学 生 中 每 周 的 自 习 时 间 不 少 于 25 小 时 的 人 数 是1 2 0 ）（ 考点：频率分布直方图 . 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7中任意选取的一个元素，则圆 22: ( 2 ) 1C x y 与圆2 2 2:O x y a内含的概率为 _. 【答案】74考点：古典概型 . 【方法点睛】 古典 概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法 .(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求 有序 ” 与 “ 无序 ” 区别的题目，常采用树状图法 .(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化 .(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目 . 书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里 欲知为田几何 .”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为 13里， 14 里， 15 里，假设 1里按500米计算，则该沙田的面积为 _平方千米 . 【答案】 21 【解析】 试题分析：设在 中， 13a 里， 14b 里， 15c 里 ， 2 2 21 3 1 4 1 5c o 1 4C 21 3 ( 1 4 1 5 ) ( 1 4 1 5 ) 1 4 0 5 1 2, s i 3 1 4 2 1 3 1 4 1 3 1 3C ，故 的面积为 211 0 0015001312141321 22 平方千米 . 考点：余弦定理 的应用 . 每个顶点都在球 O 的表面上， 5C， 8， 底面 G 为 的重心，且直线 底面 成角的正切值为 12，则球 O 的表面积为 _. 【答案】9634考点：球的组合体 思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法： (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平 面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 (2)若球面上四点 , 构成的三条线段 , 两两互相垂直，且 , ，一般把有关元素 “ 补形 ” 成为一个球内接长方体，利用 22224 求解 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17.（本小题满分 10分） 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为，且 3 5 74 c o s s i n 44 1 6a A B c ， ， ，. （ 1）求； （ 2）已知 内切圆的半径 2其中 S 为 的面积，为 的周长，求内切圆的面积 . 【答案】（ 1） 5b ；（ 2）47. 试题解析：（ 1）由 ， 3 7， 5b . 4分 （ 2）由 2 2 25 4 3c o 4cA c得 22 1 5 1 8 ( 2 3 ) ( 6 ) 0c c c c ， 4c ， 6c . 6分 的周长为 15654 . 7分 又 1 1 5 7s i a c B， 8分 72r， 9分 故 内切圆的面积为 2 74r. 10 考点：正余弦定理；内切圆的半径 . 18.（本小题满分 12分） 已知某企业的近 3年的前 7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示： （ 1）试问这 3年的前 7个月中哪个月的月平均利润较高？ （ 2）通过计算判断这 3年的前 7个月的总利润的发展趋势； （ 3）试以第 3年的前 4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第 3年 8月份的利润 . 相关公式： 112 2 211( ) ( )( ) ( )i i x y y x y n x x x n x ， a y . 【答案】（ 1）月和月的平均利润最高；（ 2）前个月的总利润呈上升趋势；（ 3） 940 万元 . （ 2）第 1年前 7个月的总利润为 1+2+3+5+6+7+4=28（百万元）， 3分 第 2年前 7个月的总利润为 2+5+5+4+5+5+5=31（百万元）， 4分 第 3年前 7个月的总利润为 4+4+6+6+7+6+8=41百万 元）， 5分 所以这 3年的前 7个月的总利润呈上升趋势 . 7分 （ 3） ， 2 2 2 25 1 2 3 4 3 0y ， ， 1 4 2 4 3 6 4 6 5 4 ， 25 4 4 2 . 5 5 0 . 83 0 4 2 . 5b ， 9分 5 2 3a ， 10 分 ， 11 分 当 8x 时， 0 3 9 （百万元），估计 8月份的利润为 940万元 .12分 考点：折线图；线性回归分析 . 19.（本小题满分 12分） 已知定义在 R 上的函数 ()3x时， 2( ) 4f x x. （ 1）求 (5) (7)的值 ； （ 2）若关于的方程 2( ) ( )f x m x m R在区间 4,6 上有实根，求实数 m 的取值范围 . 【答案】（ 1） (5 ) ( 7 ) 1 3；（ 2） 4 13 , 13 36 试题解析：（ 1）函数 ()， (5 ) ( 2 ) 8， ( 7 ) ( 4 ) (1 ) 5 ， (5 ) ( 7 ) 1 3. 3分 （ 2）设 4,6x ，则 3 1, 3x ，函数 ()， 2( ) ( 3 ) ( 3 ) 4f x f x x . 6分 方程 2()f x 在 4,6 上有实根 22( 3 ) 4x 在 4,6 上有实根， 7分 设 2 222( 3 ) 4 1 3 6 1 3 4( ) 1 1 3 ( )1 3 1 3x x x x ， 111 4,6x ， 1 1 1,64x， 3 1 1,13 6 4， 111 () 13， 10 分 又 1 3 3 1| | | |4 1 3 1 3 6 ，m a x 13( ) ( 6 ) 36g x g， 4 1 3( ) , 1 3 3 6 实数 m 的取值范围为 4 13 , 13 36. 12 分 考点：函数的周期性；函数与方程 . 20.（本小题满分 12分） 在四棱锥 P 中，底面 矩形，平面 平面 3P，2B， E 为线段 一点，且 : 7 : 2B ，点 分别为线段 D、的中点 . （ 1）求证： 平面 （ 2）若平面 四棱锥 P 分成左右两部分，求这两部分的体积之比 . 【答案】（ 1）证明见解析；（ 2） 37:35 . 试题解析：（ 1）证明：在等腰 中， 1 12c o B ， 则由余弦定理可得， 2 2 22 2 1 3 2( ) 2 2 23 3 3 9 ， 423 2分 2 2 24P E B E P B ， B ， 3分 平面 平面 平面 平面 B ， 平面 4分 （ 2）解：设平面 棱 于点 N ，连接 因为 /D ，所以 /面 从而可得 /D . 6分 延长 点 M ，使 F ，连接 则 为直三棱柱， 7分 F 到 距离为 1 2 223 73 1 7 2 2 7 22 3 3 9 ， 7 2 1 4 2299A F E D M ， 1 7 2 7 213 9 2 7G D M ， 3 5 227A E F N D G A F E D M N G D M V ， 又 1 8 233P A B C D A B C E S 矩 形， 3 5 2 8 2 3 5 2: = : ( ) 3 5 : 3 72 7 3 2 7右左. 12分 考点：面面垂直的性质；棱柱 棱锥的体积公式 . 【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一 ,也历届高考必考的题型之一 解答时第一问充分借助已知条件与判定定理 ,探寻直线 B ,再推证 平面 直即可 分利用几何体的特征，采用分割等手段套用体积公式求解即可 . 21.（本小题满分 12分） 已知正项数列 2 ( 1 ) ( 2 )n n nS a a . （ 1）求证：不论 取何值，数列1 + 总是等差数列，并求此数列的公差； （ 2）设数列 ( 1) 2 的前项和为 试比较 12 (1 8 ) 2 21n 的大小 . 【答案】（ 1）证明见解析， 1 ；（ 2）当 17n 时， 12 (1 8 ) 2 21n ，当 17n时， 12 (1 8 ) 2 21n ，当 17n 时， 12 (1 8 ) 2 21n . 试题解析：（ 1）证明：当 1n 时，1 1 12 ( 1 ) ( 2 )S a a ，1 0a ，1 2a .1分 当 2n 时， 221 1 12 2 ( )n n n n n n S a a a a ，11( ) ( 1 ) 0n n n na a a a ， 1 0，1 1， 3分 数列 为首项 1为公差的等差数列， 1. 4分 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 1n n n n n n n na a a a a a a a ， 5分 不论 取何值，数列1总是等差数列，且此数列的公差为 1 .6分 （ 2）解： 1( 1 ) 2 ( 1 ) 2 2 2( 1 ) 1n n n a n n n n ， 7分 2 3 2 1 12 2 2 2 2 2 2 22 1 3 2 1 1n n n n n ， 9分 1 1 1 12 ( 1 8 ) 2 2 2 2 ( 1 8 ) 2 2 2 ( 1 7 )21 1 1 1n n n n n n nT n n n n ， 当 17n 时， 12 ( 1 7 ) 01n ， 12 (1 8 ) 2 21n ； 10分 当 17n 时， 12 ( 1 7 ) 01n ， 12 (1 8 ) 2 21n ； 11分 当 17n 时， 12 ( 1 7 ) 01n ， 12 (1 8 ) 2 21n . 12分 考点：利用递推求通项，数列求和，比较大小 . 22.（本小题满分 12分） 已知圆 C 经过点 ( 0 , 2 ) ( 2 , 0 )，圆 C 的圆心在圆 222的内部，且直线3 4 5 0 被圆 C 所截得的弦长为 为圆 C 上异于 的任意一点，直线轴交于点 M ，直线 y 轴交于点 N . （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）求证： | | | |M 为定值； （ 3）当 B 取得最大值时，求 | 【答案】（ 1） 224；（ 2）证明见解析；（ 3） 22 试题解析：（ 1）解：易知点 C 在线段 中垂线 上，故可设 ( , )圆 C 的半径为 . 1分 直线 3 4 5 0 被圆 C 所截得的弦长为 23，且 22( 2 )r a a ， ( , )直线 3 4 5 0 的距离， 22| 7 5 | 3 2 4 15ad r a a ， 0a ，或 170a . 3分 又圆 C 的圆心在圆 222的内部， 0a ，圆 C 的方程为 224.4分 （ 2）证明：当直线 斜率不存在时， | | | |