特征方程在高中数学中的应用探究

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 特征方程在高中数学中的应用探究 在近几年的高考中通过数列的递 推公式求通项公式，已经成为热门考点， 简单的题目一般的学生都能得分，可是 有些难点的却成了高考中的难题。比如 用特征方程法解决的这一类问题，为了 更好的掌握特征方程在中学数学中的应 用，本文以几个典型的例题为载体，用 特征方程法帮助更多的学生走出困境。 中国论文网 /4/view-12747662.htm 特别值得注意的是，2008 年高考 广东的文科数学和理科数学都是以数列 作为压轴题。这两个压轴题的关键就是 通项公式的求解。这两个题通项公式的 求解方法很多，用一般的方法需要很强 的构造能力，而用数学竞赛中的特征方 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 程法求解是比较快捷的。 一、数列的特征方程简介 1、数列的一阶特征方程 （an=pan-1+q 型） 在数列 中，a1 已知，且 时， an=pan-1+q（p，q 是常数） ， （1）当 p=1 时，数列 为等差数 列； （2）当 p=0 时，数列 为常数数 列； （3）当 时，数列 为等比数列； （4）当 时，称 x=px+q 是数列 的一阶特征方程，其根 叫做特征方程 的特征根， 这时数列 的通项公式为： an=（a1-x）pn-1+x； 注；此类问题在中学的解决方法， 我们常用待定系数法来解决，属于简单 题型，不再叙述。 2、数列的二阶特征方程 （an+2=pan+1+qan 型） -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 在数列 中，a1 与 a2 已知，且 an+2=pan+1+qan（p，q 是常数） ，则称 x2=px+q 是数列 的二阶特征方程，其 根 x1，x2 叫做特征方程的特征根。 （1） 时，有 ； （2）当 时，有 ； 其中 c1，c2 ，d 由 a1，a2 代入 an 后确定。 例 1、设数列 满足 求数列 的通 项公式。 解：数列 相应的特征方程为 ， 特征根为 可设。 又由 a1=1，a2=2 于是 3、一次分式递推数列 在数列 中，a1 已知且对于 都有 （其中 p、q、r、 ，且 ） ，称方程 为 数列 的特征方程. （1）当特征方程有两个相同的 特征根 时， （i）若 则数列 为常数数列 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 （ii）若 则数列 为等差数列。 （2）当特征方程有两个相异的 特征根 时，则数列 为等比数列。 二、特征方程的应用举例（主要 针对第三种特征方程） 例 2、已知数列 满足性质： 解：由特征方程 变形得 故特征方程有两个相异的根，则 有 变式练习：已知数列 满足：对 于 解：（简单介绍）作特征方程 特征方程有两个相同的特征根 x=5 例 3、 （2008 年高考陕西卷数学 第 22 题） 已知数列 的首项 （1）求 的通项公式； （2）证明：对任意的 （3）证明： 解：其中数列 的通项公式的求 解如下： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 数列 相应的特征方程为 ，特征 根为 所以数列 为等比数列， 可见，用特征方程法求特定类型 的递推数列的通项公式是非常方便快捷 的，对于基础较好的学生，该方法可以 是一个很有益的补充。而对于普通的学 生，则只需