(超强精品)高考数学第一轮系统复习资料(教师版 126页)

第一章 集合 第一节 集合的含义、表示及基本关系 A 组 1已知 A1,2，B x|x A ，则集合 A 与 B 的关系为 _ 解析：由集合 Bx| xA知， B1,2答案：AB 2若 x|x2a，aR，则实数 a 的取值范围是_ 解析：由题意知，x 2a 有解，故 a0.答案：a0 3已知集合 Ay| yx 22 x1，xR ，集合 Bx|2x5，集合 Bx|xa，若命题 “xA”是命题 “xB”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是_ 解析：命题“xA ”是命题“x B” 的充分不必要条件，A B，a0 且 b0；(2)a0 且 b0；(4)a5”的_ 解析：结合数轴若 ABa4，故“AB”是“a5”的必要但不充分条件答案： 必要不充分条件 8(2010 年江苏启东模拟)设集合 M m|m2 n，nN ，且 m0，故 x0，xy0，于是由 AB 得 lg(xy)0， xy1. Ax,1,0，B0，|x |， 1x 于是必有|x| 1， x 1，故 x1，从而 y1. 1x 11已知集合 Ax| x23x 100 ， 3 (1)若 B A，Bx| m1x2m1，求实数 m 的取值范围； (2)若 A B，Bx| m6x2m1，求实数 m 的取值范围； (3)若 A B，Bx| m6x2m1，求实数 m 的取值范围 解：由 A x|x23x 100，得 A x|2x5， (1)B A，若 B，则 m12m 1，即 m2. (2)若 B 是 A 的子集，即 BA，由数轴可知 1a2. (3)若 A=B，则必有 a=2 第二节 集合的基本运算 A 组 1(2009 年高考浙江卷改编)设 UR，Ax|x 0，B x|x1，则 A UB_. 解析： UB x|x1，A UB x|01，集合 Bx|mxm 3 (1)当 m1 时，求 AB， AB； (2)若 B A，求 m 的取值范围 解：(1)当 m1 时， B x|1 x2， A B x|11，即 m 的取值范围为(1，) B 组 1若集合 Mx R| 33x|2x0，即 a3 时，BA 1,2才能满足条件，则由根与系数的关系得 Error! Error!矛盾.综上，a 的取值范围是 a3. 11已知函数 f(x) 的定义域为集合 A，函数 g(x)lg(x 22xm) 的定义域为 6x 1 1 集合 B. (1)当 m3 时，求 A( RB)； (2)若 A Bx |1 . 98 综上可知，若 A，则 a 的取值范围应为 a . 98 (2)当 a0 时，方程 ax23x 20 只有一根 x ，A 符合题意 23 23 当 a0 时，则 98a0，即 a 时， 98 方程有两个相等的实数根 x ，则 A 43 43 综上可知，当 a0 时，A ；当 a 时， A 23 98 43 (3)当 a0 时，A .当 a0 时，要使方程有 实数根， 23 则 98a0，即 a . 98 综上可知，a 的取值范围是 a ，即 M aR |Aa| a 98 98 第二章 函数 第一节 对函数的进一步认识 A 组 1(2009 年高考江西卷改编)函数 y 的定义域为_ x2 3x 4x 解析：Error! x 4,0)(0,1 7 答案：4,0) (0,1 2(2010 年绍兴第一次质检)如图，函数 f(x)的图象是曲线段 OAB，其中点 O，A ，B 的坐 标分别为(0,0)，(1,2) ，(3,1) ，则 f( )的值等于_ 1f(3) 解析：由图象知 f(3)1，f( )f(1)2.答案：2 1f(3) 3(2009 年高考北京卷)已知函数 f(x)Error!若 f(x)2，则 x_. 解析：依题意得 x1 时，3 x 2，xlog 32； 当 x1 时，x2， x2(舍去)故 xlog 32.答案：log 32 4(2010 年黄冈市高三质检)函数 f：1 ， 1， 满2 2 足 ff(x)1 的这样的函数个数有_个 解析：如图答案：1 5(原创题) 由等式 x3a 1x2a 2xa 3(x1) 3b 1(x1) 2b 2(x1)b 3 定义一个映射 f(a1，a 2，a 3) (b1，b 2，b 3)，则 f(2,1，1)_. 解析：由题意知 x32x 2x 1( x1) 3b 1(x1) 2b 2(x1) b 3， 令 x1 得：1b 3； 再令 x0 与 x1 得Error!， 解得 b11，b 20. 答案：(1,0，1) 6已知函数 f(x)Error!(1)求 f(1 )，ff f(2) 的值；(2) 求 f(3x1)；(3)若 f(a) 12 1 ， 求 a. 32 解：f(x )为分段函数，应分段求解 (1)1 1( 1) 1，即 x ，f(3x1)1 ； 23 13x 1 3x3x 1 若13x11，即 0x ，f(3x1) (3x1) 219x 26x2； 32 若 3x11 或1a 1. 32 当 a1 时，有 1 ，a2； 1a 32 当1a1 时，a 21 ，a . 32 22 a2 或 . 22 B 组 1(2010 年广东江门质检)函数 y lg(2x1)的定义域是_ 13x 2 解析：由 3x20,2x 10，得 x .答案： x|x 23 23 2(2010 年山东枣庄模拟)函数 f(x)Error!则 f(f(f( )5)_. 32 解析：1 2，f( )5352， 122，f (2)3， 32 32 f(3)(2)(3)17.答案：7 3定义在区间(1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)f (x)lg(x1)，则 f(x)的解析式为 _ 解析：对任意的 x( 1,1) ，有 x(1,1) ， 由 2f(x)f(x )lg(x1) ， 由 2f(x) f(x )lg(x1) ， 2消去 f(x )，得 3f(x)2lg(x 1) lg(x 1) ， f(x) lg(x 1) lg(1x) ，(1f(1)的解集是_ 解析：由已知，函数先增后减再增，当 x0，f (x)f(1)3 时 ，令 f(x)3， 解得 x1，x3.故 f(x)f(1)的解集为 0x 3. 当 xf(1)3，解得 33. 综上，f(x)f(1)的解集为x| 33答案： x|33 8(2009 年高考山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)Error!则 f(3)的值为_ 解析：f(3)f(2) f(1) ，又 f(2)f (1)f(0)，f (3)f(0)，f(0)log 242，f(3) 2.答案：2 9有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5 分 钟内只进水，不出水，在随后的 15 分钟内既进水，又出水，得到时间 x 与容器中的水量 y 之间关系如图再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即 x20) ，y 与 x 之 间函数的函数关系是_ 10 解析：设进水速度为 a1升/分 钟，出水速度 为 a2升/分钟，则由题意得Error!，得Error!， 则 y353( x20)，得 y 3x95，又因 为水放完为止，所以时间为 x ，又知 x20， 953 故解析式为 y 3x95(20x )答案：y 3x95(20 x ) 953 953 10函数 f(x) .(1 a2)x2 3(1 a)x 6 (1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (2)若 f(x)的定义域为 2,1，求实数 a 的值 解：(1)若 1a 20，即 a1， ()若 a1 时，f( x) ，定义域为 R，符合题意；6 ()当 a1 时，f( x) ，定义域为1，)，不合题意6x 6 若 1a 20，则 g(x)(1a 2)x23(1a)x6 为二次函数 由题意知 g(x)0 对 xR 恒成立， Error! Error! af(x2)”的是_ f(x) f(x )(x 1) 2 f(x)e x f (x)ln(x1) 1x 解析：对任意的 x1，x2(0，)，当 x1f(x2)，f(x) 在(0，)上为 减函数答案： 2函数 f(x)(x R)的图象如右图所示，则函数 g(x)f(log ax)(00 时， f(x)e x ，则满足 f(x)e x 0 在 x0,1 上恒成 aex aex 立只需满足 a(e 2x)min 成立即可，故 a1，综上1a1. 答案：1a1 5(原创题) 如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x，都有 f(x)M(M 为常数)，称 M 为 f(x)的 下界，下界 M 中的最大值叫做 f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是 _ f(x)sin x；f(x)lgx；f (x)e x；f (x)Error! 12 解析：sinx 1，f(x )sinx 的下确界为1，即 f(x)sinx 是有下确界的函数；f(x) lgx 的值域为 (，)，f (x)lgx 没有下确界；f( x)e x 的值域为(0，)，f(x) e x 的下确界为 0，即 f(x)e x 是有下确界的函数； f(x)Error!的下确界为1.f (x)Error!是有下确界的函数答案： 6已知函数 f(x)x 2，g( x) x1. (1)若存在 xR 使 f(x)0 b4. (2)F(x)x 2mx 1m 2，m 24(1 m 2)5m 24， 当 0 即 m 时， 则必需 255 255 Error! m0. 255 当 0即 m 时， 设方程 F(x)0 的根为 x1，x2(x10. Error! 40)在( ，)上是单调增函数，则实数 a 的取值范围_ ax 34 解析：f(x) x (a0)在( ，)上为增函数， ，00，a1)在区间(0 ， )内恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增区间 12 14 为_ 解析：令 2 x2x，当 x(0， )时，(0,1)，而此时 f(x)0 恒成立，00，即 x0 或 x ，得 01 时，f(x )0，代入得 f(1)f(x 1)f(x 1)0，故 f(1)0. (2)任取 x1，x2 (0，)，且 x1x2，则 1，由于当 x1 时，f(x)9，x9 或 x9 或 xf(b2)答案：f(a1)f(b2) 2(2010 年广东三校模拟)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数， 则 f(1)f(4)f(7) 等于_ 解析：f(x) 为奇函数，且 xR，所以 f(0)0，由周期为 2 可知，f(4)0，f(7)f(1)，又由 f(x 2)f( x)，令 x1 得 f(1)f(1)f(1)f(1)0，所以 f(1)f(4)f(7) 0.答案：0 3(2009 年高考山东卷改编)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间 0,2上是增函数，则 f(25)、 f(11)、f(80)的大小关系为_ 解析：因为 f(x)满足 f(x4)f(x)，所以 f(x8) f (x)，所以函数是以 8 为周期的周期 函数，则 f(25)f( 1)，f(80)f (0)，f(11)f(3)，又因为 f(x)在 R 上是奇函数，f (0)0，得 16 f(80)f(0)0，f(25)f( 1) f (1)，而由 f(x4)f(x)得 f(11)f (3)f (3) f(14) f(1)，又因为 f(x)在区间0,2上是增函数，所以 f(1)f(0)0，所以f (1)0)，由 f(1)f(4)0，得 a(12) 25a(4 2) 250，a 2，f (x)2(x2) 25(1 x 4) (3)yf(x)(1x 1)是奇函数，f (0)0，又知 yf (x)在0,1上是一次函数，可设 f(x) kx(0x 1)，而 f(1)2(1 2) 253， k3， 当 0x1 时，f (x)3x，从而 当1x0，若 f(1)0，那么关于 x 的不等式 xf(x)0，则在(0， ) 上 f(x)是增函数，在(，0)上是减函数， 又 f(x)在 R 上是偶函数，且 f(1)0，f (1)0.从而可知 x(，1)时，f(x) 0；x( 1,0)时，f(x )0.不等式的解集为 (， 1)(0,1)答案：(，1)(0,1) 5(2009 年高考江西卷改编)已知函数 f(x)是(，) 上的偶函数，若对于 x0，都有 f(x 2)f(x) ，且当 x0,2)时，f(x)log 2(x1)，则 f(2009)f (2010)的值为_ 解析：f(x) 是偶函数，f( 2009)f (2009)f(x)在 x0 时 f(x2)f( x)，f (x)周期 为 2.f( 2009)f(2010)f(2009)f (2010)f (1)f(0)log 22log 21011.答案：1 6(2010 年江苏苏州模拟)已知函数 f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的 x，满足 f(x2) ，若当 2a，且|x 1a|a，且 |x1 a|f(x2)答案：f (2ax 1)f(x2) 8已知函数 f(x)为 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x( x1)若 f(a)2，则实数 a_. 解析：当 x0 时，f( x)x(x 1)0，由 f(x)为奇函数知 x0 时 ，x0) f(x)Error!即 f(x)x lg(2| x|)(xR ) 11已知函数 f(x)，当 x，y R 时，恒有 f(xy )f (x)f(y) (1)求证：f(x)是奇函数；(2) 如 果 xR ，f(x)x，f(x)在(0 ， ) 上是减 19 函数又f(x) 为奇函数，f(0)0， f(x)在( ， ) 上是减函数f(2) 为最大值， f(6)为 最小值f(1) ，f( 2)f(2)2f (1)1， f(6)2f(3)2f(1) f (2)3.所求 12 f(x)在区间2,6上的最大值为 1，最小值为3. 法二：设 x10，f( x2x 1)1，b1， b1.又(a ba b ) 2a 2ba 2b 28，a 2ba 2b 6， (a ba b )2a 2ba 2b 24，a ba b 2.答案： 2 2已知 f(x)a xb 的图象如图所示，则 f(3)_. 解析：由 图象知 f(0)1b2，b3.又 f(2)a 230，a ，则 f(3)( )333 3.3 3 3 答案：3 33 3函数 y( )2xx 2 的值域是_ 12 解析：2xx 2(x 1) 211， ( )2x x2 .答案： ，) 12 12 12 4(2009 年高考山东卷)若函数 f(x)a xxa(a0 ，且 a1) 有两个零点，则实数 a 的取值 范围是_ 解析：函数 f(x)的零点的个数就是函数 ya x 与函数 yxa 交点的个数，由函数的 图 象可知 a1 时两函数图象有两个交点， 01. 答案： (1，+) 5(原创题) 若函数 f(x)a x1( a0，a1)的定义域和值域都是0,2 ，则实数 a 等于 _ 解析：由题意知Error!无解或Error!a .答案：3 3 21 6已知定义域为 R 的函数 f(x) 是奇函数(1)求 a，b 的值； 2x b2x 1 a (2)若对任意的 tR ，不等式 f(t22t )f (2t2k)2t 2k. 即对一切 tR 有 3t22tk0，从而 412k 1，因底数 21，故 3t22tk0 上式对一切 tR 均成立，从而判 别式 412k 0 且 a1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 那么一定有_ 00 01 且 b1 且 b0 解析：当 00，a1) ； g(x)0；若 ，则 a 等于_ f(1)g(1) f( 1)g( 1) 52 22 解析：由 f(x)a xg(x)得 a x，所以 aa 1 ，解得 a2 或 .答 f(x)g(x) f(1)g(1) f( 1)g( 1) 52 52 12 案：2 或 12 4(2010 年北京朝阳模拟)已知函数 f(x)a x(a0 且 a1)，其反函数为 f1 (x)若 f(2)9， 则 f1 ( )f(1)的值是_ 13 解析：因为 f(2)a 29，且 a0，a3，则 f(x)3 x ，x1， 13 故 f1 ( )1. 又 f(1)3，所以 f1 ( )f (1)2.答案：2 13 13 5(2010 年山东青岛质检)已知 f(x)( )x，若 f(x)的图象关于直线 x1 对称的图象对应的 13 函数为 g(x)，则 g(x)的表达式为_ 解析：设 yg( x)上任意一点 P(x，y)，P(x，y)关于 x1 的对称点 P(2x，y) 在 f(x)( )x 13 上，y( )2x 3 x2 .答案：y3 x2 (xR ) 13 6(2009 年高考山东卷改编)函数 y 的图象大致为 _ ex e xex e x 解析：f(x) f(x)，f (x)为奇函数，排除. e x exe x ex ex e xex e x 又y 1 在(，0)、(0，)上都是减函数， ex e xex e x e2x 1e2x 1 e2x 1 2e2x 1 2e2x 1 排除、.答案： 7(2009 年高考辽宁卷改编)已知函数 f(x)满足：当 x4 时，f(x) ( )x；当 x0，且 a1)在区间 1,1上的最 大值为 14，求实数 a 的值 解：f(x )a 2x2a x1( ax1) 22， x 1,1， (1)当 01 时， a xa，当 axa 时，f (x)取得最大值 1a (a1) 2214，a3.综 上可知，实数 a 的值为 或 3. 13 11已知函数 f(x) .(1)求证：f(x)的图象关于点 M(a，1)对称； 22x a 1 (2)若 f(x)2 x 在 xa 上恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1)证明：设 f(x)的图象 C 上任一点为 P(x，y)，则 y ， 22x a 1 P(x，y)关于点 M(a，1)的对 称点为 P(2 ax ， 2y) 24 2y2 ， 22x a 1 22x a2x a 1 21 2 (x a) 22(2a x) a 1 说明点 P(2 ax，2y )也在函数 y 的图象上，由点 P 的任意性知， f(x)的 22x a 1 图象关于点 M(a，1) 对称 (2)由 f(x)2 x 得 2 x，则 2 x，化为 2xa 2x2 x20，则有(2 x) 22x a 1 22x a 1 22 a2x22 a 0 在 xa 上恒成立令 g(t)t 22 at22 a，则有 g(t)0 在 t2 a上恒成 立g( t)的对 称轴在 t0 的左 侧，g(t)在 t2 a上为增函数 g(2 a)0.(2 a)2(2 a)222 a0， 2 a(2a1)0，则 a0.即实数 a 的取值范围为 a0. 12(2008 年高考江苏)若 f1(x)3 |xp1| ，f 2(x)23 |xp2| ，xR，p 1、p 2 为常数，且 f(x)Error!(1)求 f(x)f 1(x)对所有实数 x 成立的充要条件(用 p1、p 2 表示) ；(2)设 a，b 是两个实数，满足 ap2时， g(x)Error! 所以 g(x)maxp 1p 2，故只需 p1p 2log 32. 当 p1log32 时，不妨设 p1log32.于是，当 xp 1时，有 f1(x) 3 p1x 3log323xp2 f 2(x)，从而 f(x)f 2(x) 当 p10，且 a1) 的反函数，其图象经 过点( ，a) ，则 f(x)_.a 解析：由题意 f(x)log ax，alog aa ，f (x)log x.答案：log x 12 12 12 12 2(2009 年高考全国卷)设 alog 3，blog 2 ，c log 3 ，则 a、b、c 的大小关系是3 2 _ 解析：alog 31，blog 2 log23( ，1)，clog 3 log32(0， )，故有 abc.3 12 12 2 12 12 答案：abc 3若函数 f(x) ，则 f(log43)_. 1,04)xx 解析：01. 13 26 又 是单调递减的，故 g(x)递减且过(0,0)点， 正确答案： 1x 1 5(原创题) 已知函数 f(x)alog 2xblog 3x2，且 f( )4，则 f(2010)的值为_ 12010 解析：设 F(x)f(x)2，即 F(x)alog 2xblog 3x，则 F( ) 1x alog 2 blog 3 (alog 2x blog3x)F( x)，F(2010)F( ) f( )2 1x 1x 12010 12010 2， 即 f(2010)22，故 f(2010)0.答案：0 6若 f(x)x 2x b，且 f(log2a)b，log 2f(a)2( a0 且 a1)(1) 求 f(log2x)的最小值及相 应 x 的值；(2)若 f(log2x)f(1)且 log2f(x)0；f( )lg ，所以 错误x1x2 x1 x22 x1x2 答案： 3(2010 年枣庄第一次质检)对任意实数 a、b，定义运算 “*”如下： a*bError! ，则函数 f(x)log (3x2)*log 2x 的值域为_ 12 解析：在同一直角坐标系中画出 ylog (3x2) 和 ylog 2x 两个函数的图象， 12 由图象可得 f(x)Error!，值域为(，0 答案：( ，0 4已知函数 yf( x)与 ye x 互为反函数，函数 yg( x)的图象与 yf (x)的图象关于 x 轴对称， 若 g(a)1，则实数 a 的值为_ 解析：由 yf(x )与 ye x 互为 反函数，得 f(x)ln x，因 为 yg(x)的图象与 yf(x )的图象 关于 x 轴对称，故有 g(x)ln x，g(a)1ln a1，所以 a . 1e 答案： 1e 5已知函数 f(x)满足 f( )log 2 ，则 f(x)的解析式是_ 2x |x| x|x| 解析：由 log2 有意义可得 x0，所以，f ( )f ( )，log2 log 2x，即有 f( )x|x| 2x |x| 1x x|x| 1x log 2x，故 f(x)log 2 log 2x.答案：f (x)log 2x，(x0) 1x 6(2009 年高考辽宁卷改编)若 x1 满足 2x2 x5，x 2 满足 2x2log 2(x1)5，则 x1x 2_. 解析：由题意 2x12x 15，2x 22log 2(x21) 5， 所以 2x152x 1，x1log 2(52x 1)，即 2x12log 2(52x 1)令 2x172t ，代入上式得 72t 2log 2(2t2)22log 2(t1)，52t 2log 2(t1) 与式比较得 tx 2，于是 28 2x172x 2.x 1x 2 .答案： T2 72 7当 xn，n1)，(nN)时，f (x)n2，则 方程 f(x)log 2x 根的个数是_ 解析：当 n0 时，x 0,1) ，f(x)2； 当 n1 时，x 1,2)，f(x)1； 当 n2 时，x 2,3)，f(x)0； 当 n3 时，x 3,4)，f(x)1； 当 n4 时，x 4,5)，f(x)2； 当 n5 时，x 5,6)，f(x)3.答案：2 8(2010 年福建厦门模拟)已知 lgalgb0，则函数 f(x)a x 与函数 g(x)log bx 的图象可 能是_ 解析：由题知，a ，则 f(x)( )xb x ，g(x)log bx，当 01 时 ，f(x)单调递减， g(x)单调递减 答案： 9已知曲线 C：x 2y 29(x0，y0)与函数 ylog 3x 及函数 y3 x 的图象分别交于点 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，则 x12x 22 的值为_ 解析：ylog 3x 与 y3 x 互为反函数，所以 A 与 B 两点关于 yx 对称，所以 x1y 2，y1x 2，x 12x 22x 12y 129.答案：9 10已知函数 f(x)lg (kR 且 k0)(1)求函数 f(x)的定义域； kx 1x 1 (2)若函数 f(x)在 10，)上是单调增函数，求 k 的取值范围 解：(1)由 0 及 k0 得 0，即 (x )(x1)0. kx 1x 1 x 1kx 1 1k 当 0 ； 当 k1 时，xR 且 x1；当 k1 时，x1.综上可 1k 1k 得当 00，k . 10k 110 1 110 又 f(x)lg lg(k )，故对任意的 x1，x2，当 10x 1 ，k10，a1)(1) 求 f(x)的定义域； 1 x1 x (2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明；(3) 求使 f(x)0 的 x 的取值范围 解：(1)由 0 ，解得 x(1,1) 1 x1 x (2)f(x) log a f(x)，且 x(1,1) ，函数 yf(x)是奇函数 1 x1 x (3)若 a1，f(x)0，则 1，解得 00，则 00 且 a1. aa2 1 (1)对于函数 f(x)，当 x(1,1)时，f (1m) f (1m 2)1 时， 0，ax 是增函数，a x 是增函数， f(x)是 R 上的增函数； aa2 1 当 00 且 a1 时，f (x)是 R 上的增函数 (1)由 f(1m) f(1m 2)1 且 01 的解集为_ 解析：a1,01log b(x3)0log b(x3) logb101 时， x 1，xx ，排除3 23x2 32132 .答案： 3(2010 年江苏海门质检)若 x(0,1)，则下列结论正确的是_ 2 xx lgx 2 xlgxx x 2xlgx lgxx 2x 1212121 解析：x(0,1)，22 x1,00，即 aa，则由知 f(x) a2； a3 23 23 若 xa，则 xa2a a2.此时 g(a) a2. 23 23 综上，得 g(a) Error! (3)()当 a(， ，) 时，解集为( a，)； 62 22 ()当 a ， )时，解集为 ， ) ； 22 22 a 3 2a23 ()当 a( ， )时，解集为(a， ，) 62 22 a 3 2a23 a 3 2a23 B 组 1(2010 年江苏无锡模拟)幂函数 yf (x)的图象经过点(2， )，则满足 f(x)27 的 x 的 18 值是_ 解析：设幂函数为 yx ，图象 经过点( 2， )，则 (2) 18 18 ， 3， x3 27，x .答案： 13 13 2(2010 年安徽蚌埠质检)已知幂函数 f(x)x 的部分对应值如下表： x 1 12 32 f(x) 1 22 则不等式 f(|x|)2 的解集是_ 解析：由表知 ( )， ，f (x)x .(|x|) 2，即| x|4，故4x4. 22 12 12 12 12 答案：x| 4x 4 3(2010 年广东江门质检)设 kR，函数 f(x)Error!F(x)f(x) kx，xR .当 k1 时，F(x) 的 值域为_ 解析：当 x0 时，F(x ) x2；当 x0 时，F(x)e xx ，根据指数函数与幂函数的单 1x 调性，F (x)是单调递增函数，F (x)F(0)1，所以 k1 时，F( x)的值域为(，1 2， ) 答案：( ，1 2，) 4设函数 f(x)Error!若 f(4)f(0)，f (2)0，则关于 x 的不等式 f(x)1 的解集为 _ 解析：由 f(4)f(0)，得 b4.又 f(2) 0，可得 c4，Error!或Error!可得 3x1 或 x0.答案：x| 3x 1 或 x0 5(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)Error!若 f(2a 2)f(a)，则实数 a 的取值范围是 _ 解析：函数 f(x)Error!的图象如图 知 f(x)在 R 上为增函数 f(2a 2)f(a)，即 2a 2a. 解得20 时，g(x) 12 12 12 22x0， x 1；当 x0 时， g(x)x 2 x1x0，x 2 x10，x2(舍) 12 32 或 x ，所以有两个零点答案：2 12 8设函数 f(x)x|x| bx c ，给出下列四个命题： c0 时，f(x )是奇函数；b0，c0 时，方程 f(x)0 只有一个实根；f(x)的图象关于(0 ，c )对称；方程 f(x)0 至多有两个 实根其中正确的命题是_ 解析：c0 时，f( x)x| x| b( x )x| x|bx f(x) ，故 f(x)是奇函数； b0， c0 时，f(x )x|x |c 0，x0 时，x 2c0 无解，x0， f(m4) 的符号为正 11(2010 年安徽合肥模拟)设函数 f(x)ax 2bx c，且 f(1) ，3a2 c2b，求证：(1) a0 a2 34 且32c2b， 3a0,2b0， b2c2b， 3a3a2b2 b.a0，30 时，a0，f(0)c0 且 f(1) 0，f(1) 0，函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一 a2 个零点综合得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点 (3)x 1、x2是函数 f(x)的两个零点，则 x1、x2是方程 ax2bxc0 的两个根， x 1x 2 ，x1x2 ，|x 1x 2| ba ca 32 ba (x1 x2)2 4x1x2 . 30 ， ， .由| |1 得() 21， 3a ba 即() 24 1，94aba 2，即 a24ab 9(a1)的图象的基本形状是_ x|x| 解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图 象即可，函数解析式： yError! ，由指数函数图象易知正确 答案： 3已知函数 f(x)( )xlog 3x，若 x0 是方程 f(x)0 的 15 解，且 0log3x1， 15 f(x 1)0.答案： 正值 4(2009 年高考安徽卷改编)设 ab 时，y0. 由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有正 确答案： 5(原创题) 已知当 x0 时，函数 yx 2 与函数 y2x 的图象如图所示，则当 x0 时，不 等式 2xx21 的解集是_ 解析：在 2xx21 中，令 xt ，由 x0 得 t0， 2 t (t) 21 ，即 t22 t，由所给图象得 2t 4， 2x4，解得 4x2. 答案：4x2 6已知函数 f(x) (2,5312x (1)画出 f(x)的图象； (2)写出 f(x)的单调递增区间 解：(1)函数 f(x)的图象如图所示, (2)由图象可知，函数 f(x)的单调递增区间为-1,0 ，2,5 B 组 1.(2010 年合肥市高三质检)函数 f(x)ln 的图象只可能是_ 1 x1 x 解析：本题中 f(x)的定义域为x|10 时，g(x) log 2x，则函数 yf(x )g(x)的大致图象为 _ 38 解析：f(x) 为偶函数，g(x )是奇函数，所以 f(x)g(x)为奇函数，图象关于原点对称，当 x时，f(x)，g(x) ，所以 f(x)g(x)答案： 5某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油运输机的余油量为 Q1(吨)，加油机加油 箱内余油 Q2(吨)，加油时间为 t 分钟，Q 1、Q 2 与时间 t 的函数关系式的图象如右图若运 输机加完油后以原来的速度飞行需 11 小时到达目的地，问运输机的油料是否够用？ _. 解析：加油时间 10 分钟，Q 1由 30 减小为 0.Q2由 40 增加到 69，因而 10 分钟时间内运 输机用油 1 吨以后的 11 小时 需用油 66 吨因 6966，故运输机的油料够用答案：够用 6已知函数 yf( x)(xR)满足 f(x2)f(x)，且 x( 1,1时，f(x)|x|，则 yf(x) 与 ylog 7x 的交点的个数为_ 解析：由 f(x 2)f(x )知函数 yf (x)为周期为 2 的周期函数，作图 答案：6 7函数 yx (m，nZ，m0，|m|，| n|互质) 图象如图所 mn 示，则下 列结论正确的是_ mn0，m，n 均为奇数 mn0，m，n 一奇一偶 解析：由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0，)上单调递减，此时只需保 证 0 且 a1)(1)证明：函数 yf(x) 的图象关于点( ， )对 aax a 12 12 称；(2)求 f(2)f(1)f(0)f (1)f(2)f(3)的值 解：(1)证明：函数 f(x)的定义域为 R，任取一点( x，y)，它关于点( ， )对称的点的坐标 12 12 为(1x ，1 y)由已知，y ，则1y 1 .,f(1x) aax a aax a axax a . aa1 x a aaax a aaxa aax axax a 1yf(1 x)即函数 yf(x)的图象关于点( ， )对 称 12 12 (2)由(1)有1f(x)f(1x) 即 f(x)f (1x )1. f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f (1)1. 则 f(2)f(1)f(0) f(1)f(2)f (3)3. 12设函数 f(x) (xR ，且 a0，x )(1)若 a ，b ，指出 f(x)与 g(x) 的 x bax 1 1a 12 32 1x 图象变换关系以及函数 f(x)的图象的对称中心；(2)证明：若 ab10，则 f(x)的图象必关 于直线 yx 对称 解：(1)a ，b ，f(x) 2 ， 12 32 x 32 12x 1 2x 3x 2 1x 2 f(x)的图象可由 g(x)的图象沿 x 轴右移 2 个单位，再沿 y 轴上移 2 个单位得到，f(x)的 图象的对称中心为点(2,2) (2)证明：设 P(x0，y0)为 f(x)图象上任一点，则 y0 ，P(x0，y0)关于 yx 的对称点 x0 bax0 1 41 为 P(y 0，x0)由 y0 得 x0 .P( y0，x0)也在 f(x)的图象上故 f(x)的图象关 x0 bax0 1 y0 bay0 1 于直线 yx 对称. 第四章 函数应用 A 组 1已知函数 f(x)Error!则函数 f(x)的零点个数为_ 解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道 图象与 x 轴有三个交点，即函数的零点有 3 个答案：3 2根据表格中的数据，可以判定方程 exx20 的一个根所在的区间为_ x 1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x2 1 2 3 4 5 解析：据题意令 f(x)e xx2，由于 f(1)e 1122.72 30，故函数在区间(1,2) 内存在零点，即方程在相应区间内有根 答案：(1,2) 3偶函数 f(x)在区间0，a( a0)上是单调函数，且 f(0)f(a)0)上是单调函数，且 f(0)f(a)1 时，g( x)有 2 个零点； a 的最小值为 1.答案：1 6(2009 年高考上海卷)有时可用函数 f(x)Error! 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数(x N *)，f(x) 表示 对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关 (1)证明：当 x7 时，掌握程度的增长量 f(x1)f(x)总是下降； (2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121，(121,127， (127,133当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科 解：(1)证明：当 x7 时，f(x1) f (x) .而当 x7 时，函数 y( x3) 0.4(x 3)(x 4) (x4)单调递增，且(x3)( x4) 0，故 f(x1)f(x)单调递 减 当 x7，掌握程度的增 长量 f(x1)f(x)总是下降 (2)由题意可知 0.115ln 0.85，整理得 e 0.05， aa 6 aa 6 解得 a 620.506123.0，123 0(121,127 e0.05e0.05 1 由此可知，该学科是乙学科 B 组 1(2010 年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数 据： x 1.99 3 4 5.1