安徽省安庆市2017届高考模拟考试（二模）数学试题（理）含答案

2017 年安庆市高三模拟考试（二模） 理科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1, 2, 3, 4U ， 2 | 5 4 0 A x N x x ，则 ） A 1,2 B 1,4 C 2,3 D 3,4 2.设 i 是虚数单位，复数1为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A B 1 C D 2 0, )x ，0 01 3x x；命题 q ： (2, )x ， 2 2 ，则下列命题为真的是（ ） A () B () C D () 232，且45 ） A 3 B 2 或 3 C. 2 D 6 格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ） A 9 B 18 C. 36 D 144 2y 轴于点 C ，若1F，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C. 22 D 23 输入 20x ，则输出的 y 的值为（ ） A 2 B C. 134D 52| | 1，则 222x y x的最小值为（ ） A 12B 12C. 22D 2 12 ) s i n ( ) ( 0 , 0 , | | )2f x A x B A 的部分图象如图所示，将函数() 0)个单位后，得到的图象关于点 ( , 1)6 对称，则 m 的最小值是（ ） A6B3C. 56D 23 上的奇函数 ()( 1 ) ( 1 )f x f x ，且当 10x 时，( ) 2 1，则 2(0)f （ ） A 14B 14C. 15D 的弦 动点 P 在圆内，则使得 2B 的概率为（ ） A 24B 2C. 324D 2s i n 2 , 1 , 3 ()( 2 ) 2 , ( , 1 ) ( 3 , )x x ，若存在12, , , nx x ( ) ( ) 12 2 2 2x f xx x x ，则 12 nx x x 的值为（ ） A 4 B 6 C. 8 D 10 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） ()展开式中常数项为 20，则 a ， ,D 的中点，则异面直线 ,E 所成角的余弦值为 2 1 ( 0 )xy 短轴的端点 (0, )(0, )，长轴的一个端点为 M ，经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若 ,斜率之积等于 14，则 P 到直线 距离为 中，三内角 ,应的边分别为 , 1c ，c o s c o s 2 c o b A C，设 h 是边 的高，则 h 的最大值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 2a，2 4a ，设n 项和，对于任意的 1n ，*， 11 2 ( 1 )n n S （ 1）求数列 （ 2）设2 nn ，求 n 项和 18. 在如图所示的五面体中，面 直角梯形，2B A D A D C ，平面 面 2 4 4E F D C A B ， 是边长为 2 的正三角形 （ 1）证明： 平面 （ 2）求二面角 A 的余弦值 19. 据某市地产数据研究的数据显示， 2016 年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，为抑制房价过快上涨，政府从 8 月采取宏观调控措施， 10 月份开 始房价得到很好的抑制 . （ 1）地产数据研究院发现， 3 月至 7 月的各月均价 y （万元 /平方米）与月份 x 之间具有较强的线性相关关系，试建立 y 关于 x 的回归方程（系数精确到 政府若不调控，依此相关关系预测第 12 月份该市新建住宅销售均价； （ 2）地产数据研究院在 2016 年的 12 个月份中，随机抽取三个月的 数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 参考数据： 5125 ， ， 51( ) ( ) 0 . 6 4x y y ； 回归方程 y b x a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 121( ) ( )()x y ， a y . 20. 已知抛物线 2 2 ( 0 )x p y p， F 为其焦点，过点 F 的直线 l 交抛物线于 ,点 B 作 x 轴的垂线，角直线 ，如图所示 . （ 1）求点 C 的轨迹 M 的方程； （ 2）直线 m 是抛物线的不与 x 轴重合的切线，切点为 P ， M 与直线 m 交于点 Q ，求证：以线段 直径的圆过点 F . 21. 已知函数 2( ) ,xa x x af x a （ 1）若 0a ，求函数 ()间； （ 2）若 0a ，122x x x ，证明：1 2 11 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f xx x x x . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线 l 的极坐标方程是 s i n ( ) 2 24，且点 P 是曲线 C ：3 co （ 为参数）上的一个动点 . （ 1）将直线 l 的方程化为直角坐标方程； （ 2）求点 P 到直线 l 的距离的最大值与最小值 . 等式选讲 已知 ( ) | 1 | | 2 |f x x x . （ 1）若不等式 2()f x a 对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值的集合 T ； （ 2）设 , ，证明： 3 | | | 3 |m n m n . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 14. 1615. 25516. 32三、解答 题 17.（ 1）由11 2 ( 1 )n n S ，得1 2 , 1a n . 因为1 2a，2 4a ，所以212， 所以数列 ，公差为 2 的等差数列，所以 2 *. （ 2）因为24nn a ， 所以12 12124 4 4nn b b b ， 2 3 11 1 24 4 4 4 ， 所以2 3 11 1 1 1 14 4 4 4 4 4 111(1 )441 414111(1 )3 4 4 ， 所以 14 3 494nn . 18.（ 1）取 中点 N ，连接 ,E ，依题意易知 D ， 平面 平面 N E平面 E . 又4A N B N A C N，所以 平面 所以 E . 在 和 中， 1t a n t a B A F E F. 因为 C A ， ,C 平面 所以 平面 （ 2）分别以直线 , x 轴和 z 轴， N 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 依题意有： (1,1,0)B ， ( 1, 2, 0)C ， (0, 4, 3)F ， 设平面 一个法向量1 ( , , )n x y z，由1n 得 2， 由1n 得 3 3 0x y z ，令 1x ，可得153( 1 , 2 , )3n . 又平面 一个法向量2 (0, 0,1)n ，所以2253103c o s ,42 3 03 . 所以二面角 A 的余弦值为 104. 注：用其他方法同样酌情给分 . 19.（ 1）计算可得： 5x ， ， 521( ) 1 0 ， 所以 0 0 410b ， 1 . 0 7 2 0 . 0 6 4 5 0 . 7 5 2a y b x ， 所以从 3 月份至 6 月份 y 关于 x 的回归方程为 0 0 . 将 2016 年的 12 月份 12x 代入回归方程得： 0 . 0 6 0 . 7 5 0 . 0 6 1 2 0 . 7 5 1 . 4 7 ， 所以预测 12 月份该市新建住宅销售均价约为 元 /平方米 . （ 2）根据题意， X 的可能取值为 1,2,3 31241( 1 ) 55 ， 3343123 27( 3 )55 ， 27( 2 ) 1 ( 1 ) ( 3 ) 55P X P X P X ， 所以 X 的分布列为 因此， X 的数学期望 1 2 7 2 7 1 3 6( ) 1 2 35 5 5 5 5 5 5 5 . 20.（ 1）依题意可得，直线 l 的斜率 k 存在，故设其方程为：2py ，设点1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，动点 ( , )Cx y ， 由 2 22x 2220x p k x p 212x x p ， 111: 2 y x ， 2:OB x x ， 由 122 ，得1 222x ，即点 C 的轨迹方程为2. （ 2）设直 线 m 的方程为： y kx m 由 2 2x kx m 2 2 2 0x p k x p m 2248p k p m m 与抛物线 C 相切， 20 2 0p k m ( , )P pk m 又由2y kx 2( , )22p m pQ k 22( , ) ( , ) ( 2 ) 02 2 2 2p p m p F Q p k m p p m p Q，以 直径的圆过点 F . 21.（ 1）由已知， 2 (1 2 ) 1()xa x a x e 1( 1 ) ( )x ( 0)a ， 则当 0a 时，由于 1 1，当 1( ,1)时， ( ) 0，故函数 ()( ,1) 当 0a 时，由于 1 1，当 1( , 1 ) ( , ) 时， ( ) 0；故函数 () ,1) 和 1( , ). （ 2） 0a ，则 ()， 122x x x ， 欲 证1 2 11 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f xx x x x ，即证 11( ) ( )() f x f 在 1,2)x 上单调递减， 11 1 1122111 ()( ) ( ) ( ) ( ) ()( ) ( )x x x f x f x e e x x x ， 令1111( ) ( ) xh x x xe e e ， 则 2 1 1 1( 2 ) 2 ( ) ( 2 )( ) 0x x x x x (),2) 1( ) ( )h x h x而1( ) 0 ( ) 0，则 ( ) 0， 11( ) ( )() f x f 在 1,2)x 上单调递减， 又122x x x ， 1 2 11 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f xx x x x . 22.（ 1）由 s i n ( ) 2 24 22( s i n c o s ) 2 2 ， 将 ， 代入 即可得到直线 l 的直角坐标方程是 40 . （ 2） P 到直线 l 的距离 4 2 s i n ( )| 3 c o s s i n 4 | 322d d ，2d . 23.（ 1）由绝对值不等式的性质知， | 1 | | 2 | | ( 1 ) ( 2 ) | 3x