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颍上一中 2013 年高中数学竞赛(高一卷) 时间:2014 年 1 月 4 日 9:00 11:00 注意:可以使用计算器,但不得相互借用。监考老师不回答任何与内容有关的问题 一、选择题(每题 6 分共 36 分,请将正确答案的标号填入下面的表格中) 1集合 A= 3,210,集合 B= 21,则从 A 到 B,且以 B 为值域的函数有( )个 (A)13 (B)14 (C)15 (D )16 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 已知定义域为 R的函数 ()fx在 8), 上为减函数,且函数 (8)yfx为偶函数, 则( ) (A) (6)7f(B) (6)9f(C) (7)9f(D) (7)10f 3函数 1(log2axx的定义域是 R,则实数 a的范围是( ) (A) )4,0( (B) )4,0 (C ) ),( (D) ),( 4已知 21a,则下各数中,最大的是 (A) 2log (B) )(log2a (C) 2)(loga (D) a2log 5设 bc,均为正数,且 12l, 12lb, 2lc则( ) a cba ca bac 6记 f1)(1, )()(ffkk, ,,3则 )087(2f( ) (A) 2078 (B) 2087 (C) 071 (D) 1 二、填空题(每题 6 分共 54 分) 7已知 xfxf2)1(),则 )(f . 8. 若函数 ab3为奇函数,常数 0b,则常数 a 9. 已知函数 )(f是奇函数,当 时, xxf12|4|3)(;则当 0时,()fx _. 10.若方程 x|42|2恰有三个不同的实数解,则常数 a= . 11. 将函数 的图象 C1沿轴向右平移 2个单位得到 C2,C 2关于轴对称的图象为)(f C3,若 C3对应的函数为 ,则函数 的表达式为_.xy2)(xf 12. 已知 f(x)=)6(5则 3f=_. 13. 二次函数 f(x) 满足 f(2+x)= f(2x),又 f(x)在0,2上是增函数,且 f(a) f(0), 那么实数 a 的取值范围是_. 14. 函数 21xy的值域是_. 15.已知定义在 R上的函数 f(x)满足: )()1(0,)( xff,xfx 有时当 .请 写出这样的函数的一个表达式: _ (答案不唯一) 三、解答题(共 60 分) 16.( 15分)解方程: )1(log)1(l22xx 17 ( 15 分)已知 ()f是定义域为 R 且恒不为零的函数,对于任意的实数 x,y 都满足: 。 (1)求 (0)f的值;(2 )设当 x 0 时,都有 ()0fx ,判()fxyx 断函数 在( ,) 上的单调性,并加以证明. 18 ( 15 分) 某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元。该 厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装 的出厂单价就降低 0.02 元。根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 500 件。 (I)设一次订购量为 x 件,服装的实际出厂单价为 P 元,写出函数 的表达式;fx() (II)当销售商一次订购了 450 件服装时,该服装厂获得的利润是多少元? (服装厂售出一件服装的利润实际出厂单价成本) 19. ( 20分)对于函数 f(x),若 f(x)=x,则称 x为 f(x)的“不动点” ,若 ,则xf)( 称 x为 f(x)的“稳定点” ,函数 f(x)的“不动点”和“ 稳定点”的集合分别记为 A和 B,即 , .xfA)(|)(|fB (1). 求证:A B ; (2).若 ,且 ,求实数 a的取值范围.),(1)(2Rxaf BA 颍上一中 2013 年高中数学竞赛(高一卷) 时间:2013 年 12 月 28 日 9:0011:00 注意:可以使用计算器,但不得相互借用。监考老师不回答任何与内容有关的问题 一、选择题(每题 6 分共 36 分,请将正确答案的标号填入下面的表格中) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D B A A C 二、填空题(每题 6 分共 54 分) 7 312x 8. -3 9. 12|4|3x 10. 5 11. (或等价形式) 2x 12. 1 13. 4,0 14. 1,( 15. 0,)(xf(答案不唯一) 三、解答题(共 60 分) 16.解:因为 2,0x,所以 x 3 分 由原方程可得: 22lg(1)log(1)o 5 分 所以 23x 8 分 解得: 1, 2(不合题意,舍去) 12 分 经检验可知, 是原方程的解。 15 分 17.解:(1)令 0xy,则有 ()0()ff, 2 分(0)f 或 ()1f,4 分 因为 ()fx是定义域为 R 且恒不为零的函数, 所以 (0)1f 5 分 (2)设 12,则 12120,()(xfxf,7 分 又对任意的实数 , ()f ,所以 ()()02xxff 10 分12122()()(fxffxf = 122212()()()fxffxfx 0 14 分 所以, ()f在实数域上是减函数。 15 分 1 (15 分) 某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元。 该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服 装的出厂单价就降低 0.02 元。根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 500 件。 (I)设一次订购量为 x 件,服装的实际出厂单价为 P 元,写出函数 的表达式;fx() (II)当销售商一次订购了 450 件服装时,该服装厂获得的利润是多少元? (服装厂售出一件服装的利润实际出厂单价成本) 解:(I)当 时, 2 分01P60 当 时, 5 分5xxx1620.() 所以 7 分PfxN() ()62505 (II)设销售商的一次订购量为 x 件时,工厂获得的利润为 L 元,则 12 分LxxN() ()401250502 当 时, 14 分5L8 因此,当销售商一次订购了 450件服装时,该厂获利的利润是 5850元。15 分 1. (分)对于函数 f(x),若 f(x)=x,则称 x为 f(x)的“不动点” ,若 ,xf)( 则称 x为 f(x)的“稳定点” ,函数 f(x)的“不动点”和“ 稳定点”的集合分别记为 A和 B,即 , .fA)(|)(|xfB (1). 求证:A B (2).若 ,且 ,求实数 a的取值范围.),(1)(2Raxf BA 证明(1).若 A=,则 A B 显然成立;分 若 A,设 tA,则 f(t)=t,f(f(t)=f(t)=t,即 tB,从而 A B. 分 解 (2):A 中元素是方程 f(x)=x 即 的实根. xa12 由 A,知 a=0 或 即 分0441a B中元素是方程 即 (*)的实根xax1)(2 023xa 由 A B,知方程(*)左边含有一个因式 ,即方程可化为12

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