1.3函数的极限

第三节 函数的极限 一、函数极限的定义 一般地， 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个 确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。 1函数当 时的极限0x 满足 的 的范围称作以 为中心的 邻域，满足 的0x0x 范围称作以 为中心，以 为半径的去心邻域，记作 0x 0xU 现在考虑自变量 的变化过程为 如果在 的过程中，对应的0x 函数值 无限接近于确定的数值 ，那么就说 是函数 当 时的极xf Axf0 限当然，这里我们首先假定函数 在点 的某个去心邻域内是有定义的xf0 函数极限的解析定义： 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义如果对于任意给定的正数xf0 （不论它多么小） ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切 0x ，对应的函数值 都满足不等式xxf ，Axf 那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作Af0 或 （当 ） 上述 时函数 的极限概念xf0limxx0xxf 中， 是既从 的左侧也从 的右侧趋于 的但有时只能或只需考虑 仅从000 的左侧趋于 （记作 ）的情形，或 仅从 的右侧趋于 （记作0xxxx00x ）的情形在 的情形， 在 的左侧， 在0 的定义中，把 改为 ，那么 就叫做函Axf0limx00xxA 数 当 时的左极限，记作0 或 Axfx0limAxf0 图 1-7 类似地，在 的定义中，把 改为 ，Axf0lim0x00x 那么 就叫做函数 当 时的右极限，记作A0 或 xfx0liAxf0 根据 时函数 的极限的定义，以及左极限和右极限的定义，容易0x 证明：函数 当 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存f0x 在并且相等，即 00xff 因此，即使 和 都存在，但若不相等，则 不存在0xfx xf0lim 而左右极限统称为单侧极限。 注：若 极限存在时Afx0lim （1） 是唯一的确定的常数； （2） 表示从 的左右两侧同时趋于 ； 00x0x （3）极限 的存在与 在 有无定义或定义的值无关Af0 例 1 函数 01xxf， ， 当 时 的极限不存在0xf 证 当 时 的左极限 ，1limli00xfx 而右极限 ，1lim0fx 因为左极限和右极限存在但不相等，所以 不存在（图 1-7）xf0li 2函数当 时的极限x 我们知道，当 时 越来越接近零如果函数 当 无限增xf1xf 大时， 取值和常数 要多接近就有多接近，此时称 是 当 时的fAA 极限，记作 Axflim 函数极限的解析定义： 设函数 当 大于某一正数时有定义如果对于任意给定的正数 （不xf 论它多么小） ，总存在着正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，对应的XXxx 函数值 都满足不等式 ，那么常数 就叫做函数 当xfAxf Af 时的极限，记作 或 （当 ） fxlimfx 注：若 lixf （1） 是唯一的确定的常数；A （2） 既表示趋于 ，也表示趋于 如果 时， 取值和常数 要多接近就有多接近，我们称 是xxfAA 当 时的极限，记作f limxf 如果 时， 取值和常数 要多接近就有多接近，我们称 是xf A 当 时的极限，记作f lixfA 显然， 存在的充分必要条件是xflimxffxxlimli 一、函数极限的性质 定理 1 函数极限唯一性。与数列极限的唯一性一致 定理 2 函数极限的局部有界性。与数列极限的有界性类同 定理 3（极限的局部保号性） 如果 ，而且 （或 ） ，Axf0li 0A 那么就存在着点 的某一去心邻域，当 在该邻域内时，就有 （或0x xf ） xf 定理 1 如果 （ ） ，那么就存在着 的某一去心邻域Axf0lim00x ，当 时，就有 0xU 。 0x。2f 定