2016-2017学年高中数学 全册北师大版选修4-5_5

1 【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 第 1 章 不等关系与基本 不等式 学业分层测评 4 平均值不等式 北师大版选修 4-5 (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1下列不等式恒成立的是( ) A x 2 Bsin x 2 1x 1sin x C. 2 De x 2 ab ba 1ex 【解析】 根据 知，条件需 a0， b0.A，B，C 均不成立，D 中， a b2 ab e x0，成立 【答案】 D 2 a， b 为非零实数，那么不等式恒成立的是( ) A| a b| a b| B a b2 ab C. ab D 2( a b2 )2 ba ab 【解析】 a， b 为非零实数时，A，B，D 均不一定成立 而 ab 0 恒成立( a b2 )2 (a b2 )2 【答案】 C 3设 a0， b0，且 a b4，则有( ) A. B 1 1ab 12 1a 1b C. 2 D ab 1a2 b2 14 【解析】 4 a b2 ， 2.ab ab ， 2 1. 1ab 12 1a 1b 1ab 【答案】 B 4设 02ab， ba2 b2，且 b.a2 b2 故 2abB. a b 22ab a b 法二： A ， B ，故 A B. 1ab 1ab 【答案】 A B 8已知不相等的三个正数 a， b， c 且 abc1，则 a3 b3 c3与 3 的大小关系是 3 _ 【解析】 a， b， c 是不相等的三个正数，且 abc1， a3 b3 c33 3.3a3b3c3 【答案】 a3 b3 c33 三、解答题 9设 a0， b0， a b1，求证： 8. 1a 1b 1ab 【证明】 a0， b0， a b1， 2 a b.ab 因此 ， 4.ab 12 1ab 则 ( a b) 1a 1b 1ab (1a 1b) 1ab 2 2 48.ab 1ab 10已知 a， b， c 大于 0，求证： (a b c) .( 1a b 1b c 1a c) 92 【证明】 a， b， c 大于 0， ( a b)( b c)( c a) 3 0，3 a b b c c a 3 0， 1a b 1b c 1a c 3 1a b1b c1a c ( a b c) .( 1a b 1b c 1a c) 92 当且仅当 a b c 时，等号成立 能力提升 1设 a， b， c 为正数，则“ abc1”是“ a b c”的( ) 1a 1b 1c A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件 【解析】 当 a b c2 时，有 a b c，但 abc1，所以必要性不成 1a 1b 1c 立；当 abc1 时， ， a b c 1a 1b 1c bc ac ababc bc ac ab 4 ，所以充分性成立，故“ abc1”是“ a b b c a c2 ab bc ac a b c”的充分不必要条件 1a 1b 1c 【答案】 A 2当 a， b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是( ) A. B a b2 ab C. D a2 b22 (a 1 b 12 )-1 【解析】 由 及 a2 b22 ab，且 a b， a b2 ab ， a2 b22 2ab2 ab A，B，C 中， 最小ab 而 .( a 1 b 12 )-1 2aba b a b 时， a b2 0，ab ( a b) 2 ab0， .ab 2aba b ab 综上可知， 最小，应选 D.( a 1 b 12 )-1 【答案】 D 3若 a0， b0， a b2，则下列不等式对一切满足条件的 a， b 恒成立的是 _(写出所有正确命题的编号) ab1； ； a2 b22； a3 b33； 2.a b 2 1a 1b 【解析】 利用特殊值 a b1 排除. 由平均值不等式 ab 1，正确( a b2 )2 (22)2 由 a2 b2 a2(2 a)22 a24 a42( a1) 212，正确 由 (a b) 1a 1b 12(1a 1b) (22)2， 12(2 ba ab) 12 正确 【答案】 5 4设正数 a， b， c 满足 a b c1，求 的最小值 13a 2 13b 2 13c 2 【解】 因为 a， b， c 均为正数，且 a b c1，所以(3 a2)(3 b2)(3 c2) 9. 于是 (3a2)(3 b2)(3 c2)3( 13a 2 13b 2 13c 2) 3 9，当且仅当 3 1