线性代数教学中的应用意识培养

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 线性代数教学中的应用意识培养 摘 要： 线性代数在自然科学、 社会科学、工程技术等领域发挥着愈来 愈重要的作用。一直以来线性代数教学 大多以传授基本理论知识为主，教学中 理论联系实际相对薄弱。本文结合实例， 论述了在线性代数课程教学中渗透应用 意识、培养创新能力的方法。 中国论文网 /8/view-12908755.htm 关键词： 线性代数；应用意识； 教学实例 中图分类号： O15；G642.4 文 献标识码： A 文章编号： 2095- 8153（2016）06-0077-04 美国著名教材线性代数及其应 用作者 David Lay 说：“ 线性代数就是 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 一门语言”1。 “如果不熟悉线性代数的 概念，像线性性质、向量、线性空间、 矩阵等等，要去学习自然科学，现在看 来和文盲差不多，甚至可能学习社会科 学也是如此”2。线性代数是高校理工 类、经管类等专业必修的一门重要基础 数学课程，在自然科学，社会科学、工 程技术等领域发挥着愈来愈重要的作用。 一、线性代数教材和应用性教学 线性代数课程多年来教学内容以 传授严格的理论知识为主，理论联系实 际相对薄弱。现在各类高校广泛使用同 济大学的线性代数 （第五版）3， 该教材结构严谨、逻辑清晰、叙述详细。 唯显不足的是限于教学时数（40 左右） 和篇幅，虽然所选用的例题、习题十分 典型，但涉及应用性的例题、习题屈指 可数。国内其他教材大致如此，本校自 编教材也是如此4。David Lay 编写的 线性代数及其应用在讲授基础理论 的同时突出了应用（正如书名） ，全书 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 各类应用性例题共 51 个，练习题 196 个，说明了线性代数可以用于工程技术、 计算机、数学、物理、生物、经济和统 计等学科，应用性特色非常鲜明，表明 了课程非常重视理论应用，而且突出了 应用的价值。 二、明确指导思想，树立应用意 识 在科学技术、经济管理等领域， 我们不仅要研究两个变量之间的关系， 还要进一步研究多个变量之间的关系。 各种实际问题中多变量关系在一定的条 件下可以转化为线性关系，线性代数正 是解决线性问题的强有力手段，是解决 相关实际问题的重要数学模型（或工具） ，另外学习线性代数对学生数学思维的 训练、数学方法的掌握和数学应用能力 的提升都有重要的意义。因此，线性代 数不仅是一种工具，而且是一种思维模 式；不仅是一种知识，而且是一种科技 素养。 我们在教学中，应当明确教学指 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 导思想，不仅教学生基础理论，更要引 导学生把学到的理论知识进行应用，解 决各类相关具体问题。但是由于教学时 数的限制，课堂上不可能有大量的时间 来解决各种应用问题，因此必须做好教 学总体设计，依据讲授的内容，适当介 绍一些典型问题及解决的思路和方法， 通过课后习题和课外活动，把课堂所学 理论拓展到教学实践中，深化理论学习 的成果。 三、注重教学设计，落实教学要 求 1. 联系线性代数的实际背景 很多数学概念的产生其实都有深 厚的实际背景，这些内容在教材中很少 体现出来。在引入新的概念时适当地为 学生提供一些线性代数概念和方法产生 的实际背景，不仅对概念的理解有帮助， 而且对激发学生的学习兴趣也有很大的 促进作用，对掌握相关内容也有很大的 帮助。如矩阵的概念，矩阵的本质就是 一个数表，那么有数表的地方就有矩阵， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 矩阵的广泛应用自然就彰显出来了。如 果把矩阵看作向量组，线性方程组求解、 向量的线性相关性、向量空间等知识就 相互联系起来了，应用的前景自然显现 出来。对于非零向量 x，若满足 Ax=？ 姿 x，则矩阵对向量的运算（变换）就 简化为某个数与向量的乘积（向量的伸 缩） ，特征值的作用就十分重要了。如 此这般，不一一列举。 2. 引入实际应用案例 教学过程中要善于把数学的思想 和观念结合具体实例的分析，渗透应用 意识，分析和解决一些实际问题，提高 学生学习的兴趣，提高数学能力和素养。 结合矩阵的乘法运算和矩阵的逆 运算，介绍信息传输加密、解密的实例； 结合线性方程组的求解的案例更多，如 石油勘探中勘探设备获得的大量数据所 满足成百上千个方程的线性方程组的求 解；在国民经济中为了预测经济形势， 利用投入a 出经济数学模型，也往往 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 归结为求解一个线性方程组；餐饮业中 配制营养套餐或减肥食谱也需要解线性 方程组；天气和气象预报，根据诸多因 素最后归结为一个线性方程组的求解； 在卫星遥感图像处理中，卫星利用三种 可见光和四种红外光进行观测，可以获 得每一个区域七张遥感图像，由于每一 个像素对应七个数据，就形成一个多元 的向量组，在其中合成并求取主因素的 问题，就与特征值问题有关。当然，比 较复杂的线性问题的求解都需要借助计 算机软件来实现。 案例 1 方阵乘幂的应用 某城镇有 10 万人具有法定的工 作年龄，目前有 8 万人找到了工作，2 万人失业。每年有工作的人中 10%将失 去工作而失业人中的 60%将找到工作， 假定该镇的工作适龄人口在若干年内保 持不变，问 3 年后该镇工作适龄人口中 有多少人失业？ xn，yn 分别表示该镇 n 年后就业 和失业人口数，得到如下的方程组 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 xn+1=0.9xn+0.6yn，yn+1=0.1xn+0.4yn 令 xn+1yn+1=xnxn， 记 A=，则 x3y3=Ax2y2=A2x1y1=A3x0y0 其中 x0x0=8000020000。A3= 3=，故 x3y3=8000020000=8556014440 即 3 年后失业人口为 14 440 人。 应用这一模型，结合矩阵的相似 对角化，还可以进一步模拟多年后就业 人口、失业人口的变化规律和趋势。 案例 2 矩阵在信息加密中的应用 5 保密通信是当今信息时代一个非 常重要的课题，基于矩阵运算加密技术 是保密通信模型中最为基本而且最具活 力的一种。在讲授“ 逆矩阵 ”相关知识时， 可以设立一个课外研究专题可逆矩 阵及其应用。结合这一专题不仅可以用 来说明“逆矩阵 ”应用的一般思路，而且 让学生可以大显身手，从而激励学生进 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 行研究性学习，激发创新意识，这样做 的教学效果也很好。 可逆方阵 可用来对传输的信息加密。首先给每一 个英语字母指派个码字，即将 26 个 英文字母和空格分别用 1 至 26 和 0 一 一对应（当然也可以用其他方式赋值） 。 即 例如，为了传送信息 Go northeast，把对应字母的码字排列成一 个的矩阵（按列次序） A= 如果不加密直接发送明文矩阵 A，信息容易被破译，极不安全，因此 必须加密。通常的做法是设置密钥，只 有接收者获得密钥才能准确、快速解密。 加密的方式是多种多样的，必须事先约 定。 若加密是用矩阵 B=，则密钥 B-1=用于解密。 利用 B 加密 A 后，则明文 A 变 成了密文 C。即 C=BA= -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 接收者收到密文 C 后则要利用 B-1 对 C 进行解密，可得 A=B-1C= 即 Go northeast。 加密后实质是方程 BA=C 中已知 C，B 求矩阵 A，如果 B-1 存在，用逆 矩阵可解矩阵方程。当然，逆矩阵的应 用远不止如此，例如还可结合矩阵相似 对角化的方法处理矩阵多项式的计算， 等。 案例 3 线性方程组的求解 很多大学生不重视吃早餐，日常 饮食也没有规律。身体的健康需要注意 日常饮食中的营养，大学生每天的配餐 中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水 化合物。下表给出了这三种食物提供的 营养以及大学生的正常所需营养（它们 的质量以适当的单位计量） 。 根据这个问题建立一个线性方程 组，并通过求解方程组来确定每天需要 摄入的上述三种食物的量。 这是一个简单的非齐次线性方程 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 组问题。设 x1，x2，x3 分别为三种食 物的摄入量，则由表中的数据可以列出 下列线性方程组 36x1+51x2+13x3=337x2+1.1x3=352x1+3 4x2+74x3=45 写成矩阵方程形式 Ax=b，即 x1x2x3 =33 345 利用初等变换可以很快得到问题 的解。 这里直接利用 Matlab 求解： A=36，51， 13；0，7，1.1；52，34， 74 b=33 ；3；45 x=A b 可得 x= 0.27722318361443 0.39192086163701 0.23323088049177 3. 设计应用性例题的主要特征 应用性例题设置要比较新颖、富 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 有启发性；要多层次、有广泛代表性； 要典型示范便于推广应用；要结合学生 所学专业特色，体现现代科技的发展和 新的应用领域；要避免过于陈旧、过于 单一，难度不宜过高，否则难以激发学 生的研究、学习兴趣。 四、数学建模和数学软件的辅助 作用 借助计算机高速超强的计算能力， 人们看到了矩阵模型这一强有力的工具， 极大推动了大型工程、经济和管理等问 题的解决。因此对理工科学生而言，数 学课不仅应该让他们宏观地了解数学的 思想方法，还要明白作为未来工程师和 管理人员，还要了解工程中可能遇到各 种各样的数学问题，并且知道应该用什 么样的数学理论和工具（包括