河北石家庄市部分校2026-2027学年高三上学期开学考试数学+答案

高三年级开学检测

数学

考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填在答题卡上。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x||x|>1},B={x∈Z|x²+2x-3≤0},则A∩B=

A.{x|-3≤x<-1}B.{x|1<x≤3}

C.{-3,-2}D.{2,3}

2.若等比数列(an}的前三项为√2,³2,2,则该数列的第四项为

A.12B.2C.2D.1

3.已知函数f(x)可导，则

A.f'(x)B.5f'(x)C.D.f'(5)

4.已知,则

A.4√5-9B.9-4√5

5.曲线在x=1处的切线方程是

A.y=0B.y-1=0

C.(π—2)x+2y—π+2=0D.(π—2)x+2y—π=0

6.为了得到函数的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点

A.向左平移个单位长度，纵坐标不变

B.向右平移个单位长度，纵坐标不变

C.向左平移个单位长度，纵坐标不变

D.向右平移个单位长度，纵坐标不变

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7.已知等差数列(an}的公差为d,前n项和为Sn.若S₆=3S₃,a₄=7,则下列结

论中不正确的是

A.S,的图象是关于n的开口向上的抛物线上的一些点

B.a5+a₆=2a₄+2d

C.数列{an+an+1}是等差数列

D.S₉=9a5

8.若函数在区间上恰有5条对称轴，则正整数w的取

值集合为

A.{8,9,10,11}B.{8,9,10}C.{9,10,11}D.{9,10}

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列求导运算正确的是

A.(3*)'=3*1n3B.(x²cosx)'=2xcosx+x²sinx

C.(ln3)

10.已知函数(w>0)的最小正周期为,则下列选项中是

g(x)图象的对称中心的是

B.D.

11.已知数列{an}满足a₁=1,an+1=3an+2”,记bn=an+2”,则下列说法正确

的是

A.数列{b,}是等比数列，公比为3

B.数列{an}的通项公式为an=3”—2”

C.数列的前n项和为

D.数列{an+an+1}的前n项和大于3”+¹—2"+2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.命题“Va>b>c>0,a³+b³+c³>3abc”的否定是

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13.已知,则

14.当a>0,x>0时，不等式aeˣ-¹-Inx+Ina≥1恒成立，则a的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

设全集为R,集合A={x|2m-1≤x≤3m+2,m∈R,B={x|x²—3x-4≤0},

C={x∈Z|2≤x≤4m+1,m∈R}.

(1)求CRB;

(2)若A是B的子集，求实数m的取值范围；

(3)若集合C∩(CRB)的真子集有且仅有7个，求实数m的取值范围.

16.(本小题满分15分)

已知函数f(x)=mx³+x²+nx(其中常数m,n∈R),g(x)=f(x)+f'(x)

是奇函数.

(1)求g(x)的表达式；

(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.

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17.(本小题满分15分)

已知函数(w>0)的最小正周期为π.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间；

(3)求函数f(x)的最小值，并求取得最小值时x的取值集合.

18.(本小题满分17分)

已知数列{an}满足：

(1)证明：数列{an}为等比数列；

(2)记数列{nan}的前n项和为S,证明：

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=In(1+x)+x—asinx,a>0.

(1)若函数f(x)在(-1,0)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)当x∈时，f(x)≤0,求实数a的值；

(3)求证：

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数学参考答案

1.【答案】C

【解析】A={x<-1或x>1},B={-3,-2,-1,0,1},则A∩B={-3,-2}.故选C.

2.【答案】D

【解析】由等比数列的性质得，.故选D.

3.【答案】B

【解析】

4.【答案】A

【解析】因

.故选A.

5.【答案】C

【解析】,所以曲线f(x)

在x=1处的切线方程为即(π-2)x+2y-π+2=0.故选C.

6.【答案】A

【解析】,所以

只需把y=sin2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，纵坐标不变.故选A.

7.【答案】B

【解析】由得解得

对于A,的图象是关于n的开口向上的抛物线上

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的一些点，故A正确；

对于B,a₅+a₆=a₄+d+a₄+2d=2a₄+3d,故B错误；

对于C,数列{an+aa+1}是公差为2d的等差数列，故C正确；

对于D,,故D正确.故选B.

8.【答案】D

【解析】因为,所以,得

,所以正整数の的取值集合为{9,10}.故选D.

9.【答案】AD

【解析】对于A,(3*)=3*1n3,,故A正确；

对于B,(x²cosx)=2xcosx-x²sinx,故B错误；

对于C,(In3)'=0,故C错误；

对于D,故D正确.故选AD.

10.【答案】ACD

【解析】由,得w=4,所

k∈Z,得,k∈Z.故选ACD.

11.【答案】ABD

【解析】因为a+1=3a+2”,所以a+1+2+¹=3(aₙ+2”),令bₙ=aa+2”,则

bn+1=3bn,所以数列{b}是以b₁=a₁+2¹=3为首项，3为公比的等比数列，所以

bₙ=3”,故A正确；

由A可知bn=a+2”,bₙ=3",所以3"=aₙ+2”,所以aₙ=3“-2”,故B正确；

由B可知aₙ=3“-2”,所,所以数列的前n项和为

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故C错误；

因为aₙ+an+1=4×3“-3×2”,所以数列{an+a+1}的前n项和为

(3+¹-2^+²)+(3+¹-2n+¹)>3+¹-2#+²,故D正确.故选ABD

12.【答案】Ba>b>c>0,a³+b³+c³≤3abc

【解析】全称命题的否定为特称命题，所以命题“Va>b>c>0,a³+b³+c³>3abc”

的否定为“Ba>b>c>0,a³+b³+c³≤3abc”.

13.【答案】

【解析】

14.【答案】[1,+]

【解析】aeˣ⁻¹-1nx+lna≥1⇔enae-¹-1+lna≥lnx⇔elna+x-¹+x-1+lna≥

x+lnx=el×+lnx.设函数f(x)=e+x,则f'(x)=e+1>0恒成立，所以函数

f(x)单调递增，所以x-1+lna≥1nx⇔Inc≥lnx-x+1.设函数g(x)=lnx-x+1,

则当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，

g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)mx=g(1)=0,所以Ina≥0,解得a≥1,

故a的取值范围是(1,+)

15.解：(1)因为B={x|x²-3x-4≤0}={x|(x+1)(x-4)≤0}={x|-1≤x≤4},

…………2分

所以CB={x|x<-1或x>4}.……4分

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(2)当2m-1>3m+2,即m<-3时，A=Ø,故A≤B,符合题意；……5分

当2m-1=3m+2,即m=-3时，A={-7},-7∉B,不符合题意；……6分

当2m-1<3m+2,即m>-3时，要使A≤B,

需使解得.…9分

综上，实数m的取值范围.………10分

(3)由题可知，集合C∩(CRB)有且仅有3个元素，

所以7≤4m+1<8,解

故实数m的取值范围是.……13分

16.解：(1)由题意得f'(x)=3mx²+2x+n,……1分

所以g(x)=f(x)+f'(x)=mx³+(3m+1)x²+(n+2)x+n.……2分

因为g(x)为奇函数，所以对任意实数x,都有g(-x)=-g(x),

所以m(-x)³+(3m+1)(-x)²+(n+2)(-x)+n=-[mx³+(3m+1)x²+(n+2)x+n],

所以解得……5分

.……6分

(2)由(1)知，所以g'(x)=-x²+2.……7分

令g'(x)=0,解得x₁=-√2,x₂=√2.……8分

当x<-√2或x>√2时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

当-√2<x<√2时，g'(x)>0,g(x)单调递增，……10分

.……11分

所以g(x)在区间[1√2]上单调递增，在[√2,2]上单调递减

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因……13分

所以g(x)在区间[1,2]上的最大值为最小值为…15分

17.解：(1)

……1分

………2分

………3分

……4分

.……5分

因为函数f(x)的最小正周期为π,

所以所以w=1,……6分

.………7分

(2),k∈Z,……8分

,k∈Z,……10分

所以函数f(x)的单调递增区间k∈Z.……11分

(3)因为x∈R,所,……12分

时，,……13分

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此时,k∈Z,即k∈Z,……14分

所以f(x)取得最小值时x的取值集合.……15分

18.证明：(1)由

所以对Vn∈N,.……2分

当n为奇数时，设n=2k-1,则

所以a₂k-1=(azk-1-azk-3)+(azk-3-azk-5)+…+(a₃-a₁)+a₁………3分

所以.……………5分

当n为偶数时，n+1为奇数，则

.…7分

综上，对Vn∈N,.………8分

因为对Vn∈N*,都

所以数列{a}是以为首项，为公比的等比数列.…………10分

(2)由(1)得，对Vn∈N,,贝则,………11分

,………………12分

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错位相减得，………………13分

,……15分

所以.…………17分

19.(1)解：因为函数f(x)在(-1,0)上单调递增，

所以f'(x)≥0在(-1,0)上恒成立，即)在(-1,0)