厦门市2017届高中毕业班第一次质量检查数学试题(理)含答案

厦门市 2017 届高中毕业班第一次质量检查 数学（理科）试题 试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分 150分 ,考试时间 120分钟 第卷（选择题 共 60 分） 一 、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 2 5 6 0A x x x ， 110，则 A. 16， B. (16， C. 1+ )， D. 23， 1（其中 i 为虚数单位），若 z 为纯虚数，则实数 a 等于 A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 若 4 5 2 3A a b ， ， 则 A. 30 B. 60 C. 30 或 150 D. 60 或 120 4. 若实 数 满足 条件 12 3 0 ， 则1yz x 的 最小值为 A. 13B. 12C. 34D. 1 平面 ， =l， 直线 m ，直线 n ， 且 ，有 以下 四个结论： 若 / m 若 m ，则 / m 和 n 同时成立 m 和 n 中至少有一个成立 其中正确的是 A B C D 6已知 ，点 D 为斜边 中点 ， 63， 6， 12D，则B 等于 A. 14 B. 9 C. 9 4的 焦点 为 F ， 点 (3,2)A ， P 为 抛物线 上 一点， 且 P 不 在直线 ， 则 长的最小值为 A. 4 B. 5 C. 4+2 2 5 20 人，学籍编号 1， 2， 220；女生 380 人，学籍编号 221， 222，学籍编号采用系统抽样的方法从这 600 名学生中抽取 10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为 10），然后再从这 10 位学生中随机抽取 3 人座谈，则 3 人中既有男生又有女生的概率是 A 15B. 310C. 原理是“一分为二，无限逼近” 输入121 2 0 . 1x x d ， ，则输出 n 的值为 12 ( ) 0 ?x x d f m 或结 束1( ) ( ) 0 ?f m f x 2222( ) 2f x x12d x 精 确 度 和 ， 的 值1n，是 否是否 1开 D. 5 0, ) 上连续可导的函数 ()( ) ( )xf x f x x，且 (1) 1f ，则A. () B. ()函数 C. () 大值 1 D. () 小值 1 曲线 22 1 ( , 0 )xy ，过 x 轴上点 P 的 直线 l 与 双曲线 的 右支交于 两点（ M 在第一象限） ， 直 线 双 曲线左支于 点 Q （ O 为坐标原点），连接 若60 ， 30 ，则 该双曲线 的离心率 为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 4 12已知 P ， Q 为动直线 2( 0 )2y m m 与 和 在区间 0, 2上的左，右两个交点， P ， Q 在 x 轴上的投影分别为 S ， R 积取得最大值时，点 坐标为0x，则 A0 8x B. 0 8x C. 086xx 第卷 (非选择题 共 90分 ) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1351(2 + )x 开式中 ， x 的系数 为 _ 14化 简：0013c o s 8 0 s i n 8 0_ 15某 三棱锥 的 三视图 如图所示 ，则其外接 球的 表面积为 _ 16 若实数 a， b， c 满足 22( 2 1 ) ( l n ) 0a b a c c ， 则 最小值是 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知数列 满足1 1a，1323nn a ， *. （ ）求证 ： 数列 1为 等差数列 ； （ ）设2 1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 2 2 2 11 1 1 1 1 1n n n n nT a a a a a a a a a a a a ，求2 18 （本小题满分 12 分） 为了响应厦门市政府 “低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行 活动，“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车”铿锵有力的话语，传递了低碳生活、绿色出行的理念。 某机构 随机调查了本市 500 名成年 市民 某 月的骑车次数，统计如下： 人数 次数 年龄 0,10) 10,20) 20,30) 30,40) 40,50) 50,60 18 岁 至 30 岁 6 14 20 32 40 48 31 岁 至 44 岁 4 6 20 28 40 42 45 岁 至 59 岁 22 18 33 37 19 11 60 岁及以上 15 13 10 12 5 5 联合国世界卫生组织于 2013 年确定新的年龄分段： 44 岁 及 以下为青年人， 45 岁至 59岁为中年人， 60 岁 及 以上为老年人 记本市一个年满 18 岁的青年人月骑车的平均次数为 （）估计 的值； （）在本市老年人或中年人中随机访问 3 位，其中月骑车次数超过 的人数记为 ，求 的分布列与数学期望 . 19（本小题满分 12 分） 在如图所示的 六面体 中， 面 边长为 2 的正方形， 面 直角梯形，90， /E ， 24F. （ ）求证： ； （ ）若二面角 E 为 60 ，求直线 平面 成角的正弦值 . 20.（本小题满分 12 分） 已知 函数 ( ) l n 1 ( )f x x k x k R . （）讨论函数 () （）当 1k 时，求证： 12 ( ) 2 xf x x e 恒成立 . 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22223: 1 ( 2 )43 ，动圆 P ： 2200 4( ) ( ) 3x x y y （圆心 P 为 椭圆 C 上 异于左右顶点的任意一点 ），过 原点 O 作两条射线与圆 P 相切， 分别交椭圆于 M ， 切线 长 的 最小值为 63. （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）求证： 的面积为定值 . 22.（本小题满分 10 分）选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ，曲线 1C ： 2 7 c o s7 s i ，（ 为参数 ） 以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 ，直线 l 的极坐标方程为)(3 R （）求曲线 1C 的 极坐标 方程与直线 l 的直角坐标方程； （） 若 直线 l 与 1C ， 2C 在第一象限分别交于 A ， B 两点， P 为 2C 上的动点 ， 求 面积的最大值 23.（本小题满分 10 分）选修 4等式选讲 已知函数 ( ) 1 ( 1 )f x x x m m ，若 ( ) 4的解集是 04x x x或 . （ ）求 m 的值； （ ）若关于 x 的不等式 4)( 2 解，求实数 a 的取值范围 . 厦门市 2017 届高中毕业班第 一 次质量检查 数学（理科）试题答案 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 7题意知， P 与 Q 关于直线4x 对称，设 ( ,P x x ，则( , 2Q x x ， ( ) ( 2 ) s i n ( 0 )24S x x x x ， ( ) 2 s i n ( 2 ) c o x x x x ， ( ) 4 c o s ( 2 ) s i x x x x ， 0 4x ， ( ) 0， ()在区间 (0, )4 上单调递减，且 (0) 02S ， ( ) 2 04S ， ()在区间 (0, )4存在唯一零点，即为0x. 令 0( ) 0：0 0 02 s i n ( 2 ) c o x x，即00. 由不等式0 0 0t a n ( 0 )2x x x 得：004 ，解得：0 8x ，故选 A. 命题意图：考查三角函数的图象与性质、导数、零点、不等式等，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 40 14. 4 15. 32316. 1 三视图可得三棱锥 A 的直观图如图所示，取 中点 E ，连接 设 O 为 的外心， R 为三棱锥的外接球的半径，则 O 在线段 ， 因为 2 2 2O D O E D E，即 2 2 2( 6 ) ( 2 ) ，解得： 263R， 所以， 32 法一）由 22( 2 1 ) ( l n ) 0a b a c c 得： 2 1,c c 在坐标系中考察函数 ( ) 2 1f x x与 ( ) x x x 的图象， 所以， 的最小值等价于直线 与函数 ( ) 2 1f x x， ( ) x x x 交点横坐标之间距离的最小值 2l y x m与 ()切于点00( , )B x y，则 0( ) 2解得：0 1x， 所以， (0,1), (1,1). （ 法二）由 22( 2 1 ) ( l n ) 0a b a c c 得： 2 1,c c 2 ，则 l n 1 l n 122c c c cb c c ，令 () 2 ，则 11( ) ( 1)2fc c， 当 ( ) 0时， 1c ；当 ( ) 0时， 01c；当 ( ) 0时， 1c ； 所以， () (0,1 单调递增，在 1, ) 单调递减，故 ( ) (1) 1f c f ( ) 1， 所以，m i n m i n( ) 1 .b c f c 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17本题以递推 数列为背景考查等差数列的判定以及利用基本量的求和运算，（）重点考查利用数列递推形式构造等差或等比数列以及等差数列的判定方法；（）主要考查数列求和应首先探寻通项公式，通过分析通项公式的特征发现求和的方法 . 满分 12 分 （）证明：法一：由1323nn a ， 得1231 1 2=33nn n a a 3 分 11 1 2= 3 数列 1是首项为 1 ，公差为 23的等差数列 5 分 法二：由1323nn a 得 111= 2313 3 分 1 2 1 2= ( ) =33 4 分 数列 1是首项为 1 ，公差为 23的等差数列 5 分 （）解：设2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1= ( )n n n n n n n nb a a a a a a a 7 分 由（）得，数列 1为公差为 23的等差数列 2 1 2 11 1 4= 3 即2 1 2 1 2 21 1 1 4 1= ( ) 3n n n n nb a a a a 8 分 1 2 2 24 1 1 4 4 1 6()3 3 3 9nn ， 且1 214 1 4 1 2 2 0()3 3 3 9b 是首项 1 209b ， 公差为 169 的等差数列 10 分 2 1 2 2 0 ( 1 ) 1 6()9 2 9nn b b b n 24 ( 2 3 )9 12 分 频数分布表的理解与应用， 古典概型 、 随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想满分 12 分 解：（）由已知可得下表 人数 次数 年龄 0,10) 10,20) 20,30) 30,40) 40, 50) 50,60 合计 青年人 10 20 40 60 80 90 300 中年人 22 18 33 37 19 11 140 老年人 15 13 10 12 5 5 60 本市一个青年人月骑车的平均次数： 1 0 2 0 4 0 6 0 8 0 9 0 1 2 0 0 05 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 4 03 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 . 5 分 （）本市老年人或中年人中月骑车时间超过 40 次的概率为 1 9 1 1 5 + 5 11 4 0 6 0 5 . 7 分 0,1, 2,3 ， 1 (3 )5B , ，故 3314 , 0 , 1 , 2 , 355k C k =. 9 分 所以 的分布列如下： 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 11 分 13 0 . 12 分 19本题考查立体几何中的线面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识，考查运算求解 能力、空间想象能力、 等价转化能力，考查 数形结合思想、化归与转化、或然与必然等 数学思想满分 12 分 证明：（ 1）法一：连接 ,D 相交于点 O ，取 中点为 G ,连接 , 正方形， O 是 中点， 1/ / , 2O G B E O G B E, 又因为 1/ / ,2A F B E A F B E,所以 /F 且 F ， 所以四边形 平行四边形， 3 分 /G ，又因为 平面 平面 平面 5 分 法二：延长 ,交于点 G ,连接 因为 1/ / ,2A F B E A F B E， A 是 中点，所以 /A 且 A ， 所以四边形 平行四边形， 3 分 /D ，又因为 平面 平面 平面 5 分 G 2） 正方形， 直角梯形， 90，,D A A B F A A B F A , 平面 同理可得 平面 又 平面 所以平面 平面 又因为二面角 E 为 60 ， 所以 60F A D E B C , 24F, 2,由余弦定理得 23, 所以 C ,又因为 平面 B,所以 平面 7 分 法一：以 C 为 坐标原点， x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 3 ) , (1 , 2 , 3 )C D E F, 8 分 所以 ( 0 , 0 , 2 3 ) , (1 , 0 , 3 ) , (1 , 2 , 3 )C E D F E F ,设平面 一个法向量为( , , )n x y z ，则 00n F 即 302 3 0y z 令 3z ，则 33， 所以 ( 3, 3, 3 )n 11 分 设直线 平面 成角为 ， 则 67s i n c o s ,72 3 2 1C E n 12 分 法二：取 中点为 M ,中点为 N ，连接 ,N 为坐标原点， x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 . 则 (1 , 2 , 0 ) , (1 , 2 , 2 3 ) , ( 0 , 0 , 3 ) , (1 , 0 , 0 )C E F D 8 分 以 ( 0 , 0 , 2 3 ) , ( 1 , 0 , 3 ) , (1 , 2 , 3 )C E D F F E , 设平面 一个法向量为 ( , , )n x y z ， 则 00n E 即 302 3 0y z 令 3z ，则 33， 所以 (3, 3, 3 )n 11 分 设直线 平面 成角为 ，则 67s i n c o s ,72 3 2 1C E n 12 分 查 函数单调性、极值、零点 的基础知识 ， 考查学生运算求解与推理论证的能力 ，运用导数工具解决函数 与 方程 、 不等式综合问题的能力 。考查数形结合，分类与整合，转化与化归的数学思想。 解：（ 1）法 1：由已知 l n 10 ， 1 分 令 (x ) ，221 ( l n x 1 ) l n( x ) 0xg 2 分 ( 0 , 1 ) , ( x ) 0 , ( x )x g g单调递增 (1 , ) , ( x ) 0 ， (x)g 单调递减 m a x( x ) = (1 ) = 1 3 分 ( x ) 0 ， 0 ( x ) ， 综上： 0k 或 1k 时，有 1 个零点 01k时，有 2 个零点 1k 时，有 0 个零点 5 分 法 2：， 11() x ， 1 分 0k 时， ( ) 0 , (x )f x f 单调递增 0 ( x ) ， ， ( x )x ， f ，所以，有 1 个零点 2 分 0k 时， 11( ) 0 , 0x ， 1( 0 , ) , ( x ) 0 , ( x )x f 单调递增 1( , ) , ( x ) 0 ， (x)f 单调递减， m a x 11( x ) ( ) l n ( ) 1k 时，m a x 1( x ) l n ( ) 0f k， 0 个零点 1k 时，m a x 1( x ) l n ( ) 0f k， 1 个零点 4 分 01k时，m a x 1( x ) l n ( ) 0f k， 0 ( x ) ， ， ( x )x ， f ，所以，此时有 2 个零点 综上： 0k 或 1k 时，有 1 个零点 01k时，有 2 个零 点 1k 时，有 0 个零点 5 分 （ 2）证明： 法 1：要证 12 ( x ) 2 xf x e 即证 112 ( x ) 2 2 l n x 0f x x e 令 1( x ) 2 l n x xg x e ， 11 22( x ) - 1 xx x x 7 分 1 1 1 1( x ) 2 , ( x ) 1 1 ( x 1 )x x x xh x x e h e x e e 令 1( 0 , 1 ) , ( x ) 1 ( x 1 ) 0xx h e 1111 , + ) , ( x ) 1 ( x 1 ) h e e 11( x ) = x 1 ( x ) = 1 0e m e 令 ，9 分 (x) 0h 即 ， (x)h 单调递减 11 分 1 2( 1 ) 1 = 0 , ( 0 , 1 ) , ( x ) 0 , ( x )xh e x h 单调递增， (x ) (1) 0 , (1 , + ) , ( x ) 0 , ( x )x h g 单调递减， (x (1) 0 , 综上： (x ) (1) 0 12 分 法 2 要证 12 ( x ) 2 xf x e 即证 112 ( x ) 2 2 l n x 0f x x e 令 1( x ) 2 l n x xg x e ， 1 2( x ) - 1 7 分 P O M N y x 图 1 令 1 2( x ) - 1 ， 2112 1 2 2 12 1 2 2( x ) x e x x e 令 2 1 1( x ) 2 , ( x ) 2 x 2e m e m 令 1 1 1( x ) 2 x 2 , t ( x ) 2 2 2 ( 1 )x x xe e e t 9 分 ( 0 , 1 ) , t ( x ) 0 , ( x )单调递增， ( 1 , + ) , t ( x ) 0 , ( x ) 单调递减 m a x( x ) ( 1 ) 0 ( x ) 0 ( x )m m m (0)= 1 x ) 0 ( x ) 0 ( x ) m 单调递减 11 分 1 2( 1 ) 1 = 0 , ( 0 , 1 ) , ( x ) 0 , ( x )xh e x h 单调递增， (x ) (1) 0 , (1 , + ) , ( x ) 0 , ( x )x h g 单调递减， (x (1) 0 , 综上： (x ) (1) 0 12 分 21本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，考查推理运算和方程求解能力 将切线长最短问题转化为椭圆上的动点 到定点距离最短问题；考查圆锥曲线中的有关定值问题，从变化中寻找不变量，并通过必要的推理和运算化简求值 类整合思想 . （）解：如图 1，因为 22002 14，所以 222 00 (1 )4， 由 23 23 b得： 2200 2 2 2 2 20 4( 1 )43b x b b r 故点 O 在圆 P 外， 不妨设 圆 P 相切于 T，则有： 切线长 222004433O T O P x y 1 分 代入得 P O M N y x 图 2 A B O M N y x 1 图 3 2 2 2 2044( 1 )4 3 3 x b b 3 分 由已知得：2 4233b ，解得： 2 2b ， 所以椭圆的方程为： 22142 4 分 （）解： 1当切线 率不存在即圆 P 与 y 轴相切时，易得0233 ，代入椭圆方程得：0233y ，说明圆 P 同时也与 x 轴相切（图 2），此时 M、 N 分别为长、短轴一个端点，则 的面积为 2 . 5 分 2当切线 率都存在时，设切线方程为： ， 由 得：321 200 整理得： 0436)43( 2000220 *）， 6 分 由 1知： 203 4 0x ，即0233x ，此时0233y ，方程（ *）必有两个非零根， 记为 1 2 1 2, ( )k k k k ,则 12,N 的斜率， 由韦达定理得： 2012 2034，将 2020 24 代入得： 2012 2034 18 6 2 7 分 解法一：（求交点坐标） 由上知： 21 0 ， 设点 N 位于第一、三象限，点 M 位于第二、四象限， 若点 N 位于第一象限，点 M 位于第二象限， 设 与椭圆方程 12422 立可得： )21 2,21 2( 21121 O M N y x 图 4 设 与椭圆方程 12422 立可得： )212,212(22222 9 分 11111 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2M O N M O M M O N N M M M N N N M M S Sx x y y x y x y x y x y 梯 形 10 分 代入坐标有： 122422)21)(21()(221212 222122211222212221212222112 (21222212221 同理，当点 M、 N 位于其它象限时，结论也成立 综上， 的面积为定值 2 . 12 分 解法二：（探寻直线 程特征） （接上）设 1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y 由于点 P 不与点 A、 B 重合时，直线 斜率存在，不妨设直线 方程为： y kx m， 将 椭圆方程联立可得： 2 2 2( 1 2 ) 4 2 4 0k x k m x m ， 2 2 2 2 2 21 6 ( 8 1 6 ) ( 2 1 ) 3 2 1 6 8k m m k k m ， 由 0 得 2242 ， 12 2212 24122412 8 分 121 2 1 2 1 2 212221 2 1 21 2 2 ( ) ( )2(1 2 ) 2 ( ) 2 0O M O N k x x y y x x k x m k x x x k m x x m 代入有： 2 2 222222 4 8( 1 2 ) 2 01 2 1 2m k 整理得： 2221； 9 分 2 2 22 2 21