1.5极限运算法则

第五节 极限运算法则 本节讨论极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运 算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限 在下面的讨论中，记号“ ”表示定理对 及 都是成立的lim0x 定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小 定理 3 如果 ，那么 存在，且li(),li()fxAgxBli()fxg （1）lim()mfxg 证 因 ，由 1.4 定理 1li,lif 有 ，其中 为无穷小于是,fAB,()()()()() 由定理 1 知 为无穷小，再由定理知 lililifxgfxg 定理可推广到有限个函数的情形例如，如果 都lim(),li(),li()fxghx 存在，则有 lim()()lim()li()lifxghfxh 如果 ，那么 存在，且,liABg （16）li()fxgfxA 推论 1 如果 存在， 为常数，则 li()Cli()li()Cfxfx 推论 2 如果 存在， 为正整数，则 fnmnn 定理 4 如果 ，且 ，则 存在，且lim(),li()xgxB0()lifgx （17）()lili()fxfAgB 以上定理和推论对于数列也是成立的 定理 5 如果 ，而 都存在，那么 xli(),limxlim()li()x 例 1 求 1lim(2)x 解 1lilili2li1xxx 事实上，设多项式 ，则0()nnPaa001100lim()li ()nxxPaxxPx 例 2 求 32li5x 解 因 2()103 所以 33 322lim(1)127li55xx 如果 ，其中 都是多项式，如果 ，则()PFQx(),Qx0()Qx 000 0 li()lim()lim()xxxP 但必须注意，如果 ，则关于商的运算法则不能应用，需要特别考0 虑 例 3 求 2416lix 解 当 时，分子分母的极限都是零，所以不能运尖用商的运算法 则但 时， ，所以 ,0 24416limli()8xx 例 4 求 21limx 解 因为 ，不能商的运算法则但 ，li()021lim0x 故由定理 4 得 21x 例 5 求 34lim75 解 3232lili7xxx 例 6 求 231lim5x 解 2233lili0xxx 例 7 求 25lim1xx 解 因为 ，所以 3li0325lim1xx 更一般地，当 ， 和 为非负整数时，有0,abn 010 ,lim,nnmx ambaxb 当当 当 例 8 求 sinlx 解 当 时，分子分母的极限都不存在，不能应用商的运算法则但 ，而 是 时的无穷小， 是有界函数，所以根据定理 6，sin1ix1sinx 有 lim0x 前面已经看到，对于有理函数 （有理整函数或有理分式函数） ，只要()fx 在点 处有定义，那么 时 的极限必定存在且等于 在点 的()f0 0()fx0 函数值 一般地，如果函数具有上述性质，即 ，就称函数 在点00lim()xfx()f 连续因此有理函数在其定义域内的每一点处都是连续的我们指出：一切0x 基本初等函数在其定义域内的每一点处都是连续的因此，如果 为基本初()fx 等函数，其定义域为 ，而 ，则有D0x 0lim()xf 例如， 是基本初等函数，它在点 处有定义，所以 ()f3x3limx 下面介绍一个半球复合函数求极限的定理 定理 6 设函数 当 时的极限存在且等于 ，即 ，而函()ugx0 0u00li()xgu 数 在点 连续，那么复合函数 当 时的极限存在且()yf0()yfgx （18）0limxgfuA 证明从略 因为 ，所以公式（18）又可写成0li()xa 00lim()li()xxff 例 9 求 sin0lxe 解 limsi 0l 1xx 例 10 求 22i()x 解 2222 2 11lim(1)limlimx x xxxx 作业 P45 1、 （1） （3） （5） （7） （9） （11） （13） ，2，3 小结与思考： 本节讨论了极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的 运