高中新生函数变量意识培养初探

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 高中新生函数变量意识培养初探 函数是高中数学学科体系中最基 本、最重要的概念之一，函数是中学数 学的重点知识，包含的内容非常广泛， 它的概念和思想渗透高中数学教学的各 个方面.学生学习函数知识最主要的是树 立函数观点，并自觉养成用函数的观点 和方法解决各类相关的复杂问题的习惯. 中国论文网 /9/view-13003226.htm 高中数学注重数学思维品质的培 养，注重数学思维逻辑的建立，强调学 生要善于从具体到抽象的概括归纳与总 结，注重培养学生学习数学中的“变式 思想”“数形结合思想”“ 形变等价思想” “化归趋同思想 ”等数学思想与方法 . 函数观点下的变量意识形成不易 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 在初中函数是这样定义的：如果 在某变化过程中有两个变量 x 与 y，并 且对变量 x 在某个范围内的每一个确定 的值，按照某个对应法则，y 都有唯一 确定的值和它对应，那么 y 就是 x 的函 数，变量 x 叫自变量，y 叫因变量. 高中在学习了映射以后，用映射 对函数进行了新定义：设 A、B 是两个 非空数集，在对应法则 f 下，对于自变 量 x 在集合 A 内的任意一个值，在集合 B 中都有唯一元素 y 与之对应，且集合 B 中任意一个元素在集合 A 中都有原象 与之对应，那么在这条件下的映射称之 为函数.并且，如果 y 是 x 的函数，特记 为 y=f（x） ， f 是对应法则， x 是自变量. 并且集合 A 称作函数的定义域，设值域 为 M，则 MB. （1） （2） （3） （1）是映射不是函数， （2） （3）既是映射又是函数. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 从函数的两种定义知道，构成一 个函数必有三要素：定义域、对应法则 和值域.通过函数概念在不同历史时期的 演变及发展史不难发现： 一、函数自变量的相对独立性 例 1 函数 f（2x）的定义域是- 1，1，求函数 f（log2x）的定义域 . 分析在这里，函数定义域是指独 立自变量 x 的范围是-1x1，故 122x2，从而 f（x）的定义域是 12，2，而我们所要求的函数 f（log2x）的定义域显然既不是-1，1 ， 也不是 12，2，而应根据 f（x）中 x12，2 得 x2，4. 从而求解得 x12，2. 在这里 2x 与 log2x 中的变量 x 其 意义是不一样；二是 2x 与 log2x 在 f 作 用下的取值范围是相同的.又如， 例 2 已知函数 f（x-2）=x2- 3x+5，求 f（ 2）的值. 分析这里 f（2）=f（4-2 ） ，即 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 x=4.从而 f（ 2）=f （4-2） =42-34+5=9. 在这里充分注意到自变量的独立性，从 而避免了通过想办法求解 f（x）的解析 式这一繁杂的过程.用同样方法不难求解 下面的题目. 二、函数自变量的整体性 函数自变量在具有独立性的同时， 有时往往又具有待定的整体性. 例 3 已知 f（x2-4 ）=lgx2x2-8 ， 求函数的定义域. 分析 f（x2-4 ）与 f（x）是两个 不同的函数，如果通过求解 x2x2-80， 得 x22 或 x0，且 g（1）0，这样就可 不难求得 x 的正确取值范围是 x3. 二、建构函数的思想 例 6 已知 a，b，c R 且|a|-1. 分析原不等式等价于 ab+bc+ca+10，也即（b+c） a+（bc+1）0，因为这里 a（-1，1） ， 这是一个很重要的信息条件，利用好这 个信息条件是解决本问题的关键.如果有 变量意识，构建一个以“a”为自变量的 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 函数，令这个函数 f（a ） =（b+c ） a+（bc+1） ，符合题意条件不外乎下面 两种情形： （1）若 b+c=0，tf （a） =bc+1，由|bc|0； （2）若 b+c0，由于一次函数 的单调性，只需满足 f（-1）0 且 f（1） 0 即可， 因 f（-1 ）=（-b-c）+1+bc=（b- 1） （c-1 ）0，同理 f（1）0. f（a）在|a|0.从而问题得证. 三、变量自身的函数特征 分析变量自身函数特征，能够抓 住问题的主要方面，防止在认知上出现 偏差. 例 7 已知函数 y=lg（mx2-4x+m- 3）的值域是全体实数，求实数 m 的取 值范围. 分析对函数 y=lgax 的值域是 R， 其定义域为（0，+） ，这一点学生深信 不疑，但在其具体的解题过程中，普遍 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 学生是这样做的： 解设 t=mx2-4x+m-30， 要使原函数的值域为 R，须不等式满 足 m0 且 4.引导学生把函数 t=mx2- 4x+m-3（m0） ，且 0）有最小值 t0， 这里 t 的范围是 tt0，+） ，无法保证 t（0，+） ，学生一目了然，终于明 白了自己认识上的错误.这里 mx2-4x+m- 3 是一个函数，正确解法如下： 解设 t=mx2-4x+m-3，当 m=0 时， t=-4x-3，t（- ，+） ，而（0，+） （- ， +） ，符合题意；当 m0 时， 0 即可得 0m4，此时 t 的范围含 （0，+ ）部分，符合题意；当 m0 时， 不合题意，由此可知 0m4 为所求. 函数