2013年颍上一中高一数学竞赛试题

颍上一中 2013 年高中数学竞赛（高一卷） 时间：2014 年 1 月 4 日 9：00 11：00 注意：可以使用计算器，但不得相互借用。监考老师不回答任何与内容有关的问题 一、选择题（每题 6 分共 36 分，请将正确答案的标号填入下面的表格中） 1集合 A= 3,210，集合 B= 21，则从 A 到 B，且以 B 为值域的函数有（ ）个 （A）13 （B）14 （C）15 （D ）16 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 已知定义域为 R的函数 ()fx在 8)， 上为减函数，且函数 (8)yfx为偶函数， 则（ ） （A） (6)7f（B） (6)9f（C） (7)9f（D） (7)10f 3函数 1(log2axx的定义域是 R,则实数 a的范围是（ ） （A） )4,0( （B） )4,0 （C ） ),( （D） ),( 4已知 21a,则下各数中,最大的是 (A) 2log (B) )(log2a (C) 2)(loga (D) a2log 5设 bc，均为正数，且 12l， 12lb， 2lc则（ ） a cba ca bac 6记 f1)(1， )()(ffkk， ，,3则 )087(2f（ ） (A) 2078 (B) 2087 (C) 071 (D) 1 二、填空题（每题 6 分共 54 分） 7已知 xfxf2)1()，则 )(f . 8. 若函数 ab3为奇函数，常数 0b，则常数 a 9. 已知函数 )(f是奇函数，当 时， xxf12|4|3)(；则当 0时，()fx _. 10.若方程 x|42|2恰有三个不同的实数解，则常数 a= . 11. 将函数 的图象 C1沿轴向右平移 2个单位得到 C2，C 2关于轴对称的图象为)(f C3，若 C3对应的函数为 ，则函数 的表达式为_.xy2)(xf 12. 已知 f(x)=)6(5则 3f=_. 13. 二次函数 f(x) 满足 f(2+x)= f(2x),又 f(x)在0,2上是增函数，且 f(a) f(0), 那么实数 a 的取值范围是_. 14. 函数 21xy的值域是_. 15.已知定义在 R上的函数 f(x)满足: )()1(0,)( xff，xfx 有时当 .请 写出这样的函数的一个表达式: _ （答案不唯一） 三、解答题(共 60 分) 16.（ 15分）解方程： )1(log)1(l22xx 17 （ 15 分）已知 ()f是定义域为 R 且恒不为零的函数，对于任意的实数 x,y 都满足： 。 （1）求 (0)f的值；（2 ）设当 x 0 时，都有 ()0fx ，判()fxyx 断函数 在( ,) 上的单调性，并加以证明. 18 （ 15 分） 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元。该 厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 件时，每多订购一件，订购的全部服装 的出厂单价就降低 0.02 元。根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 500 件。 （I）设一次订购量为 x 件，服装的实际出厂单价为 P 元，写出函数 的表达式；fx() （II）当销售商一次订购了 450 件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？ （服装厂售出一件服装的利润实际出厂单价成本） 19. （ 20分）对于函数 f(x),若 f(x)=x,则称 x为 f(x)的“不动点” ，若 ，则xf)( 称 x为 f(x)的“稳定点” ，函数 f(x)的“不动点”和“ 稳定点”的集合分别记为 A和 B，即 ， .xfA)(|)(|fB (1). 求证：A B ； (2).若 ，且 ，求实数 a的取值范围.),(1)(2Rxaf BA 颍上一中 2013 年高中数学竞赛（高一卷） 时间：2013 年 12 月 28 日 9：0011：00 注意：可以使用计算器，但不得相互借用。监考老师不回答任何与内容有关的问题 一、选择题（每题 6 分共 36 分，请将正确答案的标号填入下面的表格中） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D B A A C 二、填空题（每题 6 分共 54 分） 7 312x 8. -3 9. 12|4|3x 10. 5 11. (或等价形式) 2x 12. 1 13. 4,0 14. 1,( 15. 0,)(xf（答案不唯一） 三、解答题(共 60 分) 16.解：因为 2,0x，所以 x 3 分 由原方程可得： 22lg(1)log(1)o 5 分 所以 23x 8 分 解得： 1， 2（不合题意，舍去） 12 分 经检验可知， 是原方程的解。 15 分 17.解：（1）令 0xy，则有 ()0()ff， 2 分(0)f 或 ()1f，4 分 因为 ()fx是定义域为 R 且恒不为零的函数， 所以 (0)1f 5 分 （2）设 12，则 12120,()(xfxf，7 分 又对任意的实数 ， ()f ，所以 ()()02xxff 10 分12122()()(fxffxf = 122212()()()fxffxfx 0 14 分 所以， ()f在实数域上是减函数。 15 分 1 （15 分） 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元。 该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 件时，每多订购一件，订购的全部服 装的出厂单价就降低 0.02 元。根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 500 件。 （I）设一次订购量为 x 件，服装的实际出厂单价为 P 元，写出函数 的表达式；fx() （II）当销售商一次订购了 450 件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？ （服装厂售出一件服装的利润实际出厂单价成本） 解：（I）当 时， 2 分01P60 当 时， 5 分5xxx1620.() 所以 7 分PfxN() ()62505 （II）设销售商的一次订购量为 x 件时，工厂获得的利润为 L 元，则 12 分LxxN() ()401250502 当 时， 14 分5L8 因此，当销售商一次订购了 450件服装时，该厂获利的利润是 5850元。15 分 1. （分）对于函数 f(x),若 f(x)=x,则称 x为 f(x)的“不动点” ，若 ，xf)( 则称 x为 f(x)的“稳定点” ，函数 f(x)的“不动点”和“ 稳定点”的集合分别记为 A和 B，即 ， .fA)(|)(|xfB (1). 求证：A B (2).若 ，且 ，求实数 a的取值范围.),(1)(2Raxf BA 证明(1).若 A=，则 A B 显然成立；分 若 A，设 tA，则 f(t)=t,f(f(t)=f(t)=t,即 tB,从而 A B. 分 解 (2)：A 中元素是方程 f(x)=x 即 的实根. xa12 由 A，知 a=0 或 即 分0441a B中元素是方程 即 （*）的实根xax1)(2 023xa 由 A B，知方程（*）左边含有一个因式 ，即方程可化为12